苏州大学数学分析(二)课堂练习(2018.6.20)

数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。

证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。

事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。

所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。

又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。

2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。

院系 专业 学号 姓名 3211.1 对弧长的曲线积分1. 计算下列对弧长的曲线积分 (1)⎰+L n ds y x )(22 , 其中)20(sin cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t R y t R x L 122+n R π(2)⎰Lds x 2 , 其中L 为由1222=++z y x 与0=++z y x 所表示的圆的一周 32π(3)⎰Γ++ds z y x 2221,Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π2 的一段弧)1(232π--e(4)⎰+Lds y x )(3434, 其中L 为内摆线323232a y x =+ 374a(5)设L 为双纽线)0(),()(222222>-=+a y x a y x , 求ds y L ⎰)22(22-a院系 专业 学号 姓名 3311.2 对坐标的曲线积分1. 计算下列对坐标的曲线积分 (1)⎰L xydx , 其中L 为)0(,)(222>=+-R R y R x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针方向绕行的整个边界23R π-(2)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()( , 其中L 为逆时针方向绕行的圆周222R y x =+ π2-(3)⎰Γ+-++dz y x ydy xdx )2(32 , 其中Γ为从点)1,1,1(到点)4,3,2(的直线段 39/2(4)⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(23 , 其中L 为2x y =上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧-4/52. 利用曲线积分计算星形线323232a y x =+所围图形的面积 283a π院系 专业 学号 姓名 3411.3 格林公式及其应用1. 利用格林公式计算下列曲线积分 (1)⎰-+++-Ldy y x dx y x )753()42( , 其中L 为三顶点分别为)2,3(),0,3(),0,0(的三角形正向边界15(2) ⎰+-L y x xdy ydx )(422其中L 为9)2(22=+-y x ,且为逆时针方向 2π-2. 验证下列曲线积分与路径无关,并求积分值(1)⎰--)1,1()0,0())((dy dx y x 0(2) ⎰-)2,1()1,2(2x xdy ydx 沿在右半平面的路线 -3/2院系 专业 学号 姓名 353. 利用格林公式计算曲线积分⎰-+-Ldy y x dx y y )1cos ()(sin , 其中L 为圆周x y x 222=+上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧411sin π--4. 验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+是某一函数),(y x U 的全微分,并求这个),(y x U(1)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+ (2)ydy x dx y x cos )sin 2(++ C y xy y x x y x U +--+=33),(3223 C y x x y x U ++=sin ),(25. 在过点)0,0(O 与点)0,(πA 的曲线族x a y sin = )0(>a 中求一条曲线L , 使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++L dy y x dx y )2()1(3的值最小1=a6. 求可微函数)(x f ,使0))((=-⎰L xdy ydx x f 成立,其中L 为与y 轴不相交的任何闭曲线2xC y =院系 专业 学号 姓名 36第十一章 曲线积分习题课1. 计算⎰+Lds y x )( , 其中L 为连接点)1,0(),0,1(),0,0(的闭折线 21+2. 计算⎰+L y x ds e 22 , 其中L 为圆周222a y x =+,直线0,==y x y 在第一象限内围成扇形的边界a a ae e 4)1(2π+-3. 计算⎰-L ydx x dy xy 22, L 是从)0,1(A 沿21x y -=到)0.1(-B 的圆弧4π4. 设曲线积分⎰+L dy x y dx xy )(2ϕ与路径无关,其中ϕ具有连续导数,且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ1/2院系 专业 学号 姓名 375. 计算曲线积分⎰+---=L y x dyx ydx I 22)1()1((1)L 为圆周0222=-+y y x 的正向(2) L 为椭圆08422=-+x y x 的正向π2-6. 设曲线L 是正向圆周1)()(22=-+-a y a x ,)(x ϕ是连续的正函数,证明πϕϕ2)()(≥-⎰L dx x y dy y x院系 专业 学号 姓名 3811.4 对面积的曲面积分1. 计算下列对面积的曲面积分(1)⎰⎰∑++dS z y x )(,其中∑是上半球面0,2222>=++z a z y x3a π(2)⎰⎰∑+22yx dS ,其中∑是柱面222R y x =+被平面0,0>==h z z 所截取的部分 Rh π2(3)⎰⎰∑xyzdS ,其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限的部分12032. 求面密度为z =ρ的抛物面壳)(2122y x z +=)10(≤≤z 的质量 π)152534(+院系 专业 学号 姓名 3911.5 对坐标的曲面积分1. 计算下列对坐标的曲面积分(1)⎰⎰∑yzdzdx ,其中∑是球面1222=++z y x 的上半部分并取外侧 4π(2) ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中∑是由平面1,0=++===z y x z y x 所围的四面体表面并取外侧为正向1/82. 求流速场k y i x v ρρρ2+=穿过曲面22y x z +=与平面1=z 所围的立体表面的流量2π院系 专业 学号 姓名 4011.6 高斯公式1. 利用高斯公式计算⎰⎰∑+++-dxdy xz ydzdx x dydz z x y )()(22 , 其中∑是a z z a y y a x x ======,0,,0,,0所围成的正方体表面的外侧4a2. 利用高斯公式计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑是介于3,0==z z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧π81院系 专业 学号 姓名 41 第十一章 曲面积分习题课1. 计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 111 , 其中∑是球面2222R z y x =++的外侧 R π62. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧,计算⎰⎰∑zdxdy343a π3. 计算⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()( , 其中∑是)0(222h z y x z ≤≤+=的下侧苏州大学理工类高等数学课次练习院系 专业 学号 姓名 424.求曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22 , ∑为锥面22y x z +=与平面1=z 所围成的区域的边界曲面 π212+5.计算对坐标的曲面积分⎰⎰∑++=dxdy z h dzdx y g dydz x f I )()()(,其中∑是平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面并取外侧,)(),(),(z h y g x f 为∑上的连续函数 ab h b h ac g b g bc f a f ))0()(())0()(())0()((-+-+-。

