2012考研数学二真题及答案

x y 2
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0

２０１２年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｃ　（２）Ａ　（３）Ｂ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ｄ　（７）Ｃ　（８）Ｂ二、填空题（９）１．　（１０）π４．　（１１）０．　（１２）槡狓．　（１３）（－１，０）．　（１４）－２７．三、解答题（１５）（Ⅰ）方法１（等价无穷小）　１．（Ⅱ）犽＝１．（１６）１）得驻点为犕１（－１，０）和犕２（１，０）．２）犳（－１，０）＝－ｅ－１２为极小值．犳（１，０）＝ｅ－１２为极大值．（１７）犇的面积为２．旋转体的体积为２３π（ｅ２－１）．（１８）１６１５（１９）（Ⅰ）方法１（特征根法）　通解为犳（狓）＝犆１ｅ－２狓＋犆２ｅ狓犳（狓）＝ｅ狓．（Ⅱ）曲线狔＝ｅ狓２∫狓０ｅ－狋２ｄ狋有唯一的拐点（０，０）．（２０）略．（２１）（Ⅰ）方程狓狀＋狓狀－１＋…＋狓＝１在１２，（）１内有且仅有一个实根．（Ⅱ）方法１（单调有界准则）　ｌｉｍ狀→∞狓狀＝１２．（２２）（Ⅰ）１－犪４．（Ⅱ）狓＝犽烄烆烌烎１１１１＋０－烄烆烌烎１００（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）故犪＝－１．（Ⅱ）１）故犃Ｔ犃的特征值为λ１＝０，λ２＝２，λ３＝６．２）对应于λ１＝０的特征向量狆１＝－１－烄烆烌烎１１；济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博对应于λ３＝６的特征向量狆３＝烄烆烌烎１１２．３）犲１＝狆１＝－１槡３－１槡３１槡烄烆烌烎３，　犲２＝狆２＝１槡２－１槡２烄烆烌烎０，　犲３＝１槡６１槡６２槡烄烆烌烎６．４）为标准形犳＝２狔２２＋６狔２３．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博一、选择题（１）Ｃ　（２）Ａ　（３）Ｃ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ｂ　（７）Ｂ　（８）Ｂ二、填空题（９）ｅ１２．　（１０）１１－ｅ－槡１．　（１１）π１２．（１２）狔＝－狓＋π４＋ｌｎ２２．　（１３）ｅ３狓－ｅ狓－狓ｅ２狓．　（１４）－１．三、解答题（１５）方法１（泰勒公式）　狀＝２，犪＝７．（１６）犪＝槡７７．（１７）４１６３．（１８）略．（１９）所以曲线上点（１，１）到原点的距离最长，而点（０，１）和（１，０）到原点的距离最短．（２０）（Ⅰ）犳（狓）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，犳（狓）在狓＝１处取得极小值犳（１）＝１，且极小值犳（１）＝１也是犳（狓）在（０，＋∞）内的最小值．（Ⅱ）ｌｉｍ狀→∞狓狀＝１．（２１）（Ⅰ）犔的弧长为ｄ狓＝ｅ２＋１４．（Ⅱ）方法１（定积分）　珚狓＝３４·ｅ４－２ｅ２－３ｅ３－７．（２２）２）方法１（观察消元法）　犆＝犮１＋犮２＋１－犮１犮１犮（）２，其中犮１，犮２为任意常数．（２３）（Ⅰ）二次型矩阵为犃＝２ααＴ＋ββＴ．（Ⅱ）所以犃的特征值为２，１，０．从而，二次型犳在正交交换下的标准形为２狔２１＋狔２２．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｃ　（３）Ｄ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ａ　（７）Ｂ　（８）Ａ二、填空题（９）３８π．（１０）１．（１１）－１２（ｄ狓＋ｄ狔）．（１２）狔＝－２π狓＋π２．（１３）１１２０．（１４）－２≤犪≤２．三、解答题（１５）１２．（１６）驻点为狓＝±１，得狔（－１）＝０，狔（１）＝１．方法１（一阶导数法）故狔（狓）的极大值为１，极小值为０．（１７）方法１（利用轮换对称性）　ｄθ＝－３４．（１８）（１） ２狕 狓２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｃｏｓ２狔＋犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔， ２狕 狔２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｓｉｎ２狔－犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔．（２）４）求函数为犳（狌）＝－１１６ｅ－２狌＋１１６ｅ２狌－狌４．