麦克斯韦速率分布律、三种统计速率
1、选择题
题号：21111001 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率
（B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率
（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半
[ ] 答案：（ D ）
题号：21111002 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子
（A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率
（C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对
分子数
[ ] 答案：（ A ）
题号：21111003 分值：3分
难度系数等级：1
气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2
v ，它们之间的大小关系为
（A ）2..v v v p >
> （B ）2v v v p ==
（C ）2v v v p <
< （D ）无法确定
[ ] 答案：（ C ）
题号：21111004 分值：3分
难度系数等级：1
设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为
（A ）N dN v f =
)( （B ）dv dN
N v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dv
v dN
N v f 21)(=
[ ]
答案：（ B ）
题号：21112005 分值：3分
难度系数等级：2
空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ）
题号：21112006 分值：3分
难度系数等级：2
已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表
示为
（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数
（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x
dv v v +~区间的分子数
（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数
[ ] 答案：（ B ）
题号：21112007 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为
（A ）211069.1?=v m/s ，3
21078.1?=v m/s （B ）311078.1?=v m/s ，2
21069.1?=v m/s （C ）211083.1?=v m/s ，2
21093.1?=v m/s （D ））311058.1?=v m/s ，3
21050.1?=v m/s ，
[ ] 答案：（ B ）
题号：21112008 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1?=p v m/s ，3
21078.1?=p v m/s （B ）311078.1?=p v m/s ，2
21069.1?=p v m/s （C ）311058.1?=p v m/s ，2
21050.1?=p v m/s （D ））211050.1?=p v m/s ，3
21058.1?=p v m/s ，
[ ] 答案：（ C ）
题号：21112009 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为2
1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为2
2v ，则方均根速率2
1v 和2
2v 的大小分别为
（A ）3211078.1?=v m/s ，2
221069.1?=v m/s （B ）3
2
11058.1?=v m/s ，2
2
21050.1?=v m/s （C ）3
2
11093.1?=v m/s ，3
2
21083.1?=v m/s （D ））3
2
11093.1?=v m/s ，2
2
21083.1?=v m/s ，
[ ] 答案：（ D ）
题号：21112010 分值：3分
难度系数等级：2
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
则其最概然速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ）
题号：21113011 分值：3分
难度系数等级：3
理想气体的温度由27?C 升高到927?C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍 [ ] 答案：（ A ）
题号：21113012 分值：3分
难度系数等级：3
已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数
（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率
（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数
[ ]
答案：（ B ）
题号：21113013 分值：3分
难度系数等级：3
已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式
中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，
)(1p v f <)(2p v f
[ ] 答案：（ C ）
题号：21113014 分值：3分
难度系数等级：3
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
则其方均根速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）
题号：21113015 分值：3分
难度系数等级：3
某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为
（A ）?
?=2
2
10
)()(v v v dv v f dv
v vf v （B ）?
?∞
=
1
2
1)()(v v v dv
v f dv
v vf v
（C ）?
?∞
=0
)()(2
1dv v f dv
v vf v v v （D ）?
?=
2
1
2
1)()(v v v v dv
v f dv
v vf v
[ ]
答案：（ D ）
题号：21113016 分值：3分
难度系数等级：3
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
则其平均速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s
[ ] 答案：（ A ）
题号：21114017 分值：3分
难度系数等级：4
如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示氧
气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H p O p v v