1、设)(x f 是以T 为周期的周期函数且⎰=TC x f T 0)(1，证明⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。

证明：由⎰=T C x f T 0)(1，得到⎰=-Tdx C x f T 00])([1，从而有⎰=-T dx C x f 00])([ （*）本题即证明⎰+∞∞→=-n n dx x C x f n 0)(lim 2（此因⎰+∞=n n dx x112） 注意到21x 是递减的正函数，应用积分第二中值定理，对ξ∃>∀,n A 介于n 与A 之间，使⎰⎰-=-A n n dx C x f n dx xC x f n ξ])([1)(2 k ∃为非负整数使T kT n <--<ξ0，于是由（*），dx C x f dx C x f dx C x f dx C x f kTn kTn kTn nn⎰⎰⎰⎰+++-=-+-=-ξξξ])([])([])([])([于是有dxC x f n dx C x f n dx C x f n dx x C x f nTkT n kT n An⎰⎰⎰⎰-≤-≤-=-++02)(1)(1])([1)(ξξ令∞→A 有dx C x f n dx xC x f nTn⎰⎰-≤-∞+02)(1)( 故⎰+∞∞→=-nn dx x C x f n0)(lim 2，即⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。

2、设函数f(x)在整个实数轴有连续的三阶导数，证明存在实数a 使0)()()()(''''''≥a f a f a f a f 。

证明：由于f 的三阶导数连续，故若'''''',,,f f f f 有一个变号的话，利用根的存在性原理便知，使a ∃0)()()()(''''''＝a f a f a f a f ，结论得证。

