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复变函数在高等数学中的应用
复变函数在高等数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域：
1. 物理学：复变函数在电磁场、流体力学、声学、热力学等物理学领域中有广泛的应用。
例如，电磁场的分析与计算可以使用复变函数的方法，通过求解亥姆霍兹方程等来描述电磁波传播和电磁场分布；流体力学中，利用复变函数可以进行流动的分析和求解；声学中，可以用复变函数来处理声波传播和声场分布的问题。
2. 工程学：复变函数在工程学中的应用也较为常见。
在电路分析中，可以利用复变函数的方法来计算电阻、电容和电感等元件的响应特性；在信号处理中，复变函数的分析方法可以用于滤波、频谱分析等问题。
3. 统计学和概率论：复变函数在统计学和概率论中的应用主要是通过复变函数的解析性质来推导和计算概率分布函数和累积分布函数。
例如，利用复变函数的方法可以推导正态分布、伽玛分布、傅立叶变换等。
4. 经济学和金融学：复变函数在经济学和金融学中的应用主要是通过复变函数的分析方法来研究经济和金融问题。
例如，利用复变函数可以计算经济和金融模型中的均衡点、稳定性等。
总之，复变函数在高等数学中的应用非常广泛，可以用于描述和解决多个学科领域的问题。
这只是一个简单的介绍，实际上复变函数的应用还有很多，涵盖面很广。
复变函数应用举例
1. 常见的复变函数应用是电气工程中的交流电路分析。
交流电源产生的电信号是复数形式的，其频率和幅度可以用复变函数表示。
通过分析电路中元件的复阻抗和复导纳，可以计算电路中的电流和电压等参数。
2. 复变函数在物理学中也有重要的应用，例如在量子力学中，波函数就可以用复变函数描述。
波函数的模方表示了粒子在空间中的分布概率，而相位则反映了波函数的相对相位关系。
3. 复变函数在金融工程中也有广泛应用，例如在期权定价模型中，复变函数被用于计算期权的价格和风险度量等。
复变函数中的奇异点、极点等特性在金融工程模型中也有很好的应用。
4. 在图形学中，复变函数可以用于表示平面上的复平面曲线。
例如，Julia集合和Mandelbrot集合可以用复变函数表示，并且这些集合在图形学中具有重要的应用。
复变函数在实际中的应用
数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形
式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
复变函数在电路分析中的应用复变函数在电路分析中具有广泛的应用。
它作为一种数学工具，可以帮助我们更好地理解和分析电路中的各种现象和问题。
本文将介绍复变函数在电路分析中的应用，并探讨其在电路分析中的重要性。
一、复变函数的引入在电路分析中，我们常常遇到关于电流、电压和阻抗等概念的计算和分析。
而复变函数提供了一种简洁而有效的方法来处理这些电路问题。
复变函数可以将电路问题转化为复变数的运算，从而简化计算过程，使得问题更易于解决。
二、复变函数与交流电路在交流电路分析中，我们经常需要计算电流和电压的幅值、相位和频率。
而复变函数凭借其极坐标表示法，可以方便地描述电流和电压的复数形式，从而更好地描述相位关系和频率响应。
通过复数形式的运算，我们可以轻松计算电路中的各种参数。
三、复变函数与阻抗分析在电路中，我们常常需要计算各种电阻、电容和电感等元件的阻抗。
而复变函数提供了一种统一的方法来计算这些阻抗。
通过对电阻、电容和电感分别引入复数形式，我们可以将阻抗的计算表示为复变函数的运算，从而简化计算过程。
四、复变函数与信号处理在信号处理中，我们常常需要计算滤波器的频率响应和传递函数等参数。
复变函数提供了一种方便的工具来计算这些参数。
通过对滤波器的输入和输出信号引入复数形式，我们可以轻松地计算滤波器的频率响应，并通过复变函数的方法进行信号处理。
五、复变函数与稳态分析在电路稳态分析中，我们常常需要分析电路的稳态响应和稳定性。
而复变函数提供了一种有效的方法来分析这些问题。
通过对电路的输入信号和输出信号引入复数形式，我们可以方便地计算稳态响应和稳定性的参数，从而更好地分析电路的性能。
六、复变函数与传输线分析在传输线分析中，我们常常需要计算传输线的特性阻抗、传输系数和反射系数等参数。
复变函数提供了一种简洁的方法来计算这些参数。
通过对传输线的输入信号和输出信号引入复数形式，我们可以轻松地计算传输线的特性阻抗和传输系数，从而更好地分析传输线的特性。
复变函数在物理学中的应用在物理学中，复变函数也被称为复数函数，是各种复变量所对应的复函数的总称。
它是描述复数物理系统的基础理论，它的应用范围极其广泛。
本文中，将从物理学的角度简要介绍复变函数的应用。
一、复变函数在电磁学中的应用在电磁学中，复变函数可以用来描述电磁场，尤其是描述信号在介质内传播的方式。
