高中数学精品课件无理不等式的解法

绝对值不等式和无理不等式知识精要：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;一．基本解法与思想无理不等式解法：例1. 解无理不等式：(1)1-x >2; (2)1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x .(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.解答： (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x .(2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或 817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力. 绝对值不等式：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

无理不等式的解法河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 Emial:zhaojw1968@ 无理不等式是一类常用的重要不等式，解无理不等式是不等式性质的一个重要应用，但课本上没有系统将无理不等式的解法，为了同学们更好的掌握无理不等式的解法，本文以高中阶段常遇到的二次根式型无理不等式为例，将无理不等式的解法作以介绍，供同学们学习时参考.一、乘方法例1 解下列不等式（22x -，（3）2x +分析：本题是二次根式不等式问题，用乘方法.解析：（1）原不等式等价于22321210x x x x ⎧-->-+⎨-+≥⎩，解得x ＜2-， ∴原不等式的解集为{x |x ＜2-}.（2）原不等式等价于2234(2)20x x x x ⎧+-≥-⎨-≥⎩或234020x x x ⎧+-≥⎨-<⎩，解得x ≤4-或x ≥2， ∴原不等式的解集为{x |x ≤4-或x ≥2}.(3)原不等式等价于22040(2)4x x x x⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≥-⎩，解得0≤x ≤4，∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}.点评：解无理不等式的实质就是将其化为有理不等式，化为有理不等式的关键就是去根号，去根号的策略之一是乘方，使用乘方法解无理不等式时，若要在不等式两边乘偶次方的时应注意：（1）不等式的偶次乘方是有条件的，即两边都必须为非负，故在乘方前必须考虑不等式两边必须非负这一条件，若含根式的为小的一端，则大的一端必须为非负；若含根式为大的一端，则需要分类讨论，当小的一端为非负时，才能乘方，当小的一端为负值时，是根式有意义和小的一端为负数的未知数的取值范围就是不等的解，此时不必乘方.（2）根号下部分必须有意义，即必须为非负值，故常将无理不等式化为有理不等式组解.对常见二次根式不等式，常见类型为下面三类，按如下同解变形原理求解:(1)＞⇔()0()()g x f x g x ≥⎧⎨>⎩,(2)＞()g x ⇔2()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩,(3)()f x⇔2()0()0[()]()f x g x f x g x ⎧>⎪≥⎨⎪>⎩.二、图像法例22x -.分析：本题是二次根式不等式，可用图像法.解析：在同一坐标系中作出y=和y =2x -的图像，由图像知4-≤x ＜1x 时原不等2x -得1x =5，∴原不等式的解集为{x |4-≤x ＜5｝.点评：对无理不等式，若两边式子简单且对应的函数图像易作出，则可以用图像法，在同一坐标系中作出两边对应的函数图像，通过观察图像找出不等式的解集，在找区间端点时，可通过解对应的方程解得.本题也可以用乘方法，但计算量较大，图像法直观明了，简化计算.三、补集法例3＞3x -.＞()g x()g x解集的补集，而≤()g x 解法简单，故可用补集法.有意义的解集为全集I,则I=[3,)-+∞≤3x -的解集为A3x -等价于230303(3)x x x x ⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≤-⎩，解得A={x |x ≥6}， ∴原不等式的解集为{x |3-≤x ＜6｝.点评：()g x 问题，()g x 解集关x()g x 解法简单，故可用补集法.四、换元法例44x -..t ，则t ≥0，4x -=26t -，原不等式可化为206t t t ≥⎧⎨>-⎩，解得0≤t ＜3，即03，解得2-≤x ＜7，∴原不等式的解集为{x |2-≤x ＜7｝.点评：对易化为关于某根式的不等式问题，可用换元法，设这个根式为t ，将原不等式化为关于t 的不等式组问题，先解出t 的范围，即根式的取值范围，再用乘方法解出x 的取值范围，注意新变量t 的取值范围不能忘记.。

无理不等式的解法无理不等式是根号内含有未知数的不等式。

无理不等式的基本形式如下：（1）)()(xgxf>（2）)()(xgxf<（3）)()(xgxf>（4）)()(xgxf<无理不等式的解法过程中我们利用如下思想方法：（1）转化与化归思想方法转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。

数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。

转化与化归思想的原则是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决过的问题；将一般性问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。

无理不等式一般转化为有理不等式（组）来解。

（1）)()(xgxf>⇒或（2）)()(xgxf<⇒（3）)()(x g x f >⇒（4）)()(x g x f <⇒（2）数形结合思想方法数与形是数学中两个基本的概念，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

不仅是一种重要的方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。

数形结合的主要途径：（1） 形转化为数。

即用代数方法研究几何问题。

（2） 数转化为形。

即根据给出“数式”的机构特点，构造出与相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。

（3） 数形结合。

即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观，简单，思路易寻。

数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题的思路。

运用数形结合的思想解不等式题主要有以下几个步聚；（1）转化：即将代数式转化为几何式。

（2）构造：即构造图形或函数。

以下是用实际例题来解释具体方法。

例1. 解不等式152+>+x x 。

分析：原不等式的解集等介于不等式组或 的解集。

解得21<≤-x解得125-<≤-x 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-225|x x设521+=x y ，12+=x y可知521+=x y 表示一个顶点在)0,25(-，以x 轴为对称轴的，开口向右的抛物线的上半部分。

无理不等式的解法一、引入：1．无理不等式的类型： ①⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：例1 解不等式0343>---x x解：∵根式有意义 ∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x例2 解不等式x x x 34232->-+- 解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x例3 解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x}10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或特别提醒注意：取等号的情况例4 解不等式1112-+>+x x解 ：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x 原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负 ∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x 例5 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6 解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x 在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或。