压缩态

((αλ
2
− 1)e iωt a + (αλ 2 + 1)e − iωt a + ) ψ (t ) = 0
2
（11）
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象
最后修定于：2003 年 9 月 24 日
这个方程有方程(10)的形式，其中时间依赖的 α 为
λ2α (t ) − 1 λ2α − 1 2iωt λ2α cos ωt − i sin ωt α e ， = ( t ) = λ2α (t ) + 1 λ2α + 1 λ2 (cos ωt − iλ2α sin ωt )
1
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最后修定于：2003 年 9 月 24 日
~(q − q ) ψ (q) = e ipqψ
由于
（6）
~ ψ
ˆ − q)2 (q
ψ
= q2
~ ψ
ˆ − p) ，同时 ( p
2
ψ
= p2
~ ψ
，我们可以写出 （7）
δq 2
ψ
δp 2
ψ
= q2
~ ψ
p2
≥
1 2 h 4
ω 2 (t ) = ω 02 + λ cos Ωt
而且外加频率 Ω 很接近 2ω 0 时，经典谐振子变得不稳定，因为谐振子的振幅随时间不断增
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大。一个高度压缩态在对应于最大经典运动的地方被制造出来，这时 P (t ) 很大而 Q(t ) 很小 （当然 Q(t ) 不会完全为零，但是在很长时间后会变得很小） 。对于参数共振的进一步讨论见 PS#2 的题目 2（也可以参考 Landau 和 Lifshits 写的《Classical Mechanics》 ） 。
（29）
获得的时间依赖的 α (t ) = −iP (t ) / Q(t ) 与方程(12)相符合。 正如这个例子所展示的， 任何时间依赖的哈密顿量都可以被用来生成压缩态。 这个普遍 现象背后的物理原因是， 不确定乘积正比与维格纳函数的峰在相空间所占面积， 而这个面积 由于相空间体积的守恒性在整个运动过程中是常数。 在实际应用中我们常常需要得到高度压缩的压缩态， 而且希望只对谐振子参数做小的变 化。然而上面这个例子暗示这很困难，因为 ω 接近 ω 0 时波包的宽度随时间变化很小。事实 上，我们可以利用参数共振现象来通过小参数的变化产生大的压缩度。众所周知，当谐振子 的频率被调制为
这正是任意的态的不确定关系。 具有 q = p = 0 且能使不确定乘积最小的态满足以下关系
ˆ + ip ˆ )ψ = aqψ + hψ ′ = 0 (aq
其中 α 是一个复参量。解这个方程，将 h 吸收进 α ，得到
（8）
ψ (q) = π −1 / 4 (α ′)1 / 2 exp(− αq 2 / 2)， α = α ′ + iα ′′
p2 m(t )ω 2 (t ) 2 + q 2m(t ) 2
（17）
对此方程在时间[0,t]做形式化积分，我们得到
ˆ (t )ψ = ψ (t ) = S t =0 lim ∏ e
N →∞ j =1
N
i − H ( t j ) Δt h
ψ t =0
（18）
其中 t j = jΔt ， Δt = t / N 。 我们现在证明压缩态的演化满足
ˆ2 B ˆ2 ≥ 1 A 4 ˆ =q ˆ=p ˆ, B ˆ = −ih∂ q ，我们得到 令A
ˆ, B ˆ] [A
2
（2）
ˆ + ip ˆ )ψ (aq ˆ + ip ˆ )ψ = q ˆ 2 α 2 + i[q ˆ, p ˆ] α + p ˆ2 ≥ 0 F (α ) = (aq ˆ 我们得到 p
αλ2 = e 2θ 。这样其波包宽度 δq 2
1/ 2
比真空态小 e 倍。
+ +
θ
ˆa ˆ−a ˆ a ˆ ) / 2) 我们可以得到其他的压缩态，其 类似的，利用幺正矩阵 U ( z ) = exp( z ( a
中 z 是复参量。由于压缩算符的形式，压缩态有时又被称作“双光子相干态” 。
1.3 由时间演化得到压缩态
最后修定于：2003 年 9 月 24 日
Pt =0 = 1 ， Qt =0 = −iλ2
这样演化的态在任何时候都保持（9）的形式，其参数 α (t ) = −iP (t ) / Q(t ) 。
（25）
现在我们考虑一个简单的例子，谐振子的频率从 ω 0 跃迁到 ω 。跃迁以后，原来的基态 就不再是基态了，它开始随时间演化。为了研究 Q 和 P 的动力学，我们引入