例如，Maxwell方程可以用复变函数来求解，Maxwell方程是描述电磁场的基本方程，其中包含的椭圆型和圆柱型的复变函数可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
此外，复变函数还可以用来研究介质中的折射和损耗，以及研究电磁感应器的特性。
二、复变函数在轨道动力学中的应用复变函数在轨道动力学中也有着重要的应用，它可以帮助我们计算太阳系中天体的运动轨迹，并提供许多有用的性质，如洛伦兹力，研究星系的结构，等等。
此外，复变函数也可以用来计算日心运动，可以模拟地球的自转和自轨道运动，反映出太阳系的旋转模式。
三、复变函数在量子力学中的应用复变函数也可以用于量子力学研究中，它可以帮助我们研究量子系统的动力学，提出量子力学的基本方程，描述量子系统的复变概率流，研究量子隧道效应，以及给出量子力学中基本现象的理论模型。
此外，复变函数还可以用来研究量子态的演化，即量子力学中的迭代方程。
四、复变函数在声学中的应用在声学中，复变函数可以帮助我们研究反射，折射，吸收和拨动等基本声学现象，还可以用来研究声学波的反射，折射和衰减等等。
此外，复变函数可以用来分析声学的位相特性，从而获得不同频率信号的指向性和方向性特征。
总之，复变函数在物理学研究中有着重要的地位，它不仅可以用于电磁学，轨道动力学，量子力学和声学等多个领域，而且还可以用于研究物理系统的动力学，热力学，力学等方面。
因此，复变函数的研究对于我们理解物理系统的特性，尤其是复杂的物理系统，特别重要。
第四章 二維勢流理論及複變函數的應用1. 複變數複變數(Complex variable) Z 可表示為Z = x + iy ， i =1-= re i θ式中，直角座標(x y )和極座標(n , θ)的關係為r =22y x +， θ = tan -1xy 複變數基本的數學運算如下：Z = Z 1 ± Z 2 = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2)Z = Z 1Z 2 = (x 1x 2 - y 1y 2) + i (x 1y 2 + x 2y 1)= (r 1e 1θi )(r 2e 2θi ) = r 1 r 2e )(22θ+θi Z +Z = (x + i y ) + (x - i y ) = 2xZ -Z = (x + i y ) - (x - i y ) = 2i yZ ⋅Z = (x + i y ) ⋅ (x - i y ) = x 2 + y 2Z n = (re i θ)n = r n e in θn Z = n (re i θ) = n r + i θx12. 複變函數複變函數(Complex function)可表示為ω = f (Z) = f (x + i y )= φ(x , y ) + i ψ(x , y )式中，φ(x , y )和ψ(x , y )為任意實函數。
複變函數的導數可表示為dZdW = f '(Z) ≡Z W lim 0Z ∆∆→∆ =x∂φ∂ + i x ∂ψ∂ (先∆y = 0，再∆x →0 ) = -i y ∂φ∂ + i y ∂ψ∂ (先∆x = 0，再∆y →0 ) 上式的結果，說明了複變函數為解析函數(analytic function)的意義，即複變函數的實數部份，φ(x , y )，和虛數部份，ψ(x , y )，必須滿足柯希-黎曼條件(Cauchy-Riemann condition)。
复变函数应用复变函数是数学分析中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的用途。
本文将从几个方面介绍复变函数的应用，包括电路分析、流体力学、图像处理和信号处理。
复变函数在电路分析中起着重要的作用。
在电路中，电阻、电容和电感等元件的阻抗可以用复数表示。
通过将电路中的各个元件的阻抗用复数相加，可以得到整个电路的阻抗。
利用复变函数的性质，可以方便地求解电路中的电流和电压分布，从而实现电路的分析和设计。
复变函数在流体力学中也有广泛的应用。
在流体力学中，复变函数可以用来描述流体的速度场和压力场。
通过求解复变函数的导数和积分，可以得到流体的速度和压力分布，进而分析流体的运动和力学性质。
利用复变函数的性质，可以更加有效地求解复杂的流体力学问题，为工程实践提供理论支持。
复变函数在图像处理中也扮演着重要的角色。
在图像处理中，图像可以看作是一个二维函数。
利用复变函数的性质，可以对图像进行变换和处理。
例如，傅里叶变换是一种常用的图像处理方法，通过将图像转换为频域表示，可以实现图像的滤波、增强和压缩等操作。
复变函数在图像处理中的应用，极大地丰富了图像处理的方法和技术。
复变函数在信号处理中也有重要的应用。
在信号处理中，信号可以表示为时间的函数。
复变函数可以用来描述信号的频谱特性和传输特性。
通过对信号进行复变换，可以得到信号的频域表示，从而实现信号的滤波、变换和编码等操作。
