第二节
一元线性回归方程
两个变量之间的线性关系,其回归模型为:
y称为因变量,x称为自变量, 称为随机扰动,a,b称为待估计的回归参数,下标i表示第i个观测值.
一 回归直线方程
对于回归模型,我们假设:
可得到:
如果给出a和b的估计量分别为 ,
则经验回归方程为:
例如 某市场在t时刻西瓜销量的数据如下(其中qt表示时刻销售黄瓜的数量,单位为:斤,pt表示t时刻的销售价格,单位为:元):
这是一个确定性关系:
若x,y之间的关系是随机的,例如
若x,y之间的关系是随机的,例如
这时,方程的形式为
其中 为随机变量.
以下设 x 为自变量(普通变量) Y 为因变量(随机变量) Y 的取值记为 y .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn,观察 Y 得到相应的 n 个值 y1,…,yn,(xi ,yi) i=1,2,…,n 成为样本点.
记
散点图
以(xi ,yi)为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.
记以上直线为
回归值
回归常数
回归系数
注意:这种几何作图的方法简单直观,
但精度差,局限性大.
二 最小二乘法(OLSE) :
若散点图呈直线变化趋势,则可以假设变量Y与x变量满足 Y=a + bx+ε (11.1)
并称(11.1)为(理论的)一元线性回归模型,ε是随机误差,通常假定ε～N(0,σ2).将(xi,yi) i=1,2,…,n逐一代入(11.1)便得到(数据结构的)一元线性回归模型
记
二元函数 的最小值点 称为a,b的最小二乘估计(简记为OLSE ).
以下求
的最小值
解方程得
一般地,记
则
其中
三 回归方程的显著性检验
假设变量Y与x变量满足
Y=a + bx+ε (11.1)
ε是随机误差,假定ε～N(0,σ2).
H0:b=0成立,则(11.1)变成 Y= a +ε,自变量 x 对因变量 Y 没有线性影响,即回归方程不显著;若假设不成立,则自变量 x 对因变量 Y 有线性影响,即线性方程是显著的.
因此对于给定的显著性水平α,则否定原假设,即认为回归方程是显著的.
(F-检验)显著性检验一般步骤:
1.提出原假设:H0:b=0;
2.选择统计量
3.对给定的显著性水平α,查临界值
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,
线性关系显著;落入接受域则接受原假设,
线性关系不显著.
相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0;
2.选择统计量
3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2),
得否定域为R >rα (n-2);
4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关
系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
预测
设一元线性回归模型为Y=a + bx+ε (11.1)
其中,ε是随机误差,假设ε～N(0,σ2 ). (xi,yi) i=1,2,…,n 为样本点,逐一代入一元线性回归模型得
一元线性回归方程为
例如 某市场连续12天卖出黄瓜的价格和数量的
调查数据如下:
价格
i
x
(元
/
斤)
1.0
0
0
.
9
0
0.8
0
0.7
0
0.7
0
0.7
0
0.7
0
0.65
0.60
0.60
0.55
0.50
55
70
90
100
90
105
80
110
125
115
130
130
销量
i
y
(斤)
应用Excel 可得下面成果:
回归统计
Multiple R
0.942903
R Square
0.889065
Adjusted R Square
0.877972
标准误差
8.359957
观测值
12
Coefficients
标准误差
t Stat
P-value
Intercept
210.4444
12.57086
16.74065
1.21E-08
X Variable 1
-157.778
17.62434
-8.95227
4.34E-06
Lower 95%
Upper 95%
182.4348
238.4541
-197.047
-118.508
进一步可得总体需求函数的95%置信带
此置信带有95%的置信度包含了相应的总体值.