复变函数疑难问题分析
1. 设z
z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？
答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？
sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz
e e z y i
--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？
z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数
4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？
()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x
∂=∂ 但是
11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1
）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点；
（3）简要说明如何定义扩充复平面。
解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过
点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程
为21z -==-。当0z =时
，x y ==
，所以,,1)22
对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112
x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333
，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。
6．说明复变函数可微性与解析性的关系。
复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。
所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的，
（2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导，
（3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。
7．()1sin f z z
=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？
1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π
=，但lim 0k k z →∞=，但0D ∉，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是
不解析的，也即1()sin f z z
=在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。
8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞
=∑发散.这个命题是否成
立?为什么?
答.不一定．反例: 221111
1111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞
∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛；112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散； 241111[(
)]n n n n a b n n
∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的
幂级数时，展开式的系数都是实数？
因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的，
而在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。
11.由 23...1z z z z z =+++-
2111...1z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z
+++++++++=
请解释错误的原因。
答:因为23...1z z z z z
=+++-要求z 1< 而2
111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z
+≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)
/1cos(1)(z z f =的孤立奇点吗？为什么？ 解: 因为11()cos()
z f z =的奇点有0z = 1π1π(0,1,2,...)π2π2
k z k z k =+⇒==±±+ 所以在0z =的任意去心邻域，总包括奇点1ππ2z k =
+，当k →∞时，z=0。 从而0z =不是11
cos()z 的孤立奇点.
13. 函数21()(1)
f z z z =-在1z =处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 25431111, 11(1)(1)(1)(1)z z z z z z =+-+->----. 我们得到“1z =又是()f z 的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在
011z <-<内得到的
在011z <-<内的罗朗展开式为
22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1
z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时，|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于无穷大？