复变函数在信号处理中的应用，为实现高质量的音频、视频和通信系统提供了理论基础。
复变函数在电路分析、流体力学、图像处理和信号处理等领域中都有广泛的应用。
它的独特性质和强大的计算能力，使得复变函数成为了许多科学和工程问题的理论基础和解决工具。
通过深入研究和应用复变函数，我们可以更好地理解和解决实际问题，为科学技术的发展做出贡献。
复变函数1. 引言复变函数是复数域上的函数，即将一个或多个复数变量映射到另一个复数。
与实变函数不同的是，复变函数的定义域和值域都是复数集合。
在数学和物理学等领域中，复变函数是非常重要的工具，它们在多个学科中具有广泛的应用。
2. 复数与复变函数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为z = x + yi，其中x和y 分别为实部和虚部。
复数运算包括加法、减法、乘法和除法，并且复数满足交换律和结合律。
复变函数是将一个或多个复数变量映射到另一个复数的函数。
例如，f(z) = z^2 将复数 z 映射到它的平方。
复变函数可以写为 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是实部和虚部函数。
3. 复变函数的性质复变函数具有很多有趣的性质，其中一些是实变函数所不具备的。
以下是复变函数的一些重要性质：3.1 解析性如果复变函数在某个区域内连续，并且它在此区域的每个点都具有导数，那么它在这个区域内是解析的。
解析性是复变函数的重要特征，它使得我们可以使用复变函数进行微积分和解析几何的计算。
3.2 共轭函数对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其共轭函数定义为 f*(z) =u(x, y) - iv(x, y)。
共轭函数具有一些重要的性质，例如对任何复数z，有 f(z)f*(z) = |f(z)|^2。
3.3 解析函数的性质解析函数具有许多重要的性质，例如通过线积分得到的路径无关性。
这意味着，如果两条路径连接同样的起点和终点，并且它们都位于解析函数的定义域内，那么沿着这两条路径的线积分将得到相同的结果。
4. 复变函数的应用复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是复变函数的一些主要应用领域：4.1 全纯函数全纯函数是指在其定义域上处处解析的函数。
全纯函数是复变函数领域中的核心概念，它在复分析和几何学等领域中起着重要作用。
4.2 谐函数谐函数是具有某种特定性质的解析函数。
复变函数在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学等领域。
以下是一些复变函数在物理方面的应用示例：
1. 电磁学
-复变函数在电势和场问题中的应用：在静电学和静磁学中，可以使用复变函数来描述电势和电场分布。
通过解析解形式的复变函数，可以更方便地求解复杂的电场和电势分布问题。
-复变函数在交流电路分析中的应用：在交流电路分析中，复变函数可以方便地描述电压和电流之间的相位关系，以及阻抗、反射系数等重要参数。
2. 流体力学
-复变函数在流体力学中的应用：复变函数在描述流体运动、流场分布等方面有重要应用。
例如，通过复变函数方法可以研究流体的复杂流动模式，如边界层、湍流等。
-复变函数在气象学中的应用：在大气科学和气象学中，复变函数可以用来描述大气运动、风场、温度分布等气象现象，帮助预测天气和气候变化。
3. 光学
-复变函数在光学中的应用：在光学领域，复变函数可以用来描述光的传播、衍射、干涉等现象。
例如，利用复变函数方法可以研究光场的传播特性和光学器件的设计。
4. 地震学
-复变函数在地震学中的应用：复变函数可以用来描述地震波的传播和地震源的特性。
通过复变函数方法可以分析地震波的传播路径、速度等参数，帮助地震学家研究地球内部结构和地震活动。
综上所述，复变函数在物理学中具有重要的应用，可以帮助研究人员更好地理解和描述各种物理现象，解决复杂的物理问题。
复变函数在电磁学中的应用一、电势与势函数在电磁学中，电场可以用电势表示，其中电势是一个标量函数。
而复变函数论中，复数域中的函数和向量场可以类比为电场。
我们可以将复变函数和向量场联系起来，进一步解释电势的物理意义。
利用复变函数的性质和方法，可以处理电势与势函数之间的转换，从而更方便地描述电势。
对于静电力学问题，可以利用复变函数的方法得到电势的解析式，进而求得电场分布。
二、辐射场电磁辐射是指电磁波从一个点源或一个发射器向外传播的现象。
在电磁辐射中，复变函数与锥形辐射场密切相关。
锥形辐射场是一个复杂的辐射场，但是可以用复变函数描述，因为在锥形辐射场中，复变函数满足一些特定的条件，如Cauchy-Riemann条件等。
利用辐射场的特征，可以进一步推导出诸如偶极辐射、多极辐射等的物理现象。
三、电磁波电磁波是电场和磁场相互作用而形成的一种波动现象。