（１９）略．（２０）ｌｉｍ狀→∞狀犛狀＝１．（２１）π４（８ｌｎ２－５）．（２２）（Ⅰ）故犃狓＝０的同解方程组为狓１＝－狓４，狓２＝２狓４，狓３＝３狓４，狓４＝狓４烅烄烆，济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐犅＝－犮１＋２－犮２＋６－犮３－１２犮１－１２犮２－３２犮３＋１３犮１－１３犮２－４３犮３＋１犮１犮２犮烄烆烌烎３（犮１，犮２，犮３均为任意常数）．（２３）（１）犃的特征值为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀＝０．显然，上三角阵犅的特征值也为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀＝０．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１５年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｄ　（２）Ｂ　（３）Ａ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ｂ　（７）Ｄ　（８）Ａ二、填空题（９）４８．　（１０）狀（狀－１）ｌｎ狀－２２．　（１１）２．　（１２）ｅ－２狓＋２ｅ狓．（１３）－１３（ｄ狓＋２ｄ狔）．　（１４）２１．三、解答题（１５）方法１（泰勒公式）　得犪＝－１，犫＝－１２，犽＝－１３．（１６）犃＝８π．（１７）犳（狓，狔）有极小值犳（０，－１）＝－１．（１８）所以犇狓（狓＋狔）ｄ狓ｄ狔＝π４－２５．（１９）所以犳（狓）在（－∞，＋∞）内有两个零点，其中一个零点在－∞，（）１２之间，一个零点为狓＝１．（２０）物体还需冷却３０ｍｉｎ，温度才降至２１℃．（２１）犪＜狓０＜犫．（２２）（Ⅰ）方法１（特征值）　犪＝０．（Ⅱ）方法２　犡＝３１－２１１－１２１－烄烆烌烎１．（２３）（Ⅰ）犃＝０２－３－１３－３１－烄烆烌烎２４．（Ⅱ）方法１　（１）故犃的特征值为λ１＝λ２＝１，λ３＝５．（２）对λ１＝λ２＝１，由可得对应的线性无关的特征向量为狆１＝烄烆烌烎２１０，狆２＝－烄烆烌烎３０１．对λ３＝５，由可得对应的线性无关的特征向量为狆３＝１１－烄烆烌烎１．方法２　（２）犅的特征值为０，０，４．犅对应于特征值０的线性无关的特征向量为－济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博可得犅对应于特征值４的特征向量为：狆３＝α＝１１－烄烆烌烎１．（３）犃的特征值为１，１，５，特征向量为狆１，狆２，狆３．（４）作相似变换矩阵犘＝（狆１，狆２，狆３）和对角矩阵Λ＝１１烄烆烌烎５，则犘－１犃犘＝Λ．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１６年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｄ　（３）Ｂ　（４）Ｂ　（５）Ａ　（６）Ｄ　（７）Ｃ　（８）Ｃ二、填空题（９）狔＝狓＋π２．（１０）ｓｉｎ１－ｃｏｓ１．（１１）狔′－狔＝２狓－狓２．（１２）５·２狀－１．（１３）槡２２犞０．（１４）２．三、解答题（１５）方法１　１３．（１６）故当狓＞０时，犳（狓）的最小值为１４．（１７）狕＝狕（狓，狔）的极大值为狕（－１，－１）＝１．（１８）１－π２．（１９）通解为狔＝犆１ｅ狓－犆２（２狓＋１）（犆１，犆２为任意常数）．（２０）旋转体体积为１８３５π．所求旋转曲面面积为２π＝１６５π．（２１）（Ⅰ）１３π．（Ⅱ）犳（狓）在π２，３２（］π上单调增加，故在０，３π（）２上只有犳（狓１）＝０，即犳（狓）在区间０，３２（）π内存在唯一零点．（２２）（Ⅰ）犪＝０．（Ⅱ）求通解为狓＝犽０－烄烆烌烎１１＋１－烄烆烌烎２０（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）（１）故犃的特征值为λ１＝－２，λ２＝－１，λ３＝０．对于λ１＝－２，由可得对应的特征向量狆１＝（１，２，０）Ｔ．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博（２）犃９９＝２９９－２－２９９＋１－２９８＋２２１００－２－２１００＋１－２９９＋２烄烆烌烎０００．（Ⅱ）β１＝（２９９－２）α１＋（２１００－２）α２，β２＝（１－２９９）α１＋（１－２１００）α２，β３＝（２－２９８）α１＋（２－２９９）α２烅烄烆．