全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线（解答题1)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是
椭圆
2
2154
x y 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
2
21-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF
35
1
1544222+=--
+x x x ]5,5[-∈x ，
0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不
存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ⎧+
=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩
，得
依题意2
20(1680)0k k ∆=-><<，得当5
5
55<<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4
5252,455022
2102221+=+=+=+k k x x x k k x x
.4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y
又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-⋅=⋅∴k k k k k k
k k k R
F ∴20k 2
=20k 2
－4，而20k 2
=20k 2
－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.
(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.
:
y x
4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧
=--=--=.
316
2x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得
假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(22222
2222
2舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-
++=+++
因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.
（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，
.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧
-=--=故三点共线此时得由，
9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222=
=+-=-+--=又， , 392
y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->
+++>
∠CAB 为钝角.
9256
y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即
当
.CBA 3310
y 为钝角时∠-
<
2
2222y y 3428y 3y
349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又
0)32y (,034y 334y :2
2<+<++
即.
该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:
)32(93
23310≠>-
解法二：以AB 为直径的圆的方程为:
38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为
到直线圆心-=-=++-. ).33
2,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以
当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 93
2y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-
得令垂直的直线为且与过点.
3310
y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=
+得令垂直的直线为且与过点.
,
)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧
-=--= A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：
).32(93
23310≠>-
3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：
⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；
（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
解：（1）略；（2）A(2+3,2－3), B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3), B(2+3,2－3)
4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1,
2
1
)为方向向量的直线l 过点(0, 4
5)，抛物线C ：px y 22
=(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02
=+⋅p (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．
