空间向量的数量积运算教案20

3．1.3 空间向量的数量积运算【课标要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 【核心扫描】1．空间向量的数量积运算．(重点)2．利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3．空间向量数量积的运算律．(易错点)自学导引1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 〈a ，b 〉范围[0，π]．当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b提示 〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈a ，－b 〉＝π－〈a ，b 〉． 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量 数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b ) 交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c(3)两个向量数量积的性质 (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0.(2)若a 与b 同向，则a·b ＝|a|·|b|；提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．名师点睛1．空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π2]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．2．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，可用来求两个向量的夹角．(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．注意：①数量积运算不满足消去律若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．问题一：利用数量积求两点间的距离例1已知向量b a ⊥，向量c 与b a ,的夹角都是60，且,3,2,1===c b a 试求 （1）b a+ （2）2)(c b a -+思路：利用向量的平方等于模长的平方求解，老师先复习平面向量的基本知识，然后引导学生这两个例题，第一个稍微对下答案，第二个引导学生如何将三个向量的平方展开，中心思想就是将前面两个看成一个数，然后利用完全平方和展开.变式练习如图所示，平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．(学生上黑板演练，老师公布答案)[思路探索] 利用|AC 1→|2＝AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2求解． 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， 所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60° 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．问题二：求数量积例2：如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 1，求OB OA ⋅、AB ·OC .（第一个请学生回答，第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行不通的，所以要将两个向量用其他向量表示，将未知向量转化成已知向量，最好是化成同起点的已知向量，更能方表找到夹角）解：2160cos ==⋅OB OA OB OA ,OA OB AB -=0)(=⋅-=⋅∴OC OA OB OC AB变式变式练习:已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，F 为A 1D 1的中点，试计算：BD · AF （学生自主完成，喊通学生黑板演练，适当讲评，总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）探究：利用数量积求夹角如图所示，已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M 、N 分别是AB 、SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．（学生自主探究，引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）解 设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 三个向量两两夹角均为60°， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b ) ＝12(12a·c －a·b ＋12b ·c －b 2) ＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12. ∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →|·|BN →|＝－1232·32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.思路探索] 可先求向量OA →与BC →的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）夹角、距离的求法 (五)课后巩固:1.已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →的值．2.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( )．A ．12B ．22C ．－12 D ．03 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．。

环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)

《3.1.5 空间向量的数量积》教案教学目标:1.掌握空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念､性质和运算律,了解空间向量数量积的几何意义;2.掌握空间向量数量积的坐标形式,会用向量的方法解决有关垂直､夹角和距离问题｡ 教学重点:空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念､性质和运算律 教学难点:用向量的方法解决有关垂直､夹角和距离教学过程 :一､课前准备1.空间直角坐标系中的坐标;2.空间向量的直角坐标运算律;3.平面向量的数量积､夹角､模等概念二､新课导学※ 教学任务1. 夹角定义:,是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作==,,则AOB ∠叫做向量与向量的夹角,记作><,规定:π>≤≤<b a ,0特别地,如果0,>=<,那么a 与b 同向;如果π>=<,,那么a 与b 反向;如果090,>=<,那么与垂直,记作⊥｡教学任务2. 数量积(1)设b a ,是空间两个非零向量,我们把数量><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积,记作b a ⋅,即b a ⋅=><b a b a ,cos ||||(2)夹角:2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+(3)运算律 a b b a ⋅=⋅;)()(⋅=⋅λλ;⋅+⋅=+⋅)((4)模长公式:若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =, 则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+.(5)两点间的距离公式:若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则 2||(AB AB ==或,A B d =(6)00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x※ 典型例题例1.已知)3,1,3(A ,(1,0,5)B ,求:(1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2. 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -,(2,1,1)B -,(1,1,2)C ---,试求这个三角形的面积｡ 三.巩固练习:四.总结提升※ 学习小结。

数学空间向量的数量积与向量积的应用教案引言：数学中的向量是一个具有大小和方向的量，它在很多领域都有广泛的应用。

在空间中，向量之间可以进行数量积和向量积的运算，而这些运算在现实生活和科学研究中都有重要的应用。

本文将介绍数学空间向量的数量积和向量积，并讨论它们的应用。

一、数量积数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间的乘积。

数量积可以用来计算两个向量之间的夹角和它们的投影。

1.1 夹角的计算两个非零向量a和b的数量积公式为：a ·b = │a│ │b│ cosθ其中，│a│和│b│分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

通过数量积的公式，我们可以计算两个向量之间的夹角。

1.2 投影的计算向量的投影是指某一向量在另一个向量上的投影长度。

投影可以通过数量积来计算。

设向量a投影在向量b上的长度为p，则有：p = │a│ cosθ其中，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间产生的一个新向量。

向量积可以用来计算面积、体积和判断向量是否共线。

2.1 向量积的计算对于非零向量a和b，它们的向量积c的模长可以用如下公式计算：│c│ = │a│ │b│ sinθ其中，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

向量积的方向满足右手法则，即将右手的四指从向量a转向向量b，大拇指的方向就是向量积c的方向。

2.2 应用场景2.2.1 面积计算在平面几何中，两个向量a和b的向量积的模长等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。

这一特性在计算平面图形的面积时非常有用。

2.2.2 体积计算在三维几何中，三个向量a、b和c的向量积的模长等于这三个向量所张成的平行六面体的体积。

向量积的运算可用于计算三维图形的体积。

2.2.3 判断向量共线当两个向量的向量积等于零向量时，可以得出这两个向量是共线的。

这个特性在空间解析几何中的研究中经常被使用。

结论：数学空间向量的数量积和向量积在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。