计算方法4_常微分方程数值解法

常系数微分方程的求解1常系数微分方程概述常系数微分方程（Constant Coefficient Differential Equation,CCD），是指存在有限个常数系数的微分方程，即存在有m 个常数a1,a2,…,an的微分方程：y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an*y=0其中，y是函数，y^(n)是函数的n阶微分，当n>=0时，常系数微分方程称为普通的常系数微分方程，而当n<0时，称为被动的常系数微分方程。

2常系数微分方程的求解常系数微分方程的求解是数学分析学中的重要内容，目前已经形成了解该类问题的一些方法：（1）对于线性方程，采用求解线性常系数微分方程的一般解法，例如附加变量法、变特征值法等；（2）对于高阶非线性微分方程，采用求解微分方程的数值方法，即差分近似法，例如有限差分法、有限元法等；（3）对于常系数微分方程的拓展问题，则需要添加对应的拓展方法，例如组合数值分析法、Laplace变换法等；（4）对于非线性常系数微分方程的求解，采用求解非线性方程的数值方法，例如弦截法、分段线性化方法、图像法、牛顿迭代法等；（5）对于具有给定强行条件的常系数微分方程，有时需要采用求解条件方程的解析方法，例如克莱姆法、特征值法等；（6）综合方法，例如基于拟牛顿方法的滤波器法、基于随机变量的最大似然估计方法等。

3四个重要概念在学习常系数微分方程的求解时，要熟悉以下4个概念：（1）特征根：对于函数y=f(x)，它的特征根是指y'=0时的解。

所以，当一个微分方程有解时，那么它的特征根就可以成为方程解中特定变量x的“0值变化”点，即可将该方程分解为特征根和变量x的关系。

（2）特征方程：特征方程是指常系数微分方程的特征多项式及其对应的特征方程的求解问题。

特征多项式就是通过将常系数微分方程化为特征形式，转换出来的多项式。

在求解特征方程时，利用传统的多项式解法，即贝祖定理，计算出特征方程的特征根。

微分方程的数值解法微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。

微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。

本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。

一、欧拉法欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。

考虑一阶常微分方程：$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。

欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。

二、改进欧拉法改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。

改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。

改进欧拉法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:$f^*=f(t^*,y^*)$3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。

三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。

其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。

四阶龙格-库塔法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$k_1$:$k_1=f(t_i,y_i)$2. 根据$k_1$和$y_i$估算$k_2$:$k_2=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1)$3. 根据$k_2$和$y_i$估算$k_3$:$k_3=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_2)$4. 根据$k_3$和$y_i$估算$k_4$:$k_4=f(t_i+h,y_i+hk_3)$5. 根据$k_1$、$k_2$、$k_3$和$k_4$计算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$龙格-库塔法的精度较高，在求解一些对精度要求较高的问题时，龙格-库塔法是一个比较好的选择。

f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只 作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解
二、梯形方法 由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn

来描述。式中，x是质量m离平衡位置（0点）的距离；
2
t 是时间 ；c是弹簧常数。
3
当弹簧在振动开始时刻t = t0 时的初始位置x( t0)= x0 和初速度
dx dt
x (t ) x
0 0 t t0
确定时，弹簧的振动规律x(t) 也就唯一确定。这就 是一个常微分方程的初值问题，可写成：
称为步长。当
h h （常值）时称为等步长，有
i
xi x0 ih, (i 1,2,...n)
或
xi1 xi h, (i 0,1,2,...n 1)
7
因为初值问题中的初始条件 y (a) y0 为已知，即 可利用已知的 y 0 来求出下一节点处 y ( x1 ) 的近似值 y 1
初值问题（1.1）的数值解法，常采用差分方法，即把
一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。即将 （1.1）离散化后，求找其解y
= y (x)在一系列离散节点
6
a = x0 < x1 < … < xi < … < xn = b
上的近似值y0, y1, …, yn。
两相邻节点间的距离
hi = xi+1 - xi (i=0,1,2,…,n-1)
yi 1 yi hf ( xi , y i )(i 0,1,2 , n 1) (2.2)
这就是欧拉（Euler）公式，又称欧拉格式。利用它 可由已知的初值 y0 出发，逐步算出 y1 , y 2 , y n 。这 类形式的方程也称为差分方程。 当假定 yi 为准确，即在 yi y ( xi ) 的前提下来估 计误差 y ( xi 1) y i 1 ，这种截断误差称为局部截断误 差。由（2.1）和（2.2）可知，欧拉格式在节点x i 1 处的局部截断误差显然为：