苏州大学2018届高考考前指导卷2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则U A =ð ▲ ． 2．已知i 是虚数单位，复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．利用计算机随机产生0～1之间的数a ，则事件“310a ->”发生的概率为 ▲ ． 4．某地区连续5天的最低气温（单位：C ︒）依次为8,4,1,0,2--，则该组数据的方差为 ▲ ．5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．6．若抛物线24x y =的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为 ▲ ．7．已知一个正方体的外接球体积为1V ，其内切球体积为2V ，则21V V的值为 ▲ ．8．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 9．已知0a >，函数2()()f x x x a =-和2()(1)g x x a x a =-+-+存在相同的极值点，则a = ▲ ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为 ▲ ．11. 若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8απ+= ▲ ． 12. 已知0,0a b >>，则222a ba b b a+++的最大值为 ▲ ． 13. 在ABC △中，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ⋅的取值范围为 ▲ ．14. 设函数()33,2,,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-⎩，≥若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDE 中，∠ABD =60º，BD =2AB ，AB ∥CE ，AB ⊥CD ， （1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABC ⊥平面ACD .16．（本小题满分14分）在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，8c =. （1）若点M 是线段BC 的中点，AMBMb 的值； （2）若12b =，求△ ABC 的面积.ABDE（第15题图）17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>为4x =，(,0)Q n 是椭圆C 的长轴上一点(Q 异于长轴端点)，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①若2n =，求OA OB ⋅的最大值；②在x 轴上是否存在一点P ，使得PA PB ⋅为定值，若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．①记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；②若数列{a nn}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，1()g x x x=-． （1）①若直线1y kx =+与()ln f x x =的图像相切, 求实数k 的值；②令函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间[,1]a a +上的最大值． （2）已知不等式2()()f x kg x <对任意的(1,)x ??恒成立，求实数k 的范围．（第18题图）苏州大学2018届高考考前指导卷（2）参考答案一、填空题1．{2} 2．2- 3．234．16 5．11 6．2 7． 8．769．3 10．4 11．1312．23- 13． 11[,9]414． 1(,)(7,)2-∞+∞填空题参考解答或提示1． {}{|2}2U A x x x =<∈=N ≤ð．2． (12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-是纯虚数，所以实数a 的值为2-．3．本题为几何概型，因为13103a a ->⇒>，所以所求概率112313P -==． 4． 8(4)(1)0215x +-+-++==，所以该组数据的方差为52211()165i i s x x ==-=∑．5．第1次，33S I ==，；第2次，75S I ==，；第三次，117S I ==，． 6．设1122(,),(,)A x y B x y ，则126AB y y p =++=，所以1262222M y y y +-===． 7．设正方体棱长为a，则333311132224π214π2V R R V R R a ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪===== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭8．由题意得74430a a q +⋅=，又40a ≠，所以713q =-，321211421411()173161()3S q S q ---===---． 9． 2322()()2+f x x x a x ax a x =-=-，所以22()34+(3)()f x x ax a x a x a '=-=--；由题意得132a a -=或12a a -=，又0,a >所以3a =． 10．由题意知，在PAC △中，由正弦定理可得，sin sin PC ACPAC APC=∠∠， 所以2sin 4sin sin30PC PAC PAC =∠=∠︒，所以当90PAC ∠=︒时，PC 的最大值为4． 11． cos 2cos(),cos()2cos()48888ααααπππππ=++-=++，所以3s i n()s8888ααππππ+=+所以11tan()833tan8απ+===π．12．设20,20m a b n b a=+>=+>，则22,33m n n ma b--==，所以原式24223322233m n n mn mm n m n--=+=---≤当且仅当233n mm n=即n=，也即b=时等号成立．13．设MN的中点为D，则2221=()()4C M C N CD D M C D D N C D D M C D⋅+⋅+=-=-，故只需考虑||CD的最大、最小值.如图，点D在D1及D2处（1212AD CD AB=⊥，）分别取得最大、最小值.由222137,34CD CD==，所以CM CN⋅的取值范围为11[,9]4.14．由题意知，max()4f x a>①当0a<时，因为(0)0f=，max()4f x a>显然成立；②当0a=时，()33,02,0,x x xf xx x⎧-<=⎨-⎩，≥m a x()(1)204f x f a=-=>=，满足题意；③当0a>时，令332,x x-=解得121,2x x=-=，所以i）当02a<<时，max max()(1)24,f x f a=-=>解得12a<<；ii）当2a>时，3()3f x a a<-，由题意334a a a->，解得a综上所述，实数a的取值范围是1(,)(7,)2-∞+∞．二、解答题15. 证明（1）由题意AB∥CE，CE⊂面CDE，AB⊄平面CDE，所以//AB平面CDE.（2）在△ABD中，因为∠ABD=60º，BD=2AB，所以︒⋅⋅-+=60cos2222BDABBDABAD，即223ABAD=，因为222BDADAB=+，所以AB AD⊥，又AB CD AD CD D⊥=，，所以⊥AB平面ACD，又⊂AB面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.16. 解（1）因为点M 是线段BC的中点，AMBMBM x =，则AM ， 又60B =︒，8c =，在△ABM 中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯︒， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以△ ABC 中为正三角形，则8b =.（2）在△ ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C=，得8sin 2sin 12c BC b ==. 又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos C =.则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==， 所以△ ABC的面积1sin 4826S bc A ==⨯=17. 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，且π2π(,)33θ∈，故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈， （2） 令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'= ， 当1cos 3θ>时，0y '<； 当1cos 3θ<时，0y '>；可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有最小值22，当AD =时，此时总路程S有最小值50km ． 答：当集合点D 离出发点Akm时，总路程最短，其最短总路程为50km ．18. 解（1）由c e a ==24a x c ==，所以，a =2b =，即椭圆22:184x y C +=． （2）①由已知，(2,0)Q ，当直线AB 垂直于x 轴时，A ，(2,B ， 2O A O B⋅=． 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB ：(2)y k x =-，代入22184x y +=得2222(12)8880k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，212121212(2)(2)OA OB x x y y x x k x x ⋅=+=+--2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++2222222(1)(88)8241212k k k k k k k +-=-⋅+++224812k k -=+210212k =-+＜2． 所以，当直线AB 垂直于x 轴时，OA OB ⋅取到最大值2． ②设点(,0)P t ，11(,)PA x t y =-，22(,)PB x t y =-， 当直线AB 不垂直于y 轴时，设AB ：x my n =+，代入22184x y +=得222(2)280m y mny n +++-=， 12121212()()()()PA PB x t x t y y my n t my n t y y ⋅=--+=+-+-+221212(1)()()()m y y m n t y y n t =++-++-22222(8)(1)2()()2n m m n n t n t m -+--=+-+ 22222[82()]8()2m n n n t n n t m ---+-=+-+， 令2282()812n n n t n ----=得2384n t n+=，当2384n t n+=时，2222222883894()()522416n n n PA PB n t n n n n --+⋅=+-=+-=+-．当直线AB 垂直于y 轴时，(A n ，(,B n ，238(,0)4n P n + 2222238894()54216n n PA PB n n n n+-⋅=-+=+-．所以，在x 轴上存在点238(,0)4n P n +，使得PA PB ⋅为定值2294516n n+-． 方法二 先利用直线l 垂直于x 轴和垂直于y 轴两种情况下PA PB ⋅的值不变，猜想点238(,0)4n P n +，然后再证明此时PA PB ⋅为定值2294516n n+-．19. 解（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n2＋1．又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n2＋1．（2）①因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2＝b n ，所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7． 所以数列{c n }为等差数列．②设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i ＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列．设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76ii ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数） 当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝76；当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76ii ＋6k ＝(a i －76i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )，①若a i ＞76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；②若a i ＜76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递增数列．综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－16}．当a 1∈B 时，数列{a nn}中必有某数重复出现无数次；当a 1∉B 时，数列{a 6k ＋i6k ＋i }(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{a nn }任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．20. 解（1）设切点00(,)x y ，1()f x x¢=.所以000001ln 1x y x y kx k ，，，ìï=ïïï=+íïï=ïïî所以20x e =，21k e =. （2）因为1()g x x x=-在(0,)+?上单调递增，且(1)0g =． 所以1ln ,01,1()()|()|ln ||1ln , 1.x x x xh x f x g x x x x x x x x ìïï+-<<ïïï=-=--=íïï-+?ïïïî当01x <<时，1()ln h x x x x =+-，211()10h x x x¢=++>， 当1x ≥时，1()ln h x x x x=-+，222111()10x x h x x x x -+-¢=--=<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+?上单调递减，且max ()(1)0h x h ==． 当01a <<时，max ()(1)0h x h ==； 当1a ≥时，max 1()()ln h x h a a a a==-+． （3）令1()2ln ()F x x k x x=--，(1,)x ??． 所以222212()(1)kx x k F x k x x x -+-¢=-+=．设2()2x kx x k j =-+-，①当0k £时，()0F x ¢>，所以()F x 在(1,)+?上单调递增，又(1)0F =，所以不成立； ②当0k >时，对称轴01x k=， 当11k≤时，即1k ≥，(1)220k j =-≤,所以在(1,)+?上，()0x j <，所以()0F x ¢<， 又(1)0F =，所以()0F x <恒成立； 当11k>时，即01k <<，(1)220k j =->，所以在(1,)+?上，由()0x j =，0x x =，所以0(1,)x x Î，()0x j >，即()0F x ¢>；0(,)x x ??，()0x j <，即()0F x ¢<， 所以max 0()()(1)0F x F x F =>=，所以不满足()0F x <恒成立． 综上可知：1k ≥.11。

