第三章 用直角坐标解平面问题
3.1多项式解答
逆解法要求首先选择能够满足双调和方程的函数，然后再考察他们能够解决什么问题。在所研究的函数中最简单、最常用的就是多项式。从另一种意义上说，不管弹性力学问题的解多么复杂，大多数可以展开成级数的形式，而最简单的形式就是幂级数。多项式可以视为幂级数的一种简单的近似。为此，我们从一次函数开始，按照逆解法的步骤给出一些问题的多项式解答。
3.1.1.一次函数
cbyaxΦ，不计体积力，考察它能解决的问题。
①检查Φ是否满足协调方程（2.33）
0ΦΦ2Φ4422444yyxx （2.33）
能被满足。
②根据（2.30）式求出应力分量
0Φ22xfyxx，0Φ22yfxyy，0Φ2yxxy。
③考察边界条件：无面力。
④结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数Ф的线性项不影响弹性体内的应力分布，研究问题时可以舍去。
3.1.2. 二次函数
（1）2Φax，不计体积力，考察它能解决的问题
①检查Φ是否满足相容方程（2.33）
0ΦΦ2Φ4422444yyxx （2.33）
能被满足。
②根据（2.30）式求出应力分量{；
0Φ22xfyxx，
ayfxyy2Φ22， xy0(a)2a(b)yx02b(c)xy0-c
图3.1二次函数能解决的问题 0Φ2yxxy。
③考察边界条件
afysy2)(，0)()(sxysx。
④结论：2Φax可用来解图3.1（a）所示y向均匀拉伸问题。
同理可知2bΦy用来解图3.1（b）所示x向均匀拉伸问题。
(2)xycΦ，不计体积力，考察它能解决的问题
专题06 平面直角坐标系
考点一、平面直角坐标系
例1、（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)mn位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】
几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【详解】
解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】
本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键． 考点二、坐标方法的简单应用
例2、（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点A，B的坐标分别为(3,3)，(4,0)，把OAB沿x轴向右平移得到CDE，如果点D的坐标为(6,3)，则点E的坐标为__________．
【答案】(7,0)
【分析】
根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】
解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：431，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0) ．
故答案为：(7,0) ．
【点睛】
本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.
达标检测
1．点(﹣4，2)所在的象限是（ ）
利用平面直角坐标系解几何问题
平面直角坐标系是解决几何问题的重要工具之一。通过利用平面直角坐标系，我们可以方便地描述和推导各种几何关系，解决各种几何问题。本文将介绍平面直角坐标系的基本概念和用法，并通过具体的几何问题演示如何利用平面直角坐标系解决问题。
1. 平面直角坐标系的基本概念
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴和y轴。坐标轴的交点称为原点，用O表示。x轴向右延伸正方向，y轴向上延伸正方向。在坐标轴上，我们可以取一个单位长度，用于表示数值大小。坐标轴上的点由坐标表示，例如一个点P的坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的位置，y表示点P在y轴上的位置。
2. 平面直角坐标系的用法
（1）坐标计算：通过确定点的坐标，我们可以计算两点之间的距离、点到坐标轴的距离等。例如，已知点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以通过距离公式来计算点A和点B之间的距离。
（2）图形描述：通过坐标轴上的点，我们可以绘制图形来描述几何关系。例如，通过连接几个点可以绘制出直线、折线、曲线等。通过计算几何图形上的点的坐标，我们可以了解图形的特征和性质。
（3）问题求解：通过利用平面直角坐标系，我们可以解决各种几何问题。例如，已知两点可以求直线的斜率；已知直线的斜率和一点可以求直线的方程；已知两条直线的方程可以求直线的交点等。 3. 利用平面直角坐标系解几何问题的示例
问题一：已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2过点B(3, 5)且斜率为-1，求直线L1和直线L2的交点坐标。
解答：设直线L1的方程为y = 2x + b1，直线L2的方程为y = -x +
b2。将点A和点B的坐标代入直线方程，得到两个方程：2 = 2 * 1 +
b1 和 5 = -1 * 3 + b2。解得b1 = 0，b2 = 8。因此，直线L1的方程为y
= 2x，直线L2的方程为y = -x + 8。两直线相交时，它们的坐标相等，因此求解方程2x = -x + 8，解得x = 2。将x的值代入任意一个方程，得到y = 4。因此，直线L1和直线L2的交点坐标为(2, 4)。
中考压轴题之 ——平面直角坐标系下的角度相等问题
中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：
1、 利用三角形全等解决
2、 利用三角形相似解决
3、 利用三角函数解决
4、 利用圆的知识解决
下面分类举例说明：
类型一、 利用三角形全等解决角度相等问题
例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】：（1）∵抛物线y=ax+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），带入两点坐标即可。
∴抛物线的表达式为y=-x+2x+3；
(2) 设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y=-
1/3x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为y=-x+2x+3；(过程略）
（2）存在．
如图，设BP交轴y于点G，
∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，
∴当x＝2时，m＝﹣2+2×2+3＝3，
∴点D的坐标为（2，3），
把x＝0代入y＝﹣x+2x+3，得y＝3，