（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H
p O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
41)()(2
2
=
H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4
1)()(2
2
=
H
p O p v v
[ ] 答案：（ C ）
题号：21114018 分值：3分
难度系数等级：4
如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和
氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示氧气
和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v O
p /2000)(2
= （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H p /2000)(2
= （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v O
p /2000)(2
= （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H
p /2000)(2
=
[ ] 答案：（ D ）
题号：21114019 分值：3分
难度系数等级：4
一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比
2
1
v v 为 （A ）
212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）1
2
2p p [ ]
答案：（ B ）
题号：21115020 分值：3分
难度系数等级：5
处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，
设p v 表示最概然速率，p N ?表示速率分布在v v v p p ?+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则
（A ）p v 减小，p N ?也减小 （B ）p v 增大，p N ?也增大
（C ）p v 减小，p N ?增大 （D ）p v 增大，p N ?减小
[ ] 答案：（ C ）
2、判断题
题号：21121001 分值：2分
难度系数等级：1
理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
[ ] 答案：对
题号：21121002 分值：2分
难度系数等级：1
两容器都储有氢气，温度和体积都相同，但两者的气体质量不相等，所以它们的分子速率分布也不相同。
[ ] 答案：错（因两容器的分子质量和温度相等）
题号：21122003 分值：2分
难度系数等级：2
两容器都储有氢气，温度相同，体积不相同，两者的气体质量也不相等，但它们的分子速率分布相同。
[ ] 答案：对（因两容器的分子质量相等、温度相等）
题号：21122004 分值：2分
难度系数等级：2
气体处于平衡态时，具有某一速率的分子数是确定的，速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数的比值也是确定的。
[ ] 答案：错
题号：21122005 分值：2分
难度系数等级：2
麦克斯韦速率分布函数Ndv
dN
v f =
)(是平衡态下理想气体质心的速率分布函数。它表示平衡态下的理想气体分子数按速率的分布规律。
[ ] 答案：对
题号：21123006 分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别储有氮气和氢气，温度和体积都相同，而且两气体的质量相等，所以它们的分子速率分布也相同。
[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：21123007 分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别贮有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子速率分布也是相同的。
[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：21123008 分值：2分
难度系数等级：3
混合气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与该种气体单独存在时分子的速率分布情况完全相同。
[ ] 答案：对
题号：21124009 分值：2分
难度系数等级：4
恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件而化合成水，所以瓶内剩余的氢分子的速率分布将会改变。
[ ] 答案：错（因温度不变，所以氢分子的速率分布也不变）
题号：21124010 分值：2分
难度系数等级：4
?
2
1
)(v v dv v vf 表示在21~v v 区间分子的平均速率。
[ ] 答案：错（?
?=2
1
2
11
2
)()(~v v v v v v dv
v f dv
v vf v ）
题号：21125011 分值：2分
难度系数等级：5
最概然速率相同的两种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同。
[ ] 答案：对（2)(
32
4
)(v e
v v f p
v v p --=π
）
3、填空题
题号：21131001 分值：2分
难度系数等级：1
已知某理想气体的速率分布函数为Ndv
dN
v f =)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v
+~区间内的分子数，则表达式dv v Nf )(的物理意义是：
。 答案：表示速率在dv v v +~区间内的分子数
题号：21131002 分值：2分
难度系数等级：1
在标准状态下，氮分子的平均速率为 m/s 。 答案：455 m/s
题号：21131003 分值：2分
难度系数等级：1
温度为C 0
127的氧气分子的最概然速率为 m/s 。 答案：456 m/s
题号：21131004 分值：2分
难度系数等级：1
温度为C 0
127的氧气分子的方均根速率为 m/s 。 答案：558 m/s
题号：21132005 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示，两条曲线分别表示相同温度下
的氢气和氧气分子的速率分布曲线，则b 曲 线表示 分子的速率分布曲线。 （填氧气或氢气） 答案：氢气
题号：21132006 分值：2分
难度系数等级：2
已知某理想气体的速率分布函数为Ndv
dN
v f =)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v
+~区间内的分子数，则表达式dv v f )(的物理意义是：
。 答案：表示在总分子数N 中，速率在dv v v +~区间的分子数占分子总数的百分比，或者
表示分子在速率dv v v +~区间内的概率
题号：21132007 分值：2分
难度系数等级：2
同温度下氢气分子与氧气分子的平均速率之比为_____ ____。 答案：4：1
