圆中的多解问题
- 格式：pdf
- 大小：328.57 KB
- 文档页数：6
１圜圈啊明 Ｉ
若点Ｐ在圆外，如图２，过Ｐ、０作直线，交圆于点 、 ，则直
径ＡＢ＝１１—５＝６ｅｍ，此时半径为３ｅｒａ．
所以圆的半径为８ｃｍ或３ｅｒａ．选Ｃ． 温馨小提示：若需要自己画图时，要特别注意图形位置关系的
多种可能性，防止漏解．
二、两平行弦与圆心的位置关系不确定产生多解
例２（２０１３年牡丹江卷）在半径为１３的ｏ ０中，弦ＡＢ／／ＣＤ，
弦ＡＢ和ＣＤ的距离为７，若ＡＢ＝２４，则ＣＤ的长为（ ）．
Ａ．１０ Ｂ．４ Ｃ．１０或４ Ｄ．１０或２、／ 解析：没有图形，应根据题意画出图形，圆心可能在两弦的同 侧，也可能在两弦之间，有两种情况．
连接ＯＡ，ＯＣ．作直线ＥＦ上ＣＤ于Ｅ，交ＡＢ于Ｆ，则ＥＦ上ＡＢ．
‘． ＯＦ上ＡＢ，ＯＥｊＩ ＣＤ，
．・．ＡＦ＝ＩＡＢ＝１２，ＣＥ＝｝ ．
在Ｒｔ△Ａ０Ｆ中，根据勾股
定理，得ＯＦ＝、／ ＝５． 图３ 图４
当ＡＢ和ＣＤ在圆心０的两侧时，如图３，
ＯＥ＝ＥＦ—ＯＦ＝７－５＝２．
在ＲｔＡＣＯＥ中，根据勾股定理得ＣＥ＝、／ ＝、／ ．
．・．ＣＤ：２ＣＥ＝２、面．
当ＡＢ和ＣＤ在圆心０的同侧时，如图４，
则０Ｅ＝ＥＦ＋０Ｆ＝７＋５：１２．
在ＲｔａＣＯＥ中，根据勾股定理得ＣＥ：、／ ＝５．
．‘．ＣＤ＝２ＣＥ＝１０．
因此，ＣＤ的长为１Ｏ或２、／ ．选Ｄ．
温馨小提示：当两平行弦在圆心的同侧时，它们之间的距离为 两弦心距之差；当两平行弦在圆心的异侧时，它们之间的距离为
两弦心距之和．
三、点在直径上的位置关系不确定产生多解
例３ （２０１３年泸州卷）已知ｏＯ的直径ＣＤ＝１０ｃｍ，ＡＢ是ｏ０ 的弦，ＡＢ上ＣＤ，垂足为 ，且ＡＢ＝８ｃｍ，则Ａ Ｃ的长为（ ）．
Ａ．２ ｃｍ Ｂ．４、／ ｃｍ
Ｃ．２、／ ｅｌＴｌ或４、／ ｅｍ
解析：连接ＡＣ，ＡＯ． Ｄ．２、／ ｅｍ或４、／ ｃｍ
ＡＭ＝ １ ＡＢ＝ １×８＝４ｃ ｃ ０Ｄ：０Ｃ＝５ｃｍ． 当 点在如图５所示的位 置时， Ｄ Ｃ
图５ 图６
．‘ＯＡ＝５ｃｍ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＣＤ ｉＡＢ，
．’．ＯＭ＝、／ＤＡ 一ＡＭｚ＝、／５０—４ ＝３ｃｍ，ＣＭ＝ＯＣ＋ＯＭ＝５＋３＝８ｃｍ．
． ．Ａｃ：、／Ａ ＋Ｃ ：、／４２＋８ ＝４、／５ ｅｍ．
当 点在如图６所示的位置时，同理可得ＯＭ＝３ｃｍ，
‘．’ＯＣ＝５ｃｍ，．‘．ＭＣ＝５—３＝２ｃｍ．
在Ｒｔ＆ＡＭＣ中，Ａｃ：、／ 面＝、／ ＝２、／ ｅｌｌ１．选ｃ．
温馨小提示：两种解法中， 点的位置关于圆心对称．
四、点在圆周上的位置不同（或弦所对的圆周角不唯一）而
产生多解
例４（２０１３年贺州卷）直线ＡＢ与ｏ ０相切于Ｂ点，Ｃ是Ｅ３ ０
与０Ａ的交点，点Ｄ是ｏ ０上的动点（Ｄ与Ｂ，Ｃ不重合），若 Ａ＝
４０。，则 ＢＤＣ的度数是（ ）．
Ａ．２５。或１５５。 Ｂ．５０。或１５５。
Ｃ．２５。或１３０。Ｄ．５０。或１３０。 解析：如图７，点Ｄ在优弧ＢＣ上时，连接ＯＢ．
・．・直线ＡＢ与ｏ ０相切于曰点，
．・．ＯＢ上ＢＡ，即 ＯＢＡ＝９０。．
’．。 Ａ＝４０。 ． Ａ ＝９０。－４０。＝５０。， １ ．‘． 肋ｃ＝ ＝２５。． Ｚ 当点Ｄ在劣弧ＢＧ上时，即在Ｄ 点处，
‘．‘ ＢＤＣ＋厶ＢＤ Ｃ：１８０ｏ
．‘． Ｄ Ｃ＝１８０。－２５。＝１５５。．
．・． 肋ｃ的度数为２５。或１５５。．选Ａ． 图７
温馨小提示：弦所对的圆周角有两种情况，圆周角的顶点在优 孤上，圆周角的顶点在劣孤上．
五、因不确定两圆是内切还是外切产生多解
