§1.2 复平面上的点集
我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.
1. 平面点集的几个基本概念
定义 1.1 由不等式ρ<-0z z 所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以o z 为心,以ρ为半径的圆,称为点o z 的ρ-邻域,常记为()0z N ρ.
定义1.2 考虑点集E .若平面上一点0z (不必属于E)的任意邻域都有E 的无穷多个点,则称0z 为E 的聚点或极限点;若0z 属于E,但非E 的聚点,则称0z 为E 的孤立点;若0z 不属于E,又非E 的聚点,则称0z 为E 的外点.
定义1.3 若点集E 的每个聚点皆属于E,则称E 为闭集;若点集E 的点0z 有一邻域全含于E 内,则称0z 为E 的内点;若点集E 的点皆为内点,则称E 为开集;若在点0z 的任意邻域内,同时有属于点集E 和不属于E 的点,则称0z 为E 的边界点;点集E 的全部边界点组成的点集称为E 的边界. 点集E 的边界常记成E ∂. 点集E 的孤立点必是E 的边界点.
定义1.4 若有正数M ,对于点集E 内的点z 皆合M z ≤,即若E 全含于一圆之内,则称E 为有界集,否则称E 为无界集.
2. 区域与约当(Jordan)曲线
复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念. 定义 1.5 具备下列性质的非空点集D 称为区域:
(1) D 为开集.
(2) D 中任意两点可用全在D 中的折
线连接(图1.12).
定义1.6 区域D 加上它的边界C 称为闭域,记为
.C D D +=
注意 区域都是开的,不包含它的边界点. 例1.16 试证:点集E 的边界E ∂是闭集.
证 设z 为E ∂的聚点.取z 的任意ε邻域()z N ε,则存在()z z ≠0使得
()z N ε∍0z ∈E ∂.在()z N ε内能画出以0z 为心,充分小半径的圆.这时由0z ∈E ∂可见,
在此圆内属于E 的点和不属于E 的点都存在.于是,在()z N ε内属于E 的点和不属于E 的点都存在.故z ∈E ∂.因此E ∂是闭集.
应用关于复数z 的不等式来表示z 平面上的区域,有时是很方便的. 例1.17 z 平面上以原点为心,R 为半径的圆(即圆形区域):
,R z <
以及z 平面上以原点为心,R 为半径的闭圆(即圆形闭域):
,R z ≤
它们都以圆周R z =为边界,且都是有界的.
例1.18 z 平面上以实轴0Im =z 为边界的两个无界区域是
上半平面0Im >z ,
及 下半平面0Im 左半平面0Re z
例1.19 图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z 平面的部分,表为
⎩
⎨⎧>>.0Im ,
1z z
例1.20 图1.14所示的带形区域表为: .Im 21y z y <<
例1.21 图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为: r <|z |复变函数的基础几何概念还有曲线。
定义1.7 设()t x 及()t y 是实变数t 的两个实函数，在闭区间[]βα,上连续，
则由方程组: ()()(),x x t t y y t αβ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩
或由复数方程:()()t iy t x z +=， ()βα≤≤t （或简记为()t z z =） ()16.1 所决定的点集C ，称为z 平面上的一条连续曲线。()16.1称为C 的参数方程，()αz 及()βz 分别称为C 的起点和终点；对满足 1212,,t t t t αβαβ<<≤≤≠的1t 及2t 当()()21t z t z =成立时，点()1t z 称为此曲线C 的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；()()βαz z =的简单曲线称为简单闭曲线。
简单曲线是z 平面上的一个有界闭集。
例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线。
定义1.8 设连续弧AB 的参数方程为 ()t z z =，()βα≤≤t 任取实数列{}n t ： 0121n n t t t t t αβ-=<<<
<<=，
并且考虑AB 弧上对应的点列： ()j j t z z = ()n j ,2,1,0= 将它们用一折线n Q 连接起来，n Q 的长度
图 1.15
()()∑=--=n
j j j n t z t z I 1
1
如果对于所有的数列（1.17），n I 有上界，则AB 弧称为可求长的。
上确界sup =L n I 称为AB 弧的长度。
定义1.9 设简单（或简单闭）曲线C 的参数方程为 ()()t iy t x z += ()βα≤≤t ，
又在βα≤≤t 上，()t x '及()t y '存在，连续且不全为零，则C 称为光滑（闭）曲线。
光滑（闭）曲线具有连续转动的切线。
定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。 特别简单折线是逐段光滑曲线
逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）却不一定可求长。
*例1.22设简单曲线J 的参数方程为
()()⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩⎪⎨⎧
=≠====时时0,00,1s i n t t t t t y y t t x x ()10≤≤t
显然
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++0,21,221,221πππππn B n n A n n \皆为J 上的点，且连接n A 及n B 两电线段之长
2
2221
21221⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=πππππn n n B A n n
(),121
41212121π
π
π
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+≥
n n n