08071. 06求下列极限:(1).(1)lim n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，其中01α；（2）224cos arcsin 0limx x ex x --→2．设函数f(x)= 1sin ,00,0m x x x x ⎧≠⎨=⎩。

讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。

3．设u=f(x,y+z)二次可微。

给定球变换cos sin x ρθϕ=,sin sin y ρθϕ=,cos z ρϕ=.计算22,u u ϕθ∂∂∂∂。

4．设f(x)二次可导，'()f a ='()f b =0。

证明(,)a b ξ∃∈，使2''4()()()()b a f f a f b ξ-≥-。

5．设函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛于s(x)，如果每个()n u x 都在I 上一致连续。

证明s(x)在I上一致连续。

6．设f(x,y)是2上的连续函数，试交换累次积分2111(,)x x xdx f x y dy +-+⎰⎰的积分次序。

7．设函数f(x)在[0,1]上处处可导，导函数'()()()f x F x G x =-，其中()F x ，()G x 均是单调函数，并且'()f x >0，[0,1]x ∀∈。

证明 0c ∃>，使'()f x c ≥，[0,1]x ∀∈。

8．设三角形三边长的和为定值P 。

三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大？051.(20')1)11(2)lim(),()0,()()()()()()()0,()n n n n x aa b bbf a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限（）而因此其中存在解：由于存在，从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)222222(())211()()(()())lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))2lim(()()()((()))2limx a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)22222()(())2()()()((()))21()()2lim ()2[()]()(()(())2a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==--'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()limx x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠⊂==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在，上可微，且的每一个零点都是简单零点，即若则f 证明：在上只有有限个零点。

苏州大学2018届高考指导测试 (二)高 三 数 学（正题） 2018. 5考生注意：1．本试卷共4页，包括（第1题—第12题）、（第13题—第17题）两部分。

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答将填空题答案和解答题的解答过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效。

3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答卷纸的规定位置。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分。

