第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e
为单位向
量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e
具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r
具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r
=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r
×
'r =2
λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意
方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e
，（因
为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e
为常向量。所以，)(t r 具有固
定方向。
6．向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n
，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r
的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，
且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n
= 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂
直于同一非零向量n
，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。
反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0
，由上题
知
)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'
r ≠
，则存在数量函数
)(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r
①
令n =r ×'r
，则n
≠
0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r
求微商并将①式代入得
'n =r ×''r =μ（r ×'r ）
=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n
，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r
= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为?,则?cos
=22||||'b
a b
e r k r +=? 为常数，故?为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。 解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b}，s =
t b a dt r t
220
|'|+=?
，所以2
2
b
a s t +=
，
代入原方程得 r ={a cos 2
2
b
a s +, a sin 2
2
b
a s +,
2
2
b
a bs +}
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z
= b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为
sin cos cos sin sin cos t
a t
a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .
2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，
=)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t
={2,0,2} ，
所以切线方程是
1
10z
y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x =0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z
y x =-= ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1
11-=
=z
y x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z
= b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r
⊥''r
知''r
为主法线
的方向向量，而''r 0=?k
所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是
sin sin cos cos bt
z t t a y t t a x -=
-=- 与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r
={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }
=??=|'''|'
''r r r r
γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }
新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }
对于新曲线'r
={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α
}={sin(α-t), cos(α-t),
sin α} , ''r
={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是
00
)
sin()
cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x
即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：
?设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r
具有固定
长，所以r ·'r
= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
? 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则
r ·'r = 0，)(t r
具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
()r r t =是球面曲线?存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半
径）使220()r r R -=?02()0r r r '-?= ，即0()0r r r '-?= （﹡）
而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-?= 。可知法平面过球面中心?（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r +-=。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r = ，
}1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r
，所以t a t a t a r r r k 23
23cosh 21)
cosh 2(cosh 2|'||'''|==?=
t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','(==?=
τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r
，
'r ×''r =}1,2,1{182
22+--t t t a ，2
23
22223)1(31
)
1(2227)1(218|
'||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k
2
2224232)1(31
)1(2182618)'''()''','','(+=+???=?=t a t a a r r r r r τ 。
8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3
3t t t r = ，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；
⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt
ds ==
（设sintcost>0）
， 则}54,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==?
αα
， }0,cos ,{sin |
|t t ==??
ααβ
，
}5
3
,sin 54,cos 54{--=?=t t βαγ ，
⑵ t t k cos sin 253||==?α ，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t t --=?γ ，由于?γ 与β 方
向相反，所以 t
t cos sin 254
||==?γτ
⑶ 显然以上所得 τγβα,,,??
k 满足 βτγβα -==??,k ，而
γτακβ
+-=-=
?
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r λ=，可见r ∥'r ，所以r 具有固定方向，故r ＝)(t r
是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r
λ=，
于是'r ＝λ''r ，从而'r ×''r
＝0
，所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线为直线。
方法三：设定点为0r ，曲线的方程为r ＝()r s ，则曲线在任意点的切线方程是
()()r s s ρλα-=，由条件切线都过定点0r ，所以0()()r r s s λα-=，两端求导得:
()()s s αλαλκβ'-=+, 即(1)()0s λαλκβ'++= ，而(),()s s αβ无关，所以10λ'+=，
可知0,()0s λκ≠∴=，因此曲线是直线。
10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=??-t r t r t r ，
即（r 'r ''r ）=0，所以r 平行于一固定平面，即r ＝)(t r 是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(s r
，则曲线在任意点的密切平面方程是0))((=?-γρ s r ，由条件0)(=?γ
s r ，两边微分并用伏雷内
公式得 τ-0)(=?β s r 。若0)(=?β s r ,又由0)(=?γ s r 可知)(s r
∥)(s r ?= α,所以r ＝
)(s r 平行于固定方向，这时r ＝)(s r
表示直线,结论成立。否则0=τ，从而知曲线是
平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=??-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所以r ，'r ，''r 共面，若r ∥'r ，则r
＝)(t r
是直线，否则可设''',''''''r r r r r r λμλμ=+∴=+，所以','','''r r r 共面，所以
0=τ，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e
，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知0=?e α，若α
是常向量，则k=||?α =0 ，这时曲线是直
线。否则在0=?e α两边微分得?α ·e =０，即 k β ·e =０,所以β ·e =０，又因0=?e
α，所以γ
∥e
，而γ 为单位向量，所以可知γ 为常向量，于是0||||==?γτ ，即0=τ，此
曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边微分得''r ·e ＝０，'''r
·e ＝０，所以'r ， ''r ，'''r 共面，所以（'r ''r '''r ）＝０。由挠率的计算公式可知0=τ，故曲线为平面曲线。当'r ×''r ＝0
时是直线。
方法三：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边积分得（p 是常
数）。因r e p ?=是平面的方程，说明曲线r ＝)(t r
在平面上，即曲线是平面曲线，
当'r
有固定方向时为直线。
12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C ）：r ＝)(s r
的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程为：)(1)(s k
s r βρ
+= ，（β 为曲线（C ）的主法向量），对于曲线（C ）两边微分
得 γτγτααρ k
k k s =+-+=)(1
)(' ，（α ，γ ，τ分别为曲线（C ）的单位切向量，
副法向量和挠率），βτγτρ
k k 2''-=?