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１７年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ａ　（２）Ｂ　（３）Ｄ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ｃ　（７）Ｂ　（８）Ｂ二、填空题（９）狔＝狓＋２．　（１０）－１８．　（１１）１．　（１２）狓狔ｅ狔．（１３）－ｌｎ（ｃｏｓ１）．　（１４）－１．三、解答题（１５）２３．（１６）ｄ狔ｄ狓狓＝０＝犳′１（１，１）＋犳″１１（１，１）－犳′２（１，１）．（１７）犐＝１４．（１８）故当狓＝１时，狔有极大值１；当狓＝－１时，狔有极小值０．（１９）（Ⅱ）方程犳（狓）·犳″（狓）＋［犳′（狓）］２＝０在区间（０，１）内至少存在两个实根．（２０）５４π．（２１）１２ｌｎ狔２＋狓（）２＋ａｒｃｔａｎ狔狓＝０．（２２）（Ⅱ）所以方程组犃狓＝β的通解为狓＝犽ξ＋η＝犽１２－烄烆烌烎１＋烄烆烌烎１１１，犽为任意常数．（２３）则犙＝－１槡２１槡３１槡６０－１槡３２槡６１槡２１槡３１槡烄烆烌烎６．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｄ　（３）Ｄ　（４）Ｄ　（５）Ｃ　（６）Ｃ　（７）Ａ　（８）Ａ二、填空题（９）１．　（１０）狔＝４狓－３．　（１１）１２ｌｎ２．　（１２）２３．　（１３）１４．　（１４）２．三、解答题（１５）即原式＝１２ｅ２狓ａｒｃｔａｎｅ狓－槡１－１６ｅ狓－（）１３２－１２ｅ狓－槡１＋犆．（１６）（Ⅰ）犳（狓）＝－２犪ｅ－狓＋２犪．（Ⅱ）犪＝ｅ２．（１７）３π２＋５π．（１８）略．（１９）最小值为１π＋４＋槡３３．（２０）此时犛关于时间狋的变化率为１０．（２１）即ｌｉｍ狀→∞狓狀＝０．（２２）（Ⅰ）当犪＝２时，方程组有非零解狓＝犽－２－１烄烆烌烎１，其中犽为任意常数．当犪≠２时，方程组只有零解．（Ⅱ）方法１（正交变换法）　规范形为犳（狕１，狕２，狕３）＝狕２１＋狕２２．（２３）（Ⅰ）犪＝２．（Ⅱ）可逆矩阵犘＝３－６犽１４－６犽２４－６犽３－１＋２犽１－１＋２犽２－１＋２犽３犽１犽２犽烄烆烌烎３，其中犽２≠犽３．济南博乐图书音像专营店整理理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｃ　（２）Ｂ　（３）Ｄ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ａ　（７）Ａ　（８）Ｃ二、填空题（９）４ｅ２．　（１０）３π２＋２．　（１１）狔犳狔２（）狓或狕．　（１２）１２ｌｎ３．（１３）１４（ｃｏｓ１－１）．　（１４）－４．三、解答题（１５）故狓＝１ｅ为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳１（）ｅ＝１（）ｅ２ｅ＝ｅ－２ｅ；故狓＝－１为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳（－１）＝１×ｅ－１＋１＝１－１ｅ；所以狓＝０为犳（狓）的极大值点，且极大值为犳（０）＝１．（１６）－２ｌｎ狓－１－３狓－１＋ｌｎ（狓２＋狓＋１）＋犆．（１７）（Ⅰ）狔（狓）＝槡狓ｅ１２狓２．（Ⅱ）π２（ｅ４－ｅ）．（１８）４３１２０槡２．（１９）ｌｉｍ狀→∞犛狀＝１＋ｅπ２（ｅπ－１）．（２０）得犪＝－３４，犫＝３４．（２１）略．（２２）则狓１α１＋狓２α２＋狓３α３＝β３的通解为狓＝犽（－２，１，１）Ｔ＋（３，－２，０）Ｔ＝（－２犽＋３，犽－２，犽）Ｔ，即β３＝－２犽＋（）３α１＋犽－（）２α２＋犽α３（犽为任意常数）．（２３）（１）狓＝３，狔＝－２．（２）特征值为：λ１＝２，λ２＝－１，λ３＝－２．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｄ　（２）Ｃ　（３）Ａ　（４）Ａ　（５）Ｂ　（６）Ｂ　（７）Ｃ　（８）Ｄ二、填空题（９）－槡２．　（１０）２９（槡２２－１）．　（１１）π－（）１ｄ狓－ｄ狔．（１２）１３ρ犵犪３．　（１３）１．　（１４）犪４－４犪２．三、解答题（１５）斜渐近线方程为狔＝１ｅ狓＋１２ｅ．（１６）综上可得犵′（狓）＝１２狓＝０，犳（狓）狓－１狓２∫狓０犳（）狌ｄ狌狓≠０烅烄烆．所以犵′（狓）在狓＝０处连续．（１７）所以（１６，１１２）为极小值点，极小值犳（１６，１１２）＝－１２１６．（１８）则犞狓＝π２６．（１９）犇狓２＋狔槡２狓ｄ狓ｄ狔＝３４槡２＋３４ｌｎ（槡２＋１）．（２０）（Ⅱ）犳（２）＝ｌｎ２·ηｅη２．（２１）所求曲线为狔＝犆狓３犆＞（）０．（２２）（Ⅰ）故犪＝－１２．（Ⅱ）犘＝１２２槡３０１４槡３烄烆烌烎０１０．（２３）（Ⅱ）犃的特征值也为λ１＝２，λ２＝－３．