总复习锐角三角函数
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边.
同理sinBbBc的对边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tanBbBBa的对边的邻边．
要点进阶： ABCabc
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
考点二、特殊角的三角函数值
主备人 用案人 授课时间 年 月 日 总第 课时
课题 7.6锐角三角函数的简单应用（1） 课型 新授
教学目标
1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、
2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点 进一步掌握解直角三角形的方法 难点 进一步掌握解直角三角形的方法
教法及教具 自主学习，合作交流，分组讨论 多媒体
教
学
过
程
教 学 内 容 个案调整
教师主导活动 学生主体
活动
一．指导先学：
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：
坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，
例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡
学生回顾相关所学知识
学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见
教
学
过
程
教 学 内 容 个案调整
教师主导活动 学生主体
活动
二．交流展示：
如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°背水坡AD的坡度i（即tan）为1：1.2,坝顶宽DC=2.5m，坝高4.5m 。
求（1）背水坡AD的坡角（精确到0. 1°）；
（2）坝底宽AB的长（精确到0.1m）
EFDCAB
拓展与延伸：如果在例题1中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD加宽0.5m，水坡AD的坡度i（即tan）为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.13m）
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)
一、选择题
1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（ ）
A．303m B．205m C．302m D．156m
【答案】D
【解析】
分析：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．
详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH=32×30=153，∴AD=2DH=156m．故从A地到D地的距离是156m．
故选D．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145ABDo，500BDm，55Do，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．500sin55mo B．500cos55mo C．500tan55mo D．500cos55mo 【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DEBD，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）
第9讲 锐角三角函数
知识点1
锐角三角函数
1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．
2. 特殊角的三角函数值
3.锐角三角函数值的变化规律
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；
当0°<<90°时，tan随的增大而增大． 【典例】
例1在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（ ）
A．35 B．45 C．34 D．43
例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（ ）
A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα
例3计算：𝑡𝑎𝑛260°−2𝑠𝑖𝑛30°4𝑐𝑜𝑠245°+𝑐𝑜𝑡30°．
【随堂练习】
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tanB 的值等于（ ）
A．23 B．√53 C．√52 D．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（ ）
A．2𝑠𝑖𝑛𝛼 B．2sinα C．2𝑐𝑜𝑠𝛼 D．2cosα
3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．
4．计算：𝑡𝑎𝑛245°𝑐𝑜𝑡30°−2𝑐𝑜𝑠45°−2sin60°．
知识点2 解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
2.基础知识
在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.
（1）三边之间的关系：𝑎2+𝑏2=𝑐2
（2）锐角之间的关系：A+B=C=90
（3）边角之间的关系：sin𝐴=𝑎𝑐 cos𝐴=𝑏𝑐 tan𝐴=𝑎𝑏
sin𝐵=𝑏𝑐 cos𝐵=𝑎𝑐 tan𝐵=𝑏𝑎 （4）面积公式：S=12ab=12ch（h为斜边上的高）
