2000--2012年苏州大学数学分析考研真题
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苏州大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题
一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共4题，计30分。
1. 设()
fx
在[]
,ab
上连续，且()
0b
afxdx=∫
，则[]
,xab∀∈
，()
0fx=
。
2. 在有界闭区间[]
,ab
上可导的函数()
fx
是一致连续的。
3. 设()
fx
的导函数()
fx′
在有限区间I
上有界，则()
fx
也在I
上有界。
4. 条件收敛的级数
1n
na∞
=∑
任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。
二、下列4题每题15分，计60分。
1. 计算下列极限：
（1）
1
11
lim1
2n
nn
→∞
+++
；
（2） sin
0lim
sinxx
xee
xx
→−
−。
2.
求积分2
DIxydxdy=
−∫∫
，其中(){}
,:01,11Dxyxy=
≤≤−≤≤
。
3. 设L
为单位圆周22
1xy+=
，方向为逆时针，求积分 ()()
224
Lxydxxydy
I
xy−++
=
+∫
。
4. 计算曲面积分
()
42
sinz
Sxdydzedzdxzdxdy++∫∫
，
其中S
为半球面222
1xyz++=
，0z≥
，定向为上侧。
三、下列3题，计36分。
1. 设()
fx
在[]
,ab
上可微，证明：存在()
,abξ∈
，使成立
()()()()
()
22
2fbfabafξξ′−=−
。
2. 设()
2
sinx
fxex=
，求()()2012
0f
。
3. 设()
fx
在闭区间[]
,ab
上二阶可导且()
0fx′′<，证明不等式
()()
2b
aab
fxdxfba+
≤−
∫
。 四、下列3题选做2题，计24分。
1.
（1） 设{}
na
是正数列，且lim0
n
na
→∞=
。
证明：存在另一个正数列{}
nb
，使得lim0
n
nb
→∞=，lim0n
n
na
b
→∞=
；
（2） 设
1n
na∞
=∑
为收敛的正项级数。
证明：存在一个收敛的正项级数
1n
nb∞
=∑，使得lim0n
n
na
b
→∞=
。
2. 设实数列{}
na
，{}
nb
满足lim1
n
na
→∞=
，lim2
n
nb
→∞=
。证明：
（1） n
充分大时，方程8
nnxaxb+=
在()
0,∞
上有且只有一个解。
（2） lim1
n
nx
→∞=
。
3. 设()
fx
在R
上有连续一阶导数且()()()()
2
2
1fxfxdx+∞
−∞′+=∫
。证明：
（1） ()
lim0
xfx
→∞=
；
（2） xR∀∈
，(
)2
2fx<
。
2008年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题
1. 求下列极限。
（1）
222111
lim
12nnnnn→∞
+++
+++
；
（2） 3
3
2
01
lim
sin2x
xex
x
→−−
。
2. 计算积分()2
2222
0,0
cossindt
ab
atbtπ
>
+∫
。
3. 设f
在[]
0,1
上连续，并且[]()
[]
,,fabab⊆
，即f
的值域包含在[]
0,1
内。证明存在
[]
00,1x∈
，使()
00fxx=
。
4. 计算三重积分
()
222
Vxyzdxdydz++∫∫∫
，其中(){}
222
,,:,28Vxyzxyzz=+≤≤≤
。
5. 求函数22
2zxxyy=−−
在圆盘(){}
22
,:1xyxy+≤
上的最大、最小值。
6. 设级数
11
n
na∞
=∑绝对收敛。证明级数
11
n
nxa∞
=−∑
在x
不等于()
1,2,
nan=
时也是绝对收
敛的。并进一步证明上述级数在不含点()
1,2,
nan=
的任意有界闭区间上一致收敛。
7. 设f
在[)
0,∞
上单调递减，且()
0fxdx+∞
∫
收敛。证明()
lim0
xxfx
→+∞=
。
8.
（1） 设f
在有限闭区间[]
,ab
上连续。证明f
可以连续地延拓到ℜ上，即存在ℜ上
的连续函数F
，使[]
,xab∈
时，有()()
Fxfx=
。
（2） 设二元函数()
,fxy
在闭圆盘(){}
22
,:1Bxyxy=
+≤
上连续。证明存在2
ℜ
上
的连续函数()
,Fxy
，使()
,xyB∈
时，有()()
,,Fxyfxy=
。
（3） 设f
在有限闭区间()
,ab
上连续，是否有ℜ上的连续函数F
，使()
,xxy∈
时，
有()()
Fxfx=
？分别考虑f
为无界、有界的情况。
9.
（1） 2
sinx
xx
π<<
； （2） 33
sin
63xx
xxx
π−<<−
。 2007年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题
1.
（1）
()
824lim11
nnn
→∞+−+
；
（2） 3
3
2
01
lim
sin2x
xex
x
→−−
。
2. 计算积分()2
2222
0,0
cossindt
ab
atbtπ
>
+∫
。
3. 设()
,fxy
二次可微。证明在平面的旋转变换cossinxuvαα−，
sincosyuvαα+
（其中α
为定角）下，有恒等式2
222
ffff
xyuv∂∂∂∂
+=+
∂∂∂∂
；
2222
2222ffff
xyuv∂∂∂∂
+=+
∂∂∂∂。
4. 设f
是定义在有限闭区间[]
,ab
上的实值函数。证明：如果f
在[]
,ab
的每点上极限都
存在，则f
有界。
5. 设0x>
，用重积分的方法证明
()22
2
2211
22xt
x
x
xeedteππ
−−
−
−<<−
∫
。
6. 设级数
11
n
na∞
=∑
绝对收敛。证明级数
11
n
nxa∞
=−∑
在x
不等于()
1,2,
nan=
时也是绝对收
敛的。并进一步证明上述级数在不含点()
1,2,
nan=
的任意有界闭区间上一致收敛。
7. 设f
以2π
为周期的连续函数，()2
00fxdxπ
=∫
，且存在常数L
，使得对任意实数x
和y
，()()
fxfyLxy
−
≤−
。证明：()
max
xfxLπ
∈ℜ≤
。
8. 设f
在[)
,a∞
上可导，导函数有界，且()
afxdx∞
∫
收敛。证明：()
lim0
xfx
→+∞=
。如果
f
的导函数无界，是否可证明()
lim0
xfx
→+∞=
，举例说明。
9. 设T
是平面上一条长为L
的简单光滑的封闭曲线，其所围的面积为A
。设
1l
，
2l
为T
的
两条切线，它们均与Y
轴平行，并且T
恰好位于
1l
和
2l
围成的垂直带域内。记T
的弧长
参数表达式为
()
xxs=
，()
yys=
，0sL≤≤，