题号：21132008 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氧气分子的最概然速
率为 。 答案：6002=po v m/s
题号：21132009 分值：2分
难度系数等级：2
在麦克斯韦速率分布关系中，若取)(v Nf 为纵坐标，速率v 为横坐标，则速率分布曲线与横坐标所包围的总面积等于____ 。 答案：N
题号：21132010 分值：2分
难度系数等级：2
理想气体分子的最慨然速率p v 的物理意义是 。 答案：分子速率在p v 附近分布的概率最大或分子速率在p v 附近的分子数最多
题号：21133011 分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则
?dv v f v p
)(0表
示 。 答案：速率区间p ν~0的分子数占总分子数的百分比
题号：21133012 分值：2分
难度系数等级：3
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度T 时的
速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN
v f =
)(为速率分布函数，则表达式?2
1
)(v v dv v Nf 的物理意义是
。 答案：表示速率在21~v v 区间内的平均分子数
题号：21133013 分值：2分
难度系数等级：3
温度为C 0
127的氧气分子的平均速率为 m/s 。 答案：514 m/s
题号：21133014 分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则p v v >速率的分子的平均速率表达式为： 。
答案：dv v f v dv v f v v p p ??∞
∞
=）
（）（··
ν
题号：21133015 分值：2分
难度系数等级：3
一个容器内有摩尔质量分别为1μ和2μ两种不同的理想气体，当此混合气体处于平衡状态时，1和2两种气体分子的方均为根速率之比是 。 答案：
12/μμ
题号：21133016 分值：2分
难度系数等级：3
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氢气分子的最概然速率为 。
答案：24002=pH v m/s
题号：21134017 分值：2分
难度系数等级：4
在容积为3
2
100.3m -?的容器中装有kg 2
10
0.2-?的理想气体，容器内气体的压强为
41006.5?Pa ，则气体分子的最概然速率为 m/s 。
答案：389 m/s 或390 m/s
题号：21134018 分值：2分
难度系数等级：4
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度
T 时的速率分布曲线如图所示，
其中Ndv
dN
v f =)(为速率分布函数，则表达式?2
1
)(v v
dv v f 的物理意义是
。
答案：表示在总分子数N 中，速率在21
~v v 区间内的平均分子数占总分子数的百分比
题号：21134019 分值：2分
难度系数等级：4
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则气体的温度为 。 答案：T=693 K
题号：21135020 分值：2分
难度系数等级：5
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度T 时的速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN
v f =
)(为速率分布函数，则表达式?2
1
)(2
1
2v v
dv v Nf mv 的物理意义是 。 答案：表示速率在21~v v 区间内分子的平均平动动能之和
4、计算题
题号：21141001 分值：10分 难度系数等级：1
20个质点的速率如下：2个具有速率0v ，3个具有速率02v ，5个具有速率03v ，4个具有速率04v ，3个具有速率05v ，2个具有速率06v ，1个具有速率07v 。试计算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。 解答及评分标准： 根据定义，有
（1）
00000065.3207162534435232v v v v v v v v v =?+?+?+?+?+?+?=
（3分）
（2）
2
1
2020202020202
02
]20)7(1)6(2)5(3)4(4)3(5)2(32[v v v v v v v v ?+?+?+?+?+?+?= =099.3v （5分） （3）因为有5个质点速率是03v ，所以
03v v p = （2分）
题号：21141002 分值：10分 难度系数等级：1
在一容积为V 的容器内盛有质量分别为
1M 和2M 的两种不同的单原子分
子气体，此混合气体处于平衡状态时，其中两种组分的气体内能相等，均为E ，求两种气体分子的平均速率之比2
1
v v 。 解答及评分标准：
由
πμ
RT
v 8=
， 得：
1
221
μμ=v v （4分）
又由内能相同 RT M RT M E 23
232211μμ==
，即 1
212M M =μμ （3分） 故
1
2
21
M M v v = （3分）
题号：21142003 分值：10分 难度系数等级：2
求速率大小在最概然速率p v 与p v 01.1之间的气体分子数占总分子数的百分之几。 解答及评分标准： 根据m
kT
v p 2=
，可以将麦克斯韦速率分布函数公式改写为
x e x N N x ??=?-224
π
（5分） 式中p
v v
x =
，p v v x ?=?
根据题意p v v =，所以
01.0,01.0,1=?=?=x v v x p （3分） 代入，有
0083.001.041=??=?-e N N π
（2分）
题号：21142004
分值：10分 难度系数等级：2
一容器内储有温度为127 ?C 的理想气体，其压强为2.07×104 Pa 。求该气体的（1）分子数密度；（2）分子平均平动动能；（3）理想气体是H 2时的方均根速率；（4）理想气体是CO 2时的平均速率。 解答及评分标准：
（1）3
2423
41075.3400
1038.11007.2--?=???==m kT p n （2分） （2）J kT k 21231028.84001038.12
3
23--?=???==
ε （2分） 或：J n p k 21
24
41028.810
75.31007.22323-?=???==ε （3）s m RT
v H /1023.210240031.8333
3
2
2
?=???=
=
-μ （3分） （4）s m RT
v CO /439104414.3400
31.8883
2
=????=
=
-πμ （3分）
题号：21142005 分值：10分 难度系数等级：2
证明：麦克斯韦速率分布函数可写成 x e x x -=24
)(π
?，其中 p
v v x =
。 解答及评分标准：
由麦克斯韦速率分布函数 kT
mv kT mv e
Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=??=ππ 22
324p
v v p
e v v -
=π （5分）
令 p
v v
x =
，则有 p v dx dv =，故有
x xv v e x dx dv v f x p
-==???
?
??=24)()(π? （5分）
题号：21143006 分值：10分 难度系数等级：3
一氧气瓶的容积为V ，充了氧气后，未使用时的压强为1p ，温度为1T ；使用后瓶内氧
气质量减少为原来的一半，其压强降为2p 。（1）试求使用前后氧气分子热运动平均速率之
比21v v ；（2）若使用后氧气分子的平均平动动能为J 211021.6-?，试求氧气分子的方均根
速率和此时氧气的温度。 解答及评分标准：
（1）设使用前质量为M ，则使用后为2
M 则221121,RT M
V p RT M
V p μ
μ
=
=
（2分） 所以
2
121211
2
122//,2p p T T v v p p T T =
==
（3分）
（2）由平均平动动能公式：kT mv k 2
3212==
ε ，
（氧分子：kg m 26
1031.5-?=）（1分） 得 氧气分子的方均根速率为： ()
()
12
/12
/12
63
.483/2-?==s m m v
k ε （2分）
此时氧气的温度为： K k T k 3003/2==ε （2分）
题号：21143007 分值：10分 难度系数等级：3
设N 个粒子系统的速率分布函数为：Kdv dN v = （0>>v V ，K 为常数）
0=v dN （V v >）
求：（1）画出分布函数图；（2）用N 和V 定出常数K ；（3）用V 表示出算术平均速率。 解答及评分标准：
（1）因为Kdv dN v =，所以
N
K
Ndv dN v f v ==
)( （0>>v V ） 0)(=v f （V v >）
其分布函数图如右上图所示。 （4分）
（2）由
1)(00==??
∞
dv N K dv v f V
，得 V
N
K = （3分） （3）V V V vdv N K dv v vf v V 2
1
211)(200=?===??∞ （3分）
题号：21143008 分值：10分 难度系数等级：3
试利用麦克斯韦速率分布函数，推求气体分子的最概然速率p v 。 解答及评分标准：
麦克斯韦速率分布函数为
kT
mv kT mv e
Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=??=ππ （3分） 求极值，有 0222())((322=?-=-=v kT
m v Ce dv v df kT
mv v v p （5分）
最概然速率为 m
kT
v p 2=
（2分） 或者 μ
RT
v p 2=
（μ为分子摩尔质量）
题号：21144009 分值：10分 难度系数等级：4
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示 （当 v > 2 v 0时，粒子数为零）。 求：（1）C ； （2）速率在v 0到2v 0之间的分子数； （3）气体分子的平均速率。
解答及评分标准： (1) 由归一化条件：?
∞
=?+?=
0012
1
)(C v C v dv v f 得 0
32
v C =
（3分） (2) N v Nv v v v v C N dv v f N
N 3232)2(2)(00000
==-??==?? （3分） 或：N N N N 3213232=??=??
?
????=?曲线下所围总面积
（3）
020
32)(232)(0v C v f v v v v v v f v v =
=≤≤=
<≤
所以 ?
?
?
?
?+
=
==
=
∞
20
220
20
20
3232
)()(v v v v v v d v
v dv v v dv v vf N
dv v vf N N
vdN v 0009
11
92v v v =+=
（4分）
题号：21145010 分值：10分 难度系数等级：5
导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为F v （称为费米速率），电子在速率dv v v +~之间的概
率为
dv v N
A N dN 24π=（0>>v v F ，A 为常数）
，0=N dN
（F v v >）。（1）画出分布函数图；（2）用N 、F v 定出常数A ；（3）证明电子气中电子的平均动能F εε5
3
=，其中
2
2
1F
F mv =ε。 解答及评分标准：
（1）由题设可知，电子的速率分布函数为
2
4)(v N A Ndv dN v f π==
（0>>v v F ，A 为常数） 0)(==Ndv dN
v f （F v v >）
其分布函数图如下图所示 （4分）
（2）由分布函数的归一化条件142
=?
dv v N
A F
v π 得 3
43F
v N
A π=
（3分） （3）5
3544)(2
54
2
2
F F v v N Av dv v N A dv v f v v F
====
?
?
