2020届高考数学(文)总复习课件：圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

圆锥曲线定点定值问题之定比点差法

一：定比点差法原理

定比分点：若,MBAM则称点M为AB的入定比分点，若2211,,,yxByxA则1,1:2121yyxxM

若MBAM且NBAN,则称NM,调和分割BA,,根据定义，那么BA,也调和分割NM,.

1.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P,Q两点，满足PBAP，QBAQ，一定有122byyaxxQPQP

证明：若2211,,,yxByxA， PBAP，则1,1:2121yyxxP

,QBAQ则1,1:2121yyxxQ，有2211222222222221xyabxyab①② ①—②得：121212122221.xxxxyyyyab即11111112121221212••••yyyybxxxxa

122byyaxxQPQP

2.在抛物线pxy22中，设A,B为抛物线上的两点。若存在P,Q两点，满足PBAP，QBAQ，一定有)(QPQPxxpyy

证明：若2211,,,yxByxA， PBAP，则1,1:2121yyxxP ,QBAQ则1,1:2121yyxxQ，有2112222222ypxypx①② ①—②得：22222121122()yypxxxx即22121212121212))()yyyypxxxxxxxx((

12121212))()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)yyyypxxpxx(( )(QPQPxxpyy

丰富而有条理的知识储备是解题者的至宝

想，都是问题 第1页/共27页 做，才是答案 圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）

1

．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值

等问题的证明.

解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受

参数影响的量.

可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.

同时，也要掌握巧妙利

用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

2

．定点问题解决步骤：

①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

②根与系数关系列出两根和及两根积；

③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．

3

．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

4

．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：

①确定一个(

或两个)

变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

②将所求表达式用核心变量进行表示(

有的甚至就是核心变量)

，然后进行化简，看能否得到一个常数．

5

．求定线问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．

丰富而有条理的知识储备是解题者的至宝

想，都是问题 第2页/共27页 做，才是答案

1

．在平面直角坐标系xOy

中，已知动点P

到

0,1F

的距离比它到直线2y

的距离小1

．

（1

）求动点P

的轨迹C

的方程；

（2

）过点F

的直线与曲线C

交于A

，B

两点，

2,1Q

，记直线QA

，QB

的斜率分别为

1k

，

2k

，求证：

1211

kk

为定值．

丰富而有条理的知识储备是解题者的至宝

1 / 11 定点、定直线、定值专题

1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab

3,1acac，22,1,3acb221.43xy

(II)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，

22226416(34)(3)0mkkm，22340km.

212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，

(最好是用向量点乘来)1212122()40yyxxxx，

2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，

2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.

当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7

综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7

2、已知椭圆C的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（Ⅰ）求2 / 11 椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)

1.真题回顾

2020新高考I卷

2.题型梳理

题型1：已知定点求定值

题型2：已知定值求定点

【例题】

已知椭圆x2

4+y2=1，设直线l不经过P

2(0,1)点且与C相交于A，B两点．若直线P

2A与直线P

2B的斜率

的和为-1，证明：l过定点．Q(2,-1)2025高考数学专项复习平移齐次化解决圆锥曲线

中斜率和积问题与定点问题【手电筒模型·1定+2动】

直线y=kx+

m与椭圆x2

a2+y2

b2=1a>b>0

交于A，B两点，P(x

0,y

0)为椭圆上异于AB的任意一点，

若k

AP⋅k

BP=定值或k

AP+k

BP=定值(不为0)，则直线AB会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰

手电筒模型)．补充：若y=kx+m过定点，则k

AP⋅k

BP=定值，k

AP+k

BP

k=定值.

2020·新高考1卷·22

1已知椭圆C

：x2

a2

+y2

b2=1(a>b>0)

的离心率为2

2，且过点A2,1．

(1)求C的方程：

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ

为定值．题型一已知定点求定值

1已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：∠POQ

=90°．

2如图，椭圆E

:x2

2+y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于

点A(0,-1)，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．

3已知点A

1,3

2

，O为坐标原点，E，F是椭圆C

:x2

4

=y2

3=1上的两个动点，满足直线AE与直线

AF关于直线x=1对称．证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值；

4如图，点F(1,0)为椭圆

x2

4+

y2

3=1的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于C､D两

点(C在D的上方)，设点A､B是椭圆E上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.