在电磁波的研究中，其中一个重要的工具就是复变函数。
利用复变函数的方法，可以更为简单地证明电磁波方程的解析性质，并且可以快速求解Maxwell方程。
在电磁波的研究中，经常会遇到狭义相对论的问题，利用复变函数论中的拉普拉斯变换和傅里叶变换等方法，可以快速求解相关的问题。
四、量子物理复变函数在量子物理中也是至关重要的。
在含时Schrodinger方程中，可以用复数函数进行描述，因为时间在该方程中是一个系数。
利用复数方程，还可以更好地理解粒子的运动和波动。
在量子力学的研究中，利用复变函数的工具，可以更好地描述量子粒子的波函数和运动状态。
复变函数在电磁学中的应用非常广泛，其方法和技术可以被应用于各种电磁问题的解决，最终提高电磁学理论的发展水平。
除了上述的应用，还有一些其他方面也利用了复变函数的方法。
在电介质中的极化现象、电子学中的半导体材料中的载流子密度分布、电容器的特性等方面都可以用复变函数方法进行描述和分析。
值得一提的是，复变函数在电磁学中的应用还涉及到一些交叉学科，复杂媒介中的电动力学、量子场论中的相互作用阻抗等方面。
复变函数的应用数学与应用数学班数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值 |z|表示信号的幅度，辐角 arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况 ,它的一般形式是： a bi ，其中 i 是虚数单位。
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别 .因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移 .它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学 .当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一 .为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的 Laplace 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱 .。
二、复变函数的应用近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究。
事实上， P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力 .从这种观点出发的研究有了很大发展 .它与其他数学分支产生了较密切的联系 . 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析 .但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具 .。
从柯西算起，复变函数论已有了 150 年的历史 .它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分 .它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中 .它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程 .复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论 .复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响 .现如今 .复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用 .比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分 . 它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS 对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在 GIS 上的应用也不可或缺。
GIS 的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。
针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和 Z 变换。
变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。
例如：积分变换可以把微分方程变换成初等方程，这样就可以使求解方便得多，减少大量的计算，使复杂的问题简单化。
另外在求线性系统的响应时，用积分变换也是十分方便的，因为用积分变换不需要考虑初始状态，直接运用积分变换来求解就可以了，减少了很多思考的过程，加快速度。
