第4章 最新工程力学

3.内力的分布(The distribution of internal force)
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：

13
4.2 横截面上的正应力
1638年：材料力学的开端 《关于两种新科学的对话》
伽利略像
开创了用实验观察——假 设——形成科学理论的方 法
14
研究方法： 实验观察
4.2 横截面上的正应力
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd
变形后： ab / /cd
22
低碳钢的拉伸试验
4.3 常温静载下材料的力学性能
试验原理：将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加
载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。记下一系列载荷 F 的数
值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。
23
4.3 常温静载下材料的力学性能
低碳钢的拉伸试验
拉伸图（F—ΔL曲线）：以ΔL为横坐标、F为纵
坐标，万能试验机上附有自动绘图设备。
F—ΔL曲线不能反映材料的力学性能：F与ΔL的
对应关系与试件尺寸L有关。
σ—ε曲线（应力—应变曲线）：以F/A=σ作为 纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标。
σ—ε曲线与试件的尺寸无关，反映材料本身的
力学性能。
σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似：A及L均为常数。
– 3kN
9
例 1：图(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的
轴力，并绘出轴力图。
解 ：分别计算AC、CD、DB段的轴力。
AC段：取左段为研究对象，设其上轴力为正 方向。AC段的轴力为 FN1 = F(拉力)
CD段：取左段为研究对象，设其上轴力为正方 向。CD 段的轴力为 FN2=－2F (压力)

l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。

方向与假设方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心
。 2）求2-2截面上的内力
Y 0 M0 0
-P - ql - Q2 0
P
l
(ql )
l
2
M2
0
Q2 = -P - ql
M2
Pl
1 ql 2 2
求得的 Q2 、M2 均为负值,说明内力实际方向与假
设方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。
例2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。 解：1、求支座反力：由整体平衡
为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。
例1：悬臂梁如图所示,求1-1截面和2-2截面
上的剪力和弯矩。
解：1）求1-1截面上的内力
Y 0
1 P 2 ql Q1 0
1 Q1 P 2 ql
M0 0
P
l 2
(1 2
ql)
l 4
M1
0
M1
1 2
Pl
1 8
ql 2
求得的 Q1 、M1 均为负值,说明内力实际
弯矩、剪力、荷载集度间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系
Y 0,Q(x ) [Q(x ) dQ(x )] q(x )dx 0
dQ(x dx
)
q(x
)......(a)
MO 0, (Mo—矩心O取在右侧截面的形心。)
Mo 0,P1 3 RA 1 M1 0 矩心o—1-1截面形心
Q
M1 RA 1 P1 3 5kN m
M
3、求2-2截面上的内力：取右半段研究
Y 0,Q2 RB 0 Q2 RB 9kN
RA
RB
Mo' 0,RB 1.5 M2 0 矩心o’—2-2截面形心