2015年高考数学二轮专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实
数a的取值范围是( )
A.14，1
B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞)
[思考流程] (1)(分析)欲判断零点个数需研究函数性质和使 用零点存在性定理 ⇨ (推理)判断函数的单调性，使用函数在 开区间内零点的存在性定理进行判断 ⇨ (结论)得出函数零点 的个数．
2012 四川卷 9(B)，2012 课程
考点 3 简单的 线性规划问题
选择(8)
标准卷 14(A)，2012 广东卷 5(B)
2012 安徽卷 11(A)
说明：A 表示简单题，B 表示中等题，C 表示难题．
频率为分析 2012 各省市课标卷情况．
命题角度：从五年来课程标准卷的考情看，该部分的命题通常围绕 两个点展开．第一个点是围绕函数图象的交点展开，通过函数图象的交
(2)(分析)欲求实数a的范围需要知道a满足的不等式 ⇨ (推 理)推断函数的周期性，根据奇偶性与周期性拓展函数图象， 数形结合得出a满足的不等式 ⇨ (结论)解不等式得出所求范 围．
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)法一：∵f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上单调递增， 且f(0)×f(1)＝－1×1＝－1<0，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1) 上有一个零点．
点问题命制综合性较强的试题，如 2011 年的试题是求“函数 y＝x－1 1的 图象与函数 y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和”，把 函数的零点问题以图象的交点坐标的形式进行表述，而不直接给出函数 考查函数的零点(五年没有一次提到函数零点问题)；第二个点是围绕函 数建模展开，一般是解答题的一个部分，特别值得指出的是课程标准卷 五年来考查的两次函数建模都是与概率统计交汇进行的，这是课程标准 卷的一个命题特点，而安徽，陕西和广东等自主命题省份很少把函数图 象与性质与其他知识结合．

，向
量
．设向量 OC―→＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.
由
，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n, 3n)，
即 2cos α＝2m＋n,2sin α＝ 3n，
解得
m＝cos
α－
1 3sin
α，n＝
2 3sin
α.
故
m＋n＝cos
α＋
1 3sin
α＝2
3
3sinα＋π3∈1，2
－x13. 设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x，
所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调
递减，
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因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4； 当 x<0 即 x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≤x32－x13，g(x)＝x32－x13在区间[－1,0)上单调递增， 因此 g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4，综上 a＝4. 答案：4
(4)当 0<k<14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*) 有两个正根且均小于 1，故相应的满足方程|x2－1|＝t 的解有 8 个，此时原方程有 8 个根，故选 A.
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角度三
函数与方程思想在不 等式中的应用
[例 3] 已知函数 f(x)＝ln x－14x＋43x－1，g(x)＝－x2＋
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考点一
考点二
考点三
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练
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考点一
试题
解析
由函数 y＝logax 的图象过点(3,1)，得 a＝3.选项 A 中的函数
考点一
考点二
考点三
1 为 y＝ x，则其函数图象不正确；选项 B 中的函数为 y＝x3， 3
考点二
考点三
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考点三
函数在实际问题中的应用
试题
解析
5．(2016· 高考四川卷)某公该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元， 在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研
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考点三
试题
解析
建立不等式求解．
考点一
设 2015 年后的第 n 年， 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由 130(1＋ 12%)n>200，得 1.12n> 20 ，两边取对数，得 13
考点二
考点三
lg 2－lg 1.3 0.30－0.11 19 n> ≈ ＝ ，∴n≥4，∴从 2019 年开始，该 lg 1.12 0.05 5 公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元．
考点一
ωx 1 1 ＋ sin ωx－ (ω>0)， 2 2 2
x∈R.若 f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则 ω 的取值范围是( D )
考点二
考点三
1 A.0，8 5 C.0，8

=
������������-������������)������������ = ������������-������������ + ,所以阴影部分面积������ =
������ ������ ������ ������
������ -������������ + ,求导得������' = ������������������-������������ = ������������(������������-������),������∈(������,������),令������' =
2. 已知 x> 0, y>0, 若 + >m 2+ 2m 恒成立, 则实数 m 的取
������ ������
������������ ������������
值范围是 (
) .
A. m ≥4 或 m ≤-2 B . m ≥2 或 m ≤- 4 C. - 2<m <4 D . - 4<m < 2 【解析】 因为 x>0, y> 0, 所以 + ≥2 ������������= 8, 要使原不等
【解析】将求函数的定义域问题转化为解不等式问题. 要使 f (x)= l n(x 2-x ) 有意义 , 只需 x2-x>0, 解得 x>1 或 x<0.
∴函数 f( x )= l n(x 2-x) 的定义域为 ( -∞, 0) ∪(1, +∞ ) .
【答案】 C
热点重点难点专题透析·数学理科(HUm 恒成立, 则实数 t的取值范围为 (
A. [ -2 ������, 2 ������] B. ( - 2 ������, 2 ������) C. ( -∞,-2 ������] ∪[ 2 ������, +∞) D. ( -∞, -2 ������)∪(2 ������, +∞)