例５（２０１３年宿迁卷）已知ｏ Ｏ。与ｏ Ｏ 相切，两圆半径分别
为３和５，则圆心距Ｏ。Ｏ：的值是
解析：当两圆外切时，有Ｏ。Ｏ２＝ ＋ｒ＝５＋３＝８； 当两圆内切时，有Ｏｌ０２＝ —ｒ＝５—３＝２． 综上所述，圆心距Ｏ Ｏ：的值是２或８． 温馨小提示：两圆相切，应考虑内切和外切两种情况．
六、相交两圆的圆心与公共弦的位置不确定产生多解
例６ （２０１３年内江卷）已知ｏ Ｏ１、ｏ Ｏ：两圆的半径分别为
５ｃｍ、４ｅｍ，ｏＯ１与ｏＯ２相交于 、Ｂ两点，且ＡＢ＝６ｃｍ，则ＯｌＯ２的长 为 ｃｍ． 解析：当圆心Ｏ。、Ｏ：在公共弦ＡＢ的异侧时，如图８，
・．‘０ ０。垂直平分ＡＢ，
１ ．’．ＡＤ＝÷ＡＢ＝３ｃｍ．
连接ＯＡ、０２Ａ，则０。Ｄ＝、／ ：５Ｘ／３ｒＺ￣－Ｙ一＝４（ｃｍ）
ｏ２０＝、／ ＝、／ ＝、／ （ｃｍ）．
．・．０１０２＝０ｌＤ＋Ｏ２Ｄ＝４＋、／丁（ｃｍ）．
当圆心０ 、０ 在公共弦ＡＢ的同侧时，如图９， 同理求得０ Ｄ＝４ｃｍ，
０２０＝、／ ｃｎｌ， 则０１０２＝ＤｌＤ一０２９＝４一
、／ （ｃｍ）． 故填４＋、／丁或４一、／丁． 图 图９
温馨小提示：已知两圆的半径及公共弦长，求圆心距时，要分 两圆圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况讨论．
七、因几何体的旋转方式不同而产生多解
例７（２０１３年绥化卷）直角三角形两直角边长是３ｃｍ和４ｃｍ， 以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积
是 ＣｌＴＩ ．（结果保留订）
解析：三角形斜边长为、／丽：５（Ｃｌｌ１）．
当以３ｃｍ的边所在直线为轴旋转一周时，
Ｓ表面积 ７ｒ・４２＋— １・５・２７＂ｒ・４＝３６＂ｎ＂（ｃｍ ）；
当以４ｅｍ的边所在直线为轴旋转一周时，
Ｓ表面积 ７ｒ・３２＋ １－・５・２７ｒ・３＝２４＂ｒｒ（ｃｍ ）；
当以５ｃｍ的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体
为共一个底面的两圆锥，其底面圆的半径＝ ｅｍ，
ｓ表面积＝ 。 １ 。孚 丌（ｃｍ ）．
Ｉ固圈啊哪 ｌ
温馨小提示：以直角三角形的边所在的直线为轴旋转时，要分
三种情况讨论；设圆锥底面半径为ｒ，母线长为ｆ，则圆锥的侧面积
为７ｒｒ２．
八、因满足条件的圆有不同情形而产生多解
例８（２０１３年呼和浩特卷）在平面直角坐标系中，已知点 （４，０）、 （一６，０），点Ｃ是Ｙ轴上的一个动点，当 ＢＣＡ＝４５。时，点
Ｃ的坐标为——． 解析：设线段ＢＡ的中点为Ｅ．
・．’点Ａ（４，０）、 （一６，０），
．・．ＡＢ＝ｉ０，Ｅ（一１，０）．
（１）如图１０所示，过点Ｅ作ＥＰ上 ，且ＥＰ＝ １ ＡＢ＝５，易知 二 △ＰＢＡ为等腰直角三角形， ＢＰＡ＝９０。，ＰＡ＝ＰＢ＝５、／２．
以点Ｐ为圆心， 为半径作Ｏ Ｐ，与Ｙ轴的 正半轴交于点Ｃ．
・．・ ＢＣＡ为０Ｐ的圆 周角， １ ．。． ＢＣＡ＝ １ ＢＰＡ＝ 二 ４５。，点ｃ即为所求． 若
ｉ
Ｂ ．．点 ０
图１１
过点Ｐ作 上Ｙ轴于点，，则ＯＦ＝ＰＥ＝５， ：１．
在Ｒｔ△Ｐ 中， ＝１，ＰＣ＝５ ｘ／２，ＣＦ＝＂Ｖ＇ｐ６ａ＿ＰＦ２＝７，
．・．ＯＣ＝ＯＦ＋ＣＦ＝５＋７＝１２＇．．．点ｃ的坐标为（０，１２）．
（２）如图１１所示，同理求得Ｙ轴负半轴上点Ｃ的坐标为（０，一１２）．
故答案为：（０，１２）或（０，一１２）． 温馨小提示：２０１３年的中考数学试题，以构造法解题的考题频
频出现。我们要好好体会这类题的解法．
ｌ