济南博乐图书音像专营店整理理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｃ　（２）Ｄ　（３）Ｃ　（４）Ａ　（５）Ｄ　（６）Ｃ　（７）Ｂ　（８）Ｂ　（９）Ｄ　（１０）Ｃ二、填空题（１１）１ｌｎ３．　（１２）２３．　（１３）１．　（１４）π２ｃｏｓ２π．（１５）犆１ｅ狓＋犆２ｅ－１２狓ｃｏｓ槡３２狓＋犆３ｅ－１２狓ｓｉｎ槡３２狓（其中犆１，犆２，犆３为任意常数）．（１６）－５．三、解答题（１７）１２．（１８）曲线狔＝犳（狓）有一条垂直渐近线狓＝－１，两条斜渐近线狔＝狓－１与狔＝－狓＋１．（１９）犛＝２２３犃＝４２５９π．（２０）（Ⅰ）故狔（狓）＝１３狓６＋１，（狓＞０）（Ⅱ）故狓＝１为函数唯一极小值点，且必为最小值点，当狓＝１时，１３狓６＋１＝４３，所以此时点犘坐标１，（）４３．（２１）１４８．（２２）犘－１犃犘＝１１烄烆烌烎３．犘－１犃犘＝３３烄烆烌烎１．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上()(A)(B) 2 (C) -2(D)-0 11⑺设a 0 , .a1 ,必31 ,必4 1 ,其中G,C 2,C 3,C 4为任意常数， 则下列向量组c 1C 2C 3C 4线性相关的为()(A)a , a , a(B)a , a , 04(C)a , a , a(D)(%2, a, 0C42(1)曲线y 罕芒的渐近线条数x 21(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3⑵设函数 f (x) (e x 1)(e 2x 2)L (e nx n)，n 1(A) ( 1) (n 1)!(B)(1)n (n ⑶ 设 a n 0 (n 1,2,3L ), S na 2 a 3(A)充分必要条件 (B)(C) 必要非充分条件(D)k 2(4) 设 l ko e x sinxdx,(k 1,2,3),则有(A) I 1 I 2 I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C)()其中n 为正整数，则f (0)()1)!(C)( 1)n 1 n! (D) ( 1)n n!L a n ，则数列 S n 有界是数列a n 收敛的()充分非必要条件 非充分也非必要()I 2 I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3⑸ 设函数f (x, y )为可微函数，且对任意的x, y 都有一乂 x0,30,则使不等式f (N, yjf (X 2, y ?)成立的一个充分条件是(A)人 X 2,% y 2 (B) 论 X 2,%y 2 (C)人 X 2,% y 2 (D) 人 X 2,%y 2(6)设区域D 由曲线y sin x, x2,y1 围成，则(x 5y 1)dxdyD1 0 0(8) 设 A 为 3 阶矩 阵，P 为3 阶 可逆矩阵，且P 1 A P 0 1 0.右Pa , a2, a0 0 2Qa a ,%2,a 3则 Q 1AQ( )1 0 01 0 0 20 02 0 0(A)0 2 0 (B)0 1 0 (C)0 1 0(D)0 2 00 0 10 0 20 0 20 0 1*BA.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤• (15)(本题满分102 2x yx,y xe 2 的极值. 12分)二、填空题: 9-14小题，每小题 (9)设 yy(x)是由方程x 24分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置 dx 2e y 所确定的隐函数，则(10) limn_1 22 n 2n 2(11)In x，其中函数z 2 z可微，则X ： y -(12) 微分方程 ydx3y 2 dy0满足条件y X11的解为y(13) 曲线y0上曲率为辽的点的坐标是2(14) 设A 为3阶矩阵, A =3，A 为A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵B ，则已知函数f 1 x sin x(I) 求a 的值; (II) 若 x (16)(本题满分 0时， 10分)ka 与x 是同阶无穷小，求常数k 的值.求函数f (17)(本题满分过(0,1)点作曲线L:y Inx 的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,(II) 求正交变换x Qy 将f 化为标准形2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。