+
ˆ和 p ˆ 乘积取最小的状态中的一员。这一大类状态被 之前讨论的相干态是一大类能使 q
称为“压缩态” 。压缩态可能降低一个物理变量的不确定度（例如谐振子的坐标和动量，或 光脉冲的寿命） 。这使得它非常的有用。
1.1 不确定乘积
我们先回想一下不确定关系 δqδp ≥
1 h 的证明。 2
对于任意两个厄米算符 A 和 B，以及任意的态ψ ，我们考虑下面这个量
2
（12）
波包永远保持高斯型，它的宽度进行振荡。对于谐振子基态，永远有 α (t )λ = 1 。如果初始 态是压缩态， αλ >> 1 ，波包的宽度将在 cos ωt 接近零时达到最大值，在 sin ωt 接近零时
2
达到最小值。 压缩态（9）的维格纳函数随时间的演化由（12）决定，这是一个相空间的高斯型分布， 它形状不变绕原点以频率 ω 转动(见 PS#2 的题目 3)。与在相空间各向同性分布的基态（相 干态也是如此）不同，压缩态的高斯型波包在一个方向伸长，在另一个方向收缩。其主轴根 据经典谐振子的相流转动。 压缩态有一种更形式化的定义，这种定义要用到所谓的“压缩算符” 。压缩算符是幺正 算符，它作用在谐振子真空态上就产生压缩态。压缩算符的最简单的例子是
利用关系 q =
λ
2
(a + a + ) ， p = i
h
2λ
(a + − a) （第一讲） ，我们得到
ˆ + ip ˆ )ψ = (αq
时间依赖的态ψ (t ) = e
− iHt
1 αλ2 − 1 a + αλ2 + 1 a + ψ = 0 2λ
((
) (
) )
（10）
ψ 满足
e − iHt ((αλ 2 − 1)a + (αλ 2 + 1)a + )e iHtψ (t ) = ((αλ 2 − 1)a(−t ) + (αλ 2 + 1)a + (−t ) ) ψ (t ) = 0
ˆ 随时间演化的速度， ˆ 是 q,p 的线性多项式， ˆ 决定了 C 而且在 t=0 时 C 那么我们很自然假设 C
ˆ (t ) = P(t )q ˆ − Q(t ) p ˆ 。利用演化方程，我们发现 在任何时候都是 q,p 的线性多项式， C ˆ 2 mω 2 2 p P ˆ (t ) = i[C ˆ (t ), H (t )] = i[( Pq ˆ )] = −h ( p ˆ + mω 2 Qq ˆ ) （23） ˆ − Qp ˆ ), ( h∂ t C + q m 2m 2
+
1 ) 的 q = p = 0 的压缩态， 2
我们想研究它随时间的演化。最简单的办法就是将最小不确定关系 aqψ + hψ ′ = 0 用产生 和湮灭算符重写出来，因为这两个算符有非常简单的时间演化：a (t ) = e
iHt
ae − iHt = e − iωt a ，
a + (t ) = e iHt a + e − iHt = e − iωt a + 。
（27）
z − (t ) = e iωt z − (t = 0) = −e iωt (
这样我们有
i i + ) mω mω 0
（28）
Q(t ) =
1 sin ωt cos ωt sin ωt cos ωt −i −i (z+ + z− ) = ， P (t ) = i ( ) mω mω 0 mω 0 mω 2
由此可知
（14）
ˆU (θ ) = U + (θ ) U + (θ )q
λ
2 ih
ˆ+a ˆ + )U (θ ) = e −θ q ˆ (a
（15）
ˆ U (θ ) = U + (θ ) U + (θ ) p
2λ
ˆ+ − a ˆ )U (θ ) = eθ p ˆ (a
（16）
利用这个结果，我们可以证明态 U (θ ) 0 是一个满足（9 ）的最小不确定性态，其参数为
我们如何可以得到压缩态呢？比如从真空态开始。 事实上压缩态可以从谐振子动力学中
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最后修定于：2003 年 9 月 24 日
自然的得到，只要谐振子哈密顿量中的参数（频率 ω 和质量 m）是随时间演化的。我们来 看薛定谔方程
ih∂ tψ = H (t )ψ ， H (t ) =
z ± = Q ± iP / mω ，它满足关系 & + = −iωz + ， z & − = iω z − z
解 z + (t ) 的演化方程，得到 （26）
z + (t ) = e −iωt z + (t = 0) = e −iωt (