，k |||'|τρ=
，23'''k
τρρ=? α ，曲线（C ）的曲率为k k k k ==?=-3
32
3
3|||||
'||'''|ττρρρ 为常数。
14．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：r =)(s r
与Γ：)(s r r =点s 与s 一一对应，且对应点的切线平行，
则)(s α
=)(s α
±, 两端对s 求微商得ds s d αα ±=, 即ds
s d s k s k )()(ββ ±= ，(这里k ≠0，
若k=||α =0，则β 无定义)，所以β ∥β ，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平
行。
15．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设α ,α
分别为曲线Γ、Γ的切向量,β ,β 分别为曲线Γ、Γ的主法向量,则由
已知)()(s s ββ
±=．．．．．①
，而
ds
s d ds d α
ααααα ?+?=?)(＝ ds s
d s k k )(βααβ ?+? 将①式代入 0)(=?±?ds
s d k βααβ 。所以α ·α ＝常数，故
两曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线Γ的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为τκ,.求证k=0λ(2κ+2τ) ,其中0λ为常数。
证 设Γ的向量表示为r =)(s r
，则Γ可表示为ρ =)(s r +)(s λ)(s β ， Γ的切向量'ρ =α
+λ β +λ（－k α +τγ ）与β 垂直，即'ρ ·β ＝λ
＝０，所以λ为常数，设为0λ，则'ρ
＝（１－0λk ）α +0λτγ .再求微商有''ρ ＝－0λk α
＋
（１－0λk ）k β ＋0λτ γ －0λ2
τβ ，''ρ
·β ＝（１－0λk ）k －0λ2τ＝０，所以有k=0λ(2κ+2τ)。
17．曲线r ={a(t-sint),a(1-cost),4acos
2
t
}在哪点的曲率半径最大。 解 'r = a{1-cost,sint,-2sin
2
t } ,
''r = a{sint,cost,-cos
2
t }, |2
sin
|22|'|t r =
,
'r ×''r =}1,2
cos ,2
{sin 2
sin 2}2
cos 4,2
cos 2
sin 2,2
sin 2{22232t t t a t a t t t a -=--,
|
'r ×''r |=22
sin 22
2t
a , |2
sin
|81|
||'''|3t
a r r r k =?=
, |2
sin
|8t a R = , 所以在t=(2k+1)π，k 为整数处曲率半径最大。
§5
一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量γ
是常向量.即γ =0 。曲线的挠率的绝对值等于|γ
|为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，积分得r ·n
=p ,说明曲线
在以n
为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，再微分得''r ·n =0 ，'''r
·n =0 。所以'r 、''r 、'''r
三向量共面，于是（'r ''r '''r ）= 0 ，由挠率的计算公式知τ=0，
因此曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ：r ＝)(s r
，则另一曲线Γ的表达式为：+=)(s r ρ)(s λ)(s γ ，
)(s γ
为曲线Γ在点s 的主法向量，也应为Γ在对应点的副法线的方向向量。
'ρ ＝α
＋λ γ －λτβ 与γ 正交，即'ρ ·γ ＝０，于是λ ＝０，λ为常数。'ρ ＝α －
λτβ ，''ρ ＝k β －λτ β －λτ（－k α
＋τγ ）也与γ 正交，即''ρ ·γ ＝-λ2τ=0,
而λ
≠
０,所以有τ＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线Γ为平面曲线。
9．证明曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r
证 βκ =r ，γτκτκβκτκκακκγκτβκ
ακ )2()(3,23....2++-+-+-=++-=r r 2
5333....)(3)2(),,(κτκτκκτκτκκτκκτκτκ -=-=-+=k r r r ＝)(5κ
τκ，其中k ≠0. 曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为κ
τ
为常数,即?)(κτ=0,也就是
0),,(....=r r r 。
方法二： 0),,(....=r r r ，即0),,(=ααα 。曲线r ＝)(s r 为一般螺线，则存在常
向量e ，使α·e =常数，所以,0,0,0=?=?=?e e e ααα
所以ααα ,,共面，从而（ααα
,,）=0。反之，若（ααα ,,）=0，则α 平行于固定平面，设固定平面的法矢为e ，则有0=?e α，从而α·e = p (常数)，所以r ＝)(s r 为一般螺线。
方法三：曲线r ＝)(s r
为一般螺线?存在常向量e 使e β⊥，即0e ββ
?=?平行于固定平面（以e 为法向量的平面）r ?平行于一固定平面(,,)0r r r ?= 。
方法四：""?设r ＝)(s r
为一般螺线，存在常向量e 使e α?=常数，即r e ?=常
数，连续三次求微商得0,0r e r e ?=?=，0r e ?= ，所以0),,(....=r r r 。