请把答案填写在答题卡相应位置上） 1. 若2(31)i 25i a a a -+-=+，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ．2. 在平面直角坐标系xOy 中，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线”的充要条件是“实数k ∈ ▲ ”．3. 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差s 2= ▲ ．4. 已知角α是锐角，求sin α＋3cos α的取值范围 ▲ ．5. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是两个不同的平面，有下列四个命题：①⎩⎨⎧α∥ββ∥γ⇒α∥γ； ②⎩⎨⎧α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎩⎨⎧m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎩⎨⎧m ∥n n ⊂α⇒m ∥α．其中真命题的是 ▲ (填上所有真命题的序号)．6. 将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，则“A ，B 两人恰好在同一组”的概率为 ▲ ．7. 右图是一个算法的流程图，最后输出的n ＝ ▲ ．8. 设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知a 5＝3a 3，则95S S = ▲ ．9. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f (5)的值等于 ▲ ．10. 已知f (x )＝x 3－3x ，过A (1，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则m 的取值范围是 ▲ ．高三数学 第1页 共4页11. 已知D 是由不等式组⎩⎨⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4 围成的区域与区域D的公共部分的面积为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作□OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k ＝ ▲ ．13. 在正六边形ABCDEF 中，AB ＝1，AP xAB yAF =+，则x ＋y 的取值范围是 ▲ ．14. 将所有3的幂，或者是若干个3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的 第100项为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分） 已知向量m ＝(a ，cos2x )，n ＝(1＋sin2x ，3)，x ∈R ，记f (x )＝m ⋅n ．若y ＝f (x )的图象经过点( π4，2 )．（1）求实数a 的值；（2）设x ∈[－π4，π4]，求f (x )的最大值和最小值；（3）将y ＝f (x )的图象向右平移π12，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的单调递减区间． 16.（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°， P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2． （Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面P AB ．FCPA BCDEF高三数学第2页共4页17.（本小题满分15分）某企业有两个生产车间分别在A，B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意两点间的距离均有1km，设∠BDC＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？18.（本小题满分15分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，直线l过点A(a，0)和B(0，b)．（1）以AB为直径作圆M，连接MO并延长，与椭圆C的第三象限部分交于N，若直线NB是圆M的切线，求椭圆的离心率；（2）已知三点D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圆M与△DEG恰有一个公共点，求椭圆方程．高三数学第3页共4页19.（本小题满分16分）已知数列{}na的前n项和nS满足：(1)1n naS aa=--（a为常数，且0,1a a≠≠）．（1）求{}na的通项公式；（2）设21=+nnnSba，若数列{}n b为等比数列，求a的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设111211nn nca a+=-++-（），数列{}nc的前n项和为T n．求证：13nT＜．20.（本小题满分16分）已知关于x的函数f(x)＝x2＋2ax＋b（其中a，b∈R）．（1）求函数｜f(x)｜的单调区间；（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得1|()|4f m≤与1|(1)|4f m+≤能同时成立，求b－a 的取值范围．高三数学 第4页 共4页苏州大学2018届高考指导测试 (二)1．2． 2． 3． 4．（1，2]4－2若函数tan y x ω=在区间π(,π)2上单调递增，则实数ω的取值范围是________．13(0,][1,]22⋃．5．①③6．137． 100． 8．275 9． 8 10．（－3，－2）． 11．π2． 12． 0． 12－2在直角坐标平面内，点A （1，2）到直线l 的距离为1，且点B （4，1）到直线l 的距离为2，则这样的直线l 最多的条数为_________．4． 13．无13—2已知|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，且a ＋b ＋c ＝0 ，则向量a 与b 的夹角的余弦值＝ ．13－3在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE BD ⋅＝__________．13－4设点O 为△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC AO ⋅＝_____． 14． 981． 二、解答题15． 16． 无17．（1）在△BCD 中，∵sin 60sin sin(120)BD BC CDαα==︒︒-，∴2sin BD α=，sin(120)sin CD αα︒-=．则sin(120)1sin AD αα︒-=-．S＝sin(120)2400100[1]sin sin ααα︒-⋅+⋅-＝cos 450sin αα--． 其中π3≤α≤2π3． （2）2sin sin (cos 4)cos sin S ααααα-⋅--'=-＝214cos sin αα-． 令S '＝0，得1cos 4α=． 当1cos 4α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数； 当1cos 4α<时，S '＞0，S 是α的单调增函数． ∴当1cos 4α=时，S 取得最小值．此时，sin α=1sin sin(120)12211sin sin 2AD ααααα+︒-=-=-=-＝11122-=-（答） 18已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 过点A (a ，0)和B (0，b )．（1）以AB 为直径作圆M ，连接MO 并延长，与椭圆C 的第三象限部分交于N ，若直线NB 是圆M 的切线，求椭圆的离心率； （2）已知三点D （4，0），E （0，3），G （4，3），若圆M与△CADEG 恰有一个公共点，求椭圆方程．数列问题19－1解 (1)11(1),1－=-aS a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11n n n n n a aa S S a a a a --=-=---1nn a a a -=，即{}n a 是等比数列．∴1n n n a a a a -=⋅=； (2)由(1)知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-， 若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b a a +++=== 故22232322()3a a a a a +++=⋅， 解得13a =，再将13a =代入得3n n b =成立，所以13a =．(3)证明：由(2)知1()3n n a =，所以11111332111131311()1()33n n n n n n n c +++==+-+-－－－＋－1113131n n +=-+-，由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以11133n n n c +-＜，从而122231*********())33333333n n n n n T c c c ++=+++--++-=-＜＋（＜13．函数问题20－1已知关于x 的函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b （其中a ，b ∈R ）． （1）求函数｜f (x )｜的单调区间；（2）对于一切a ∈[0，1]，若存在实数m ，使得1|()|4f m ≤与1|(1)|4f m +≤能同时成立，求b －a的取值范围．。

课时安排：2课时教学目标：1. 让学生掌握数学分析的基本概念和理论；2. 培养学生运用数学分析方法解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的学术态度。

教学重点：1. 数学分析的基本概念和理论；2. 数学分析方法在解决实际问题中的应用。

教学难点：1. 理解和掌握数学分析中的抽象概念；2. 将数学分析方法应用于实际问题。

教学内容：一、数学分析的基本概念和理论1. 数列极限；2. 函数极限；3. 极限的性质；4. 无穷小和无穷大；5. 连续性。

二、数学分析方法在解决实际问题中的应用1. 极限的求解；2. 连续性的判断；3. 函数的导数和积分。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾数列极限和函数极限的概念；2. 引入无穷小和无穷大的概念。

二、新课讲解1. 数列极限的性质；2. 函数极限的性质；3. 无穷小和无穷大的性质。

三、例题讲解1. 讲解数列极限的求解方法；2. 讲解函数极限的求解方法；3. 讲解无穷小和无穷大的求解方法。

四、课堂练习1. 学生独立完成数列极限、函数极限和无穷小无穷大的求解题；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