运用复变函数，可以实现时域和频域两者之间的转换，当在解决谐波问题时，就方便了对谐波进行分析计算；使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解。
总的来说，复变函数的应用主要包括两个方面：一个方面是在物理学中的应用；另一方面是在数学领域中的应用。
1、物理学中复变函数在静电场中的应用复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，“静电场的标量位”中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。
即如果一个系统为场量和源量分布只与x 和y 有关的二维静电场系统。
因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即2（ x, y）2 ( x, y)2 (x, y)x 2y2我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。
因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。
由此在电磁场中引出了复电位的概念，若 f (z)u( x, y) iv ( x, y) ，则2u( x, y)2 u( x, y)0（1）x2y22 v( x, y)2 v( x, y)0（2）x2y2只要利用解析函数应满足的柯西 -黎曼条件，即u v ， v-ux y x y就可以导出式（ 1）和（ 2），可以证明，实部函数和虚部函数的等值线族是相互正交的。
由正交特性，可以将平面上的电场强度放在复平面上来考察，也就是可以将 E（ x, y）写成复数形式E( z)u(x, y)i v(x, y) f ( z)x y x其中 f ( z) 便是复电位的概念。
利用复变位可以反映静电场分布情况，这是通过与已知静电场问题的解相对比而得到的。
如果有一些有复杂边界的静电系统，则不能通过这种对比方法来求复电位，这时编引入了常用的保角变换，利用保角变换可以把一些具有复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。
运用保角运算计算系统的复电位的思路是这样的：将复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统，由于典型静电系统的复电位容易求解，运用复杂边界与简单边界的关系，求出典型系统的静电位之后，就可以通过反变来得到原系统的复电位了。
当然，能够运用这种思想需要的理论基础是黎曼定理和互为单值对应原理。
许瓦兹 -克瑞斯托弗尔变换也是一种平面之间的转换关系，它可以将z 平面上的一个任意多边形区域变换为w 平面的上半平面的一种变换。
以上便是平面静磁场问题中的复变函数方法，即运用复电位，保角变换（保角映射），许瓦兹 -克瑞斯托弗尔变换等来解决问题。
其实，我认为复变函数更多的体现在信号与系统的学习过程中，因为复变函数的思想一致贯穿与信号与系统的学习中，在时域中难以解决的问题通过转换到频域中可以得到更简便的解决方案，而转换到复频域便涉及到了复变函数的应用。
连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用傅里叶级数及傅里叶变换。
而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了拉普拉斯变换的性质。
作为复变函数中重要的傅里叶变换和拉普拉斯变换，我们足以看到复变函数在信号即通信中的重要作用。
首先，我们引入实频域分析的傅里叶级数和傅里叶变换。
针对周期函数，我们引入了傅里叶级数的概念。
连续时间信号的分析如下：对于满足 Dirichlet 条件的周期为T1的函数 f(t), 可将其表示为：f (t) a0n 1( a n cos nw1t b n sin nw1t )由此得到，满足 Dirichlet 条件的周期信号，可以分解为基于其各次谐波的不同幅度，不同相位的余弦或正弦信号的叠加，在这种条件下，对满足 Dirichlet 条件的周期信号，从千变万化的时域波形的关注，转向对各次谐波余弦或正弦函数幅度和相位的关注，从问题的表象到问题的特征，建立周期信号分析的理论模型。
由频谱分析我们可以知道信号的幅频和相频特性。
对非周期信号的分析我们则采用傅里叶变换，因为在真实的物理世界中严格的周期信号时不存在的，所谓的周期信号只是既定于在某一个时间段，傅里叶级数的重要物理意义就是：非周期信号可以与周期信号建立某种联系，进而采用周期信号的处理思路来处理非周期信号。
周期信号与非周期信号并不存在严格的界限，可以通过把非周期信号的周期看成无穷大而将其近似于周期信号，也可以将周期信号中的一部分区间中的取出来构成非周期信号进行分析。
