概念题1、ritz法和releiy法是求解振动系统固有频率的两种近似法，简述其基本思路。
瑞兹法：是将连续系统离散为有限个自由度的系统，再根据机械能守恒定律进行计算，并用拉式方程建立微分方程，得到系统的振型函数，由此得到系统的固有频率以及振型。
瑞利法：主要用来估算系统的基频，它的依据的是机械能守恒定律，即T MAX=U MAX，对任一个连续系统，只能近似给出第一阶振型函数，且要求满足系统的端点条件，再计算系统的动能和势能，即估算出系统的基频。
2说明矩阵迭代法求解多自由度系统第一阶固有频率的基本步骤以及思路(P91)。
基本思路：KA-w2MA=0 也可以写成：1/w2A=ɸMA令D=ɸM, λ=1/w2 则：DA=λA基本步骤：1)求第一阶固有频率以及振型（1）任意假设一个初始振型A（2）按下列格式计算位形列降序列A mA1=DA0 A2=DA1 。
`A n=DA n-1当n足够大的时候，A n趋近于A1，1/λ1=ω123轴向力对梁横向振动有何影响？（拉压）振动方程为：(P122)轴向拉力可以提高梁横向振动的固有频率；轴向压力可以降低梁横向振动的固有频率；4造成非线性恢复力的原因有？1）几何非线性，即大位移，超出了小变形范围；2）物理非线性，即结构材料的性质和及结构强度性能超出弹性范围；5简述求解无阻尼多自由度系统对初始激励响应的基本步骤1）建立振动微分方程，确定系统的质量矩阵以及刚度矩阵；2) 求固有频率以及振型3）求主振型矩阵和正则振型矩阵4）将外激励再转化为正则坐标下的激励（初始条件）5）求正则坐标下的系统响应6）求广义坐标下的系统响应6在建立梁的横向振动力学模型时，梁的力学模型分为哪三种？1) 欧拉-伯努利梁：只考虑弯曲变形，不计剪切变形及转动惯量的影响。
2）瑞利梁：考虑弯曲和转动惯量，不计剪切变形的影响。
3）铁木辛柯梁：弯曲变形，转动惯量，剪切变形都考虑。
7隔震分哪几种？机理是什么？举例说明1)隔震分为主动隔振和被动隔振两种。
悬臂梁固有频率的计算试求在X 0处固定、x I 处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)解：法一：欧拉-伯努利梁理论将边界条件(1)、( 2)带入上式可得 C 1 C 3 0，C 2 C 4 0 ；进一步整理可得W(x) G(cos x eosh x) C 2(sin x sinh x)；再将边界条件(3)、(4)带入可得求C i 和 C 2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即悬臂梁的运动微分方程为:匚I 4w(x,t) + A 2w(x,t)t 2悬臂梁的边界条件为:w(x dw0) 0⑴云(x 0) 0⑵，x20(3),—(El#)0⑷；x xx I该偏微分方程的自由振动解为 w(x, t) W(x)T(t)，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到W(x)Geos x C 2sin x C 3eosh x C 4 sinh x ，T (t) Aeos wt Bsin wt ；其中ElC 1 (eos I eosh I) C 2(sin I sinh I)0 ； C 1( sin I sinh I) C 2(eos Ieosh I) 0 要(eos I eosh I) (sin I sinh I)(sin I sinh I)=0(eos I eosh I)所以得到频率方程为: eos( n I)eosh( n I) 1 .该方程的根nI表示振动系统的固有频率:72EI -wn( nI)(不1,2,…满足上式中的各n I( n 1,2，...)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下: 1I 1.875104， 2I 4.694091, 3I 7.854757, 4I 10.995541， 5I 14.1372 ；若相对于n 的C 2值表示为5 ,根据式中的5 , C 2n 可以表示为C ?n(空丄_C0也』)； sin n l sinh n l cos lcosh i因此 Wi(x) C 1n (cos n x cosh n x)-- (sin n x sinh n x) , n 1,2,...由此可得sin n l sinh n l到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将 n=1,2,3,4,5带入可得：2 EI 1 2 EI - 2 EI - 1 1.8751042(4)2，2 4.6940912(4 )2，3 7.8547572(4 )2，1Al42Al 4Al 4410."55412(加，5 仏137^号)?；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程:EI 4w(x,t) EI4xA2w(x,t) t 2E I(1kG )4w2 -2x t2I 4w kGT边界条件: w(x 0) (x 0) 0(1) 0(2)； 设方程的通解为: w(x, t) Csin —I -cosw n t ;易知边界条件 1)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为: w ：(1kG) 2 44r 2动惯量与剪切变形的影响均忽略, 上式的频率方程简化为 当n=1,2,3,4,5时可分别2n0 ；其中 求得固有频率为: 4，w 3E I 「22I 9IO多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为 5个相等的集中质量 m r m 2 m 31.邓克莱法邓克莱公式为: a^m 822 m, L1 其中a nl 3375EI ，8228l 3375EI 忌9l 3125EI ，8446413375EI ，a553EI ，m r m 2 m 3 m 4；将其代入上式可求得系统的基频为: w i ； 2.887（二卡 Al，此基频比用伯努2 1.875104 ( EI 利-欧拉梁求得的一阶固有频率Al 4)2偏小, 误差为 17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。
（完整word版）悬臂梁固有频率的计算悬臂梁固有频率的计算试求在0x =处固定、x l =处⾃由的等截⾯悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。
解：法⼀：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分⽅程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x ldw w ww x x dx x x x ========，；该偏微分⽅程的⾃由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带⼊悬臂梁的运动微分⽅程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中24A EIρωβ=将边界条件（1）、（2）带⼊上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进⼀步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带⼊可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有⾮零解，则它们的系数⾏列式必为零，即(cos cosh )(sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh )l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+所以得到频率⽅程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该⽅程的根n l β表⽰振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满⾜上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；若相对于n β的2C 值表⽰为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表⽰为21cos cosh ()sin sinh n n n nn n l l C C l lββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l lW n l l ββββββββ??+=---=??+??由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带⼊可得：1112222221234441.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Alωωωρρρ===，，， 112222454410.995541()14.1372()EI EI Al Alωωρρ==，；法⼆、铁摩⾟柯梁梁理论1.悬臂梁的⾃由振动微分⽅程：4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ+-++=?；边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x lx lw x x φφ==??-==??（2）；设⽅程的通解为：(,)Csincos n n xw x t w t lπ=；易知边界条件（1）满⾜此通解，将通解带⼊上⾯的微分⽅程可得到频率⽅程为：422222224442224r ()(1)0nnn r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22I EI r A Aαρ==，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率⽅程简化为222n n w l απ=；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：12345w w w w w =====多⾃由度系统频率的计算⽅法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量12345m5m m m m m =====。
1悬臂梁固有频率的计算试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。
解:法一：欧拉—伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x ldw w ww x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂，；该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =,将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中24A EIρωβ=将边界条件(1）、(2)带入上式可得13C 0C +=,24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件(3）、（4）带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(cos cosh )(sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh )l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8。
4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；2若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n nn n l l C C l lββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l lW n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1，2,3,4,5带入可得:1112222221234441.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Alωωωρρρ===，，， 112222454410.995541()14.1372()EI EI Al Alωωρρ==，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1。