第二课时一、导入1. 回顾连续性的概念；2. 引入连续性的性质。

二、新课讲解1. 连续性的性质；2. 连续性的判断方法。

三、例题讲解1. 讲解连续性的判断方法；2. 讲解函数的导数和积分的求解方法。

四、课堂练习1. 学生独立完成连续性的判断题；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

教学评价：1. 学生对数学分析的基本概念和理论掌握程度；2. 学生运用数学分析方法解决实际问题的能力；3. 学生在课堂上的参与度和学习积极性。

教学反思：1. 教师在讲解过程中要注意引导学生理解抽象概念，提高学生的逻辑思维能力；2. 教师要注重培养学生的实际应用能力，让学生在解决实际问题的过程中提高数学分析水平；3. 教师要根据学生的实际情况，适时调整教学内容和方法，提高教学效果。

苏州大学 微积分二 期末练习二一． 填空题：（每小题3分，共30分）1. 函数z =的定义域为 .2. 旋转曲面1222=--z y x 是xoy 平面上的双曲线绕 轴旋转所得.3. 曲线2222x y z R x z a⎧++=⎨+=⎩在xoy 平面上的投影曲线方程是 .4. 设曲线2t x =，3t y =，32t z =在点(1,1,1)处的一个切向量与z 轴正向的夹角成钝角，则它与x 轴正向夹角的余弦cos α= .5. 设D 是422≤+y x ，则⎰⎰+Dd xy σ)1(的值是 .6. 设(,)()(,)w f x y g x h x y =+，其中,,f g h 均为可微函数，则xw ∂∂= . 7. 若(,)z f x y =存在二阶连续偏导数，则2z x y ∂∂∂与2z y x∂∂∂的关系是 8. 设L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧，则()Lx y dx -=⎰ . 9. 幂级数∑∞=---11214)1(n n n n x n 的收敛半径R = . 10. 设方程2sin(23)23x y z x y z +-=+-确定(,)z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂ . 二．解下列各题：（每小题6分，共30分）1. 设)()(1y x yf xy f x z ++=，其中f 具有一阶导数，求y z x z ∂∂∂∂,.2. 设222),(z y x r r f u ++==，其中f 为可微函数，求gradu .3. 计算曲面积分xyzdxdy ∑⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=在第五卦限的外侧.4. 计算曲线积分⎰Γ++++222z y x zdz ydy xdx ，其中Γ是曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t e z t y t x cos sin 上从0t =到2t π=的一段.5. 判别级数∑∞=-+12)11(n n n 的敛散性.三．（A 类题，5分）求()Dxy x y dxdy -⎰⎰，其中D 由直线0,0x y x y -=+=及1x =围成.（B 类题，10分）试求曲面1z xy a=上被圆柱面222a y x =+所截下的有限部分的曲面面积)0(>a .四．（A 类题，5分）求x x f 2cos )(=的麦克劳林展开式，并指出收敛区间.（B 类题，10分）求234()ln(1)f x x x x x =++++的麦克劳林展开式，并指出收敛区间.五．（A 类题，5分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求 xz ∂∂以及曲面),(y x z z =在点(1,0,1)-处的法线方程.（B 类题，10分）求曲线cos ,sin ,t t t x ae t y ae t z ae ===上任一点的切线和该点与原点连线的交角.六．（A 类题，5分）求双曲线4xy =与直线21x y +=的最短距离.（B 类题，10分）设32212()z y y xy x x y αγβαββγ-=+++++，试证：当2γαβ≠时，函数z 有一个且仅有一个极值；又若0<β，则该极值必为极大值.。

