- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
D.y=2-3x-4������≥2-4 3(x>0)
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:从基本不等式成立的条件入手,对每个选项判断.A 选项, 只有当 x>0 时,不等式才成立,A 错误;B 选项,因为 ab>0,所以������������>0,������������>0, 由基本不等式知 B 正确;C 选项,若最小值为 2,需( ������2 + 2)2=1,得 x2=-1,无实数解,不正确;D 选项,y=2- 3x+4������ ≤2-4 3,不正确.
������������.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
基本不等式与最值
已知x,y都是正数. (1)若 x+y=S(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值14S2. (2)若 xy=P(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 ������.
一二
3.做一做
已知x>0,y>0.
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.理解基本不等式 ab ≤ a+2b(a,b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的求最大值
或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式和比较
代数式的大小.
课前篇 自主预习
一二
一、基本不等式 1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立).如果 a>0,b>0,我们用 ������、 ������分别代替不等式中的 a、b,可得到什么形式?
课前篇 自主预习
一二
二、利用基本不等式求最值 1.填写下面的两个表格:
x+y x(x>0) y(y>0)
10 10 10 10 10 10 10 10 10 123456789 987654321
xy
xy x(x>0) y(y>0) x+y
1 1 1 1 11111 1111 12345 5432
-1
1 ������
-1
≥8.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式, 从而达到放缩的目的. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不 等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1” 替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是
;
(2)若x+y=4,则xy的最大值是
.
解析:(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴x+y≥2 ������������=4.
当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴x+y 的最小值为 4.
(2)当 x+y=4 时, ������������ ≤ ������+2������=2,
课前篇 自主预习 一二
(4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点 C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD.
①AB 表示什么?②������+2������表示哪条线段?③ ������������对应哪个线段呢?④ OD 与 CD 的大小关系如何?从中你能发现什么?
于是(ab+cd)(ac+bd)≥2 ������������������������·2 ������������������������=4abcd.
当且仅当 ab=cd,且 ac=bd 时等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)由于
a+b=2,所以1������
+
1 ������
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4������������=4,当且仅当 a=4b, 即 a=2,b=12时取等号.
答案:(1)A (2)4
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最 大值.
答案:B 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
变式训练1下列结论不成立的是( ) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若 x≠0,则 x2+���1���2≥2 C.若������������ + ������������≥2,则必有 a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a 解析:由基本不等式可知,若������������ + ������������≥2 成立,则有������������>0,������������>0,因此 a>0,b>0 或 a<0,b<0,故 C 选项不成立.
=
1 2
������+������ ������
+
������+������ ������
=
1 2
������ ������
+
������ ������
+
2
≥
1 2
2
������ ������
·������������
+
2
=2,
当且仅当������
������=Biblioteka ������������,即
a=b
时等号成立.故1������
1 ������
-1
1 ������
-1
1 ������
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;
又1������-1=1���-���������
一二
课前篇 自主预习
根据以上表格,并结合基本不等式分析:
(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?
(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?
提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
答案:C
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> ������������ + ������������ + ������������.
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
+
1������≥2.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
探究三利用基本不等式求最值
例3(1)已知x>0,则
9 ������
