下载文档原格式
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理玻尔兹曼分布是热力学中描述粒子分布的重要概念。
麦克斯韦速度分布律和能量均分定理则基于玻尔兹曼分布，对分子在气体中的速度和能量分布进行了详细研究。
本文将从玻尔兹曼分布开始，逐步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，并解释其重要性和指导意义。
首先，我们来回顾一下玻尔兹曼分布的概念。
玻尔兹曼分布描述了在热平衡状态下，粒子的能级分布情况。
在一个封闭系统中，粒子的分布与其能量有关，服从玻尔兹曼分布的概率可以用以下公式表示：P(E) = (1/Z) * e^(-E/kT)其中，P(E)表示粒子能量为E的概率，Z是配分函数，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过玻尔兹曼分布，我们可以了解不同能量级别上粒子的分布情况。
基于玻尔兹曼分布，我们可以推导出麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布律描述了气体中粒子的速度分布情况。
根据分子动理论，气体分子的速度服从高斯分布。
在二维情况下，麦克斯韦速度分布律可以表示为：f(v) = (m/(2πkT))^0.5 * e^(-mv^2/(2kT))其中，f(v)表示速度为v的粒子的概率密度函数，m是粒子质量。
这个分布函数说明了粒子速度随温度和质量的变化。
接下来，我们来推导能量均分定理。
能量均分定理是基于麦克斯韦速度分布律的一项重要结果。
根据能量均分定理，系统中每个自由度的平均动能为kT/2。
自由度可以理解为能够存储和传递能量的独立振动模式或轨道数。
对于一个分子来说，自由度通常包括平动、转动和振动。
在热平衡情况下，每个自由度的平均动能相等。
能量均分定理在热学和统计物理中具有重要的指导意义。
它说明了在热平衡状态下，分子具有与温度相对应的能量。
通过平均动能，我们可以计算出系统的总能量。
这个定理的应用广泛，在材料科学、化学反应动力学以及热力学等领域都扮演着重要角色。
总结起来，玻尔兹曼分布为我们提供了粒子分布的重要理论基础。
基于玻尔兹曼分布，我们可以进一步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，分别描述了气体粒子的速度和能量分布情况。
气体分子的速率分布与动能理论在物理学中，气体分子的速率分布是探索气体行为和性质的重要方面之一。
通过观察气体分子的速率分布，我们可以了解气体的温度、压力和体积之间的关系，以及气体分子间的相互作用。
动能理论为解释气体分子速率分布提供了强有力的框架。
速率分布气体分子的速率分布是描述气体分子速度范围内的分布方式。
一般来说，气体分子的速率是由温度决定的。
根据动能理论，气体分子的速率分布可以用麦克斯韦分布函数来描述。
麦克斯韦分布函数是由麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布定律导出的。
麦克斯韦分布函数的形式为f(v) = 4π（m/2πkT）^(3/2) * v^2 * exp(-mv^2/2kT)，其中m为分子质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
该函数表示了不同速度v的分子的比例。
从数学上看，该函数在速度为零处有一个峰值，然后逐渐递减，形成一个类似于正态分布的曲线。
麦克斯韦分布函数的曲线有三个重要性质：峰值处对应的速度为平均速度v_avg，峰值处左右两侧的速率相对较高，而两侧的速率则相对较低。
这意味着在相同温度下，气体分子中速度较高的分子数量较少，速度较低的分子数量较多。
速率分布与温度根据麦克斯韦分布函数，温度对气体分子速率分布的形状具有关键影响。
当温度升高时，曲线峰值位置向右移动，即平均速度增加。
这意味着温度升高会导致气体中分子速度的增加。
另外，温度的上升还会导致麦克斯韦分布函数的曲线变得更加平宽，表示速率范围更广。
也就是说，温度升高会导致气体分子速率的分布范围扩大。
速率分布与压力在相同温度下，不同气体的分子具有相同的动能，因此具有相同的速率分布。
但是，不同气体根据分子的质量不同，分子速率分布的峰值位置也不同。
根据麦克斯韦分布函数，分子质量越小，速率分布峰值越高，分子速率越大。
这意味着分子质量越小的气体，速率分布中高速分子的比例就越大。
另外，压力对气体分子速率分布的影响也值得关注。
根据气体动理论，压力与气体分子撞击容器壁的频率有关。
麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系
卜子明（1号）
摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。
并比较相似点和不同点。
引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。
这是对于大量气体分子才有的统计规律。
现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。
方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数
与总分子数的比的函数
)(εf 的表达式。
并由此进一步推出与麦克斯韦分布函
数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。
麦克斯韦速率分布律
Ndv
dN v f =
)(这个函数称为气体分子的速率分布函
数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为
222
32
24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛==式中T 是气体系统的热力学温度，k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。
式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。
式子
dv v f v
v
⎰=∆2
1
)(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2
区间的分子数
占总分子数的比率。
而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率
p
v
，f(v)的极大值所对应的速率
M
RT M RT m kT v p 41
.1220≈==其物理意义为：在平衡态的条件下，理
想气体分子速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大。
（2） 平均速率
v ，用于研究分子碰撞M
RT 1.60M 8T 80___
≈==
ππRT m k v
（3） 方均根速率
2
v
，用于研究分子平均平动动能
M
RT
M RT m kT v 373
.13302
≈==反映的是大量分子无规则运动速率
的二次方的平均值的二次方根称为方均根速率。
推导及演绎：
由于分子的平动动能可表示为 22
1mv =ε
两边同时取微分有
εd m
vdv 2
2=
带入到麦克斯韦速率函数有212
3)(2)(επ
εεεkT e kT Nd dN f --==现定义为)(εf 为气体分子的平动动
能的分布函数。
平动动能在从
1
ε到2
ε
之间的分子数比率N /N ，等于曲线下从
1
ε到2
ε
之间的面积, 如图中阴影部分所示。
显然，因为所有N 个分子的速率必
然处于从0到 之间，也就是在速率间隔从0到
的范围内的分子数占分子总
数的比率为1，即
1)(0
=⎰+∞
εεd f 这说明和麦克斯韦分布率相似平动动能分布函
数
)(εf 同样必须满足归一化条件。
而 εεε
ε
d f ⎰=∆2
1
)(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在
1
ε到2
ε
区间的分子数占总分子数的比率。
同样我们也可以
根据平动动能分布函数求出最概然平动动能
p
ε
以及平均平动动能
ε
(1)粒子的最概然平动动能p
ε
同样地，最概然平动动能
p
ε
也是对应着
)
(εf 的极值。
由
0==P
d df εεε
化简
0)]1(21[2
2
1212
3
=-+=---p
kT e e kT kT kT εεεεεεπ）（解出 kT 2
1P =ε
而其所对应的速率M
RT
m kT v pp
==
由此我们看到，最概然平动动能所对应的速率并不是麦克斯韦速率所求得的最概然速率。
初看起来似乎很奇怪，可仔细想想，最概然速率代表的是速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的速率。
而最平动动能的概然值代表的是平动动能分布在附近的单位动能的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的动能，其对应的速率却不是最该然速率。
而计算发现这是其实是由于两个方程求极大值时对应的导函数不同。
很显然求的的极大值也不同。
(2)粒子的平均平动动能
ε
同样的，
εεπεεεεεd e k d f N
vdN
kT -∞
∞
∞
⎰⎰⎰===
2
32
300
)T (2)(其中因为
2
50
23
43a dx e x ax
π=-∞
⎰所以kT kT
kT 2
3)1(43
225
23===ππε）（ 这个结果是显然的：有麦克斯韦分布律已经得到，这也证明了上面的推导的正确性。
总结：通过以上的讨论和分析，我们不仅进一步了解了麦克斯韦速率分布函数，及其结论，还能挖掘出衍生出来的气体平动动能的分布情况，这样我们会对气体动理论的本质有跟家深刻的理解。
引文：要善于在前人已有的基础之上做进一步试探性的研究，才能衍生出新的知识点，也能有助于深刻的理解原有的知识。
参考文献：《大学物理基础知识》，《物理热力学基础》。