《数学分析（下）》课程习题集一、计算题 1. 设f xyz z yxf u),,(222++=具有二阶连续偏导数，求xz u ∂∂∂2.2. 设f z yxf u ),(222++=具有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂，.2yz u ∂∂∂3. 0)cos(=--+xyz z y x ，求yz xz ∂∂∂∂,.4. 已知),(yx x f z=，求yz xz ∂∂∂∂,．5. 已知),(),,(v u f xy y x f z+=可微，求yx z ∂∂∂2．6. 设.,dz yx y x z 求-+=7. 设),(z x f u =,而),(y x z 是由方程)(z y x z ϕ+=所确的函数,求du ．8. 设)1,0(≠>=x x x zy，证明它满足方程z yzx xz y x 2ln 1=∂∂+∂∂．9. 设yxez=，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz yxz x．10. 已知zyxu= ，求yx u ∂∂∂2．11. 求曲面22yxz+=包含在圆柱x yx 222=+内部的那部分面积．12. 计算二重积分Dx d y ⎰⎰,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y=≤+≤．13. ⎰⎰-Dydxdy e2，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域．14. 计算二重积分⎰⎰Ω+=dxdyy xI )(22，其中Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形．15. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：⎰⎰-+a xax dyy xdx2020222)(．16. 求级数11(1)nn n xn∞-=-∑的和函数．17. 求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的和函数．18. 求级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数，并求∑∞=+021n nn 的和．19. 讨论∑∞=--11ln )1(n n nn 的收敛性．20. 判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的收敛性．21.求幂级数11(1))2nnnn x ∞=--∑的收敛区间．22. 求幂级数∑∞=122n nnxn 的收敛区间.23. 计算nn nx n)1(21-∑∞=的收敛半径和收敛域．24. 求幂级数nn nx n∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域．25. 求下列幂级数的收敛区间:+⋅++⋅+⋅+⋅nn n xxxx 33332313322．二、 填空题26. 幂级数nn x n∑∞=11的收敛半径为（ ）.27. 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）.28. 设级数∑∞==14n n u ，则级数=-∑∞=1)2121(n nn u （ ）．29. 当1<x 时，幂级数∑∞=+-013)1(n n n x的和函数为（ ）．30. 若∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim （ ）．31. 几何级数)0(11>∑∞=+a aqn n 当（ ）时收敛．32. 幂级数∑∞=+0!1n nxn n 的和函数为（ ）．33. 幂级数∑∞=12n n nx 的收敛域为（ ）．34. 幂级数∑∞=-12)1(n nn nn x的收敛域为（ ）．35.=)(x f x sin 的幂级数展开式为（ ）． 36. 级数∑∞=1n n u 发散的充分条件是（ ）．37. 设级数∑∞=+111n p n收敛，则p 的取值范围是（ ）．38. =∞→nnn nn ！2lim（ ）．39.2xe-的幂级数展开式为（ ）．40. =>∞→nk n an lim1a 时，当（ ）．41. =→→yxy y x sin lim0（ ）．42. 二元函数1122-+=y xz的定义域为（ ）．43.=++→→22220)sin(limyxy x y x （ ）．44.11lim22220-+++→→yx yx y x =（ ）．45.xyxy y x 11lim0-+→→=（ ）．46. 设22ln yxxy arctgz ++=，则=∂∂)1,1(xz （ ）． 47. 设='+=)0,1(),32ln(),(y f xy x y x f 则（ ）．48. 设=++=)1,1(,1ln ),(22df y xy x f 则（ ）． 49. 设),(y x z z=是由方程yz x ln =确定的隐函数，则xz ∂∂=（ ）．50. 设xu yx euy∂∂=-则,sin在点（2，π1）处的值为（ ）．51. 函数xy yxz333-+=的极小值为（ ）．52. 若函数y xyax x y x f 22),(22+++=在点（1，-1）处取得极值，则常数=a （ ）．53. 函数33812),(y xy xy x f +-=的极小值点为（ ）．54. 函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值为（ ）． 55. 函数y x yxy xy x f --++=2),(22的极值为（ ）．56. 设,),arctan(xe y xy z ==则=dxdz （ ）．57. 设==dz ez xy则,sin （ ）．58. 设=∂∂+∂∂+=yz yxz xy x z 则),ln(（ ）．59. 设='=)0,0(,),(x f xy y x f 则（ ）． 60.222zy x u ++=在（1，1，1）点的全微分为（ ）．61. 设)1ln(32z yx u+++=，则=∂∂+∂∂+∂∂)1,1,1()(zu yu xu （ ）．62. 二重积分=+⎰⎰σd y xD)6(2（ ）, 其中D 是由1,,222===x x y x y 所围成的区域； 63. 若函数,)()(),()(1∑-=+-∞=n nn a x a x f r r a r a x f 为收敛半径），内能展开成幂级数（在则=k a （ ），且内任意可导；在),()(r a r a x f +-64. 设023=+-y xz z ，则)1,1,1(xz ∂∂＝（ ）．65. =∞→2)!(limn nn n （ ）． 66. 积分=⎰⎰-yydx edy022（ ）．67. 改变积分⎰⎰xedy y x f dxln 01),(的次序后所得积分为（ ）．68. =⎰⎰1210xyxdy edx （ ）．69. 二重积分⎰⎰=+Dyx d eσ（ ），其中D 是由x y ln =,x 轴，2=x 所围成的区域． 70. 已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且1)(=⎰⎰Ddxdy x yf ，则⎰badx x f )( ＝（ ）．71. ,1,≤≤y x D π：设则⎰⎰-Ddxdy y x )sin (=（ ）． 72. 设D ：,1,3≤≤y x 则=+⎰⎰Dd y x x σ)(（ ）． 73. 设D ：,20,0ππ≤≤≤≤y x 则=⎰⎰Dydxdyx cos sin （ ）． 74. 设D 是由1,1,1,1=-==-=y y x x围成的矩形区域，则=⎰⎰Ddxdy （ ）． 75. 设f 是连续函数而D ：⎰⎰=+>≤+Ddxdy yxf y yx )(,0,12222则且（ ）． 三、单选题 （略）……答案一、计算题 1. 