∞
ππ
完美WORD 格式 编辑 麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证 摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。 关键词：速度分布函数，实验验证。 一． 内容 1、麦克斯韦速度分布律的内容 当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在 x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为： 2223 ()/22x y z d v m ()v v v N 2kT x y z m v v v kT N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22 22 11()v 22 x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N N （） 表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总 分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。 2、分子速度分布函数 2223()/22m f ()2kT x y z m v v v kT e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分子数的比率。 3、速度分量分布函数 2221 /221/221 /22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT x y z mv kT mv kT mv kT e e e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系 卜子明（1号） 摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。 引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。 方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数 )(εf 的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函 数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。 麦克斯韦速率分布律Ndv dN v f = )(这个函数称为气体分子的速率分布函 数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为 2 223 2 24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-?? ? ??==式中T 是气体系统的热力学温度， k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。式子 dv v f v v ?=?2 1 )(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2 区间的分子数 占总分子数的比率。 而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率p v ，f(v)的极大值所对应的速率 M RT M RT m kT v p 41 .1220 ≈= = 其物理意义为：在平衡态的条件下，理
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率 1、选择题 题号：21111001 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率 （D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半 [ ] 答案：（ D ） 题号：21111002 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子 （A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率 （C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对 分子数 [ ] 答案：（ A ） 题号：21111003 分值：3分 难度系数等级：1 气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2 v ，它们之间的大小关系为 （A ）2..v v v p > > （B ）2v v v p ==
（C ）2v v v p < < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ C ） 题号：21111004 分值：3分 难度系数等级：1 设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为 （A ）N dN v f = )( （B ）dv dN N v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dv v dN N v f 21)(= [ ] 答案：（ B ） 题号：21112005 分值：3分 难度系数等级：2 空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ） 题号：21112006 分值：3分 难度系数等级：2 已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表 示为 （A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数 [ ] 答案：（ B ）
麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
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麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系 卜子明（1号） 摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。 引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。 方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数 与总分子数的比的函数 )(εf 的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函 数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。 麦克斯韦速率分布律 Ndv dN v f = )(这个函数称为气体分子的速率分布函 数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为 222 32 24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-?? ? ??==式中T 是气体系统的热力学温度，k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。式子 dv v f v v ?=?2 1 )(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2 区间的分子数 占总分子数的比率。 而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率 p v ，f(v)的极大值所对应的速率 M RT M RT m kT v p 41 .1220≈==其物理意义为：在平衡态的条件下，理
麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证 摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。 关键词：速度分布函数，实验验证。 一． 内容 1、麦克斯韦速度分布律的内容 当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在 x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为： 2223 ()/22x y z d v m ()v v v N 2kT x y z m v v v kT N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22 2211()v 22 x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N N （） 表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总 分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。 2、分子速度分布函数 2223()/22m f ()2kT x y z m v v v kT e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分 子数的比率。 3、速度分量分布函数 2221 /221 /221 /22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT x y z mv kT mv kT mv kT e e e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数 在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N . dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比： 其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率. 分布函数f(v)满足归一化条件： 大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律. 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最
概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞. 上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N . 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.
麦克斯韦速率分布律的一种推导方法 安海东 （天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000） 摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。 关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率 分类号：O552.3+1 One of the Derivation Methods of Maxwell V elocity Distribution Law An Haidong (School of physics and information science，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu， 741000) Abstract:Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quantity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis. Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule
设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有dNv(x)/N=g(v(x))dv(x) 系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))， g(v(z))，使得相应的概率可表示为 dNv(y)/N=g(v(y))dv(y) dNv(z)/N=g(v(z))dv(z) (2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z) 式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。 (3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)2+v(y)2+v(z)2)的函数。这样，速度分布函数就可以写成下面的形式： g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)2+v(y)2+v(z)2) 要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。因此可得 F=C*exp(A*v(x)2)*C*exp(A*v(y)2)*C*exp(A*v(z)2)=C3exp(Av2) 下面来定常数C及A。考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故A应为负值。令A=-1/α2，则 dNv/N=C3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=C3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv(x)dv(y)dv (z) 由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1，即分布函数应满足归一化条件，所以 ∫dNv/N=C3∫exp(-v(x)2/α2)dv(x)∫exp(-v(y)2/α2)dv(y)∫exp(-v(z)2/α2)dv(z)=C3√(πα2)3=1， 可得C=1/(α√π)，从而得到麦克斯韦速度分布律： dNv/N=(α√π)￣3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)￣3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv( x)dv(y)dv(z) (4)由上式还可导出速率分布律。可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示 v(x),v(y),v(z)的“速度空间”。在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度。由于速率分布与速度的方向无关，所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同。这一速率区间是半径为v，厚度为dv的球壳，其总体积为4πv2dv，从而可得粒子的速率在v到v+dv 区间出现的概率为 dNv/N=4π(α￣3/√π)exp(-v2/α2)v2dv (5)确定常数α。由上式可求出粒子速率平方的平均值为