解：zu ∂∂=212xyf z f +，)2()2(22221212112yzfxfxy yfyzfxf z xz u ++++=∂∂∂.2. 解：令222z yx t++=，则)(t f u =，xu ∂∂=)(2t f x '，zu ∂∂=)(2t f z '.)(4)(2222t f xt f xu ''+'=∂∂，)(42t f yz yz u ''=∂∂∂.3. 解：1s in ()1s in (),.1s in ()1s in ()z y z x y z z x z x y z xx y x y z y x y x y z ∂+∂+==∂-∂-4. 解：x z ∂∂=yf f 121+，yz ∂∂=22yx f -.5. 解：xz ∂∂=yf f 21+yz ∂∂=x f f 21+,22122112)(xyff y x f f yx z ++++=∂∂∂.6. 解：2()()()()()x y x y d x y x y d x y d zd x y x y ⎛⎫+-+-+-== ⎪--⎝⎭2()()()()()x y d x d y x y d x d y x y -+-+-=-222()y d x x d yx y -+=-2222.()()y x d x d y x y x y =-+--7. 解：u u d u d x d y xy∂∂=+∂∂,()z x y z ϕ=+ （1）方程（1）两边对x 求导：1()z z y z x xϕ∂∂'=+∂∂，1.()1z xy z ϕ∂-∴='∂-方程（1）两边对y 求导：()(),z z z y z yyϕϕ∂∂'=+∂∂ ().()1z z yy z ϕϕ∂-∴='∂-而;()1zx f u f f z f x x zxy z ϕ∂∂∂∂=+⋅=-'∂∂∂∂-()();()1()1z z f z u f z z f yzyy z y z ϕϕϕϕ⋅∂∂∂-=⋅=⋅=-''∂∂∂--()().()1()1zz x f f z u u d u d x d y f d x d y xyy z y z ϕϕϕ⋅∂∂∴=+=--''∂∂--8. 解:1-=∂∂y yxxu ，x xyu yln =∂∂,z x xxyxyx yzx xz y x yy 2ln ln 1ln 11=+=∂∂+∂∂-.9. 解:yex z yx1=∂∂，2yx eyz yx-=∂∂，则012=-=∂∂+∂∂y x yeyxey z yxz xyxyx.10. 解：xu ∂∂=1-zyxzy ，=∂∂∂yx u 2121ln 1--+zyzyxzx y xz.11.解：由222z x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩ 消去z 得投影柱面：222x y x+=，在xoy 面上的投影区域为 22:2xy D x y x+≤2x y z z ==21122222222=++++=++∴yxy yxx zzyx所求面积为：2c o s 2002x yD Ax d yd d r πθθ==⎰⎰⎰⎰220c o s .d πθθ==12.解：由对称性，可只考虑第一象限部分，14DD =，Dx d y ⎰⎰=41D x d y ⎰⎰2201s in 44r d r d r rππθ==-⎰⎰.13. 解：dx edydxdy eyyDy⎰⎰⎰⎰--=10022ee eydy eyy210121221-=-==--⎰.14. 解：⎰⎰⎰⎰Ω-=+=+a ayay adx y xdydxdy y x34222214)()(.15. 解：在极坐标系下，半圆22xax y-=的方程变为⎰⎰==≤≤=2cos 204343,20,cos 2πθπθπθθa adr r d a r 原式.16. 解：11()(1)nn n xs x n∞-==-∑，显然(0)0s =.21()1,(11)1s x x x x x'=-+-=-<<+两边积分得0()ln (1)xs t d t x '=+⎰即()(0)ln (1)()ln (1),s x s x s x x -=+∴=+又1x =时，111(1)n n n∞-=-∑收敛,11(1)ln (1)(11)nn n xx x n∞-=-=+-<<∑.17. 解：令111()(1)1n n n n n n xxxS x n n nn ∞∞∞=====-++∑∑∑11111nn n n xxnxn +∞∞===-+∑∑,设11(),nn xS x n∞==∑121(),1n n xS x n +∞==+∑则1111(),1n n S x xx ∞-='==-∑101()ln (1).1xS x d x x x∴==---⎰21(),1nn xS x xx∞='==-∑20()l n (1).1x x S x d x x x x∴==----⎰1211()()()ln (1)[ln (1)]S x S x S x x x x xx∴=-=--++-11(1)ln (1).x x=+-- (1,0)(0,1x ∈- 即 11(1)ln (1),(1,0)(0,1)()0,0x x S x xx ⎧+--∈-⎪=⎨⎪=⎩.18. 解：令)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ，则)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ∑∞=+'=1)(n n x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=+01n n x .)1(112x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1<x 当1±=x 时，级数∑+±)1()1(n n发散，所以级数的收敛域)1,1(-， 令1-=x ，得4)21(211==+∑∞=f n n n.19. 解：∑∞=-1ln )1(n nnn 发散，令xx x f ln )(=，则当2e x >时，02ln 2)(<-='xxx x f ，从而)(x f 在),(2+∞e 上单减，故当9>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 单调减少，又0ln lim =∞→n n n ，故∑∞=--11ln )1(n n n n 为 leibniz 级数，所以它条件收敛.20. 解:12)1(2lim !2)1()!1(2limlim111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→en n n nn n u u nn nnn n n nn n ，所以级数∑∞=⋅1!2n nnnn 收敛.21.解：11limlim22n n n na R a ρ+→∞→∞===∴=,即1122x -<收敛，(0,1)x ∈收敛 .当0x =时，级数为1n ∞=∑,当1x =时，级数为1nn ∞=∑(0,1).22. 解： 级数缺奇次幂的项，而 2(1)112(1)2limlim2n n n n nn n nu n xu n x+++→∞→∞+=⋅2211lim.22n n xxn→∞+==当211,2x <即x <时,级数收敛; 当211,2x>即x >,级数发散.收敛半径为R =又当x =±时,级数为1n n ∞=∑发散,故收敛区间为(23. 解：21212lim1=++∞→nn nn n ，∴收敛半径21=R ，当21=x 时，∑∞=-1)1(n nn收敛，当23=x时，∑∞=11n n发散，故收敛域为)23,21[.24. 解：由于en n nn nn nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e1，当ex 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e nnn n，所以收敛域为)1,1(ee -. 25. 解：313)1(3limlim11=+=+∞→+∞→n nn nn n n n a a ，R=3。