第八章平面问题的复变函数解知识点
双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式
应力分量的单值条件
多连域的K-M函数
无穷远应力与K-M函数
位移分量的曲线坐标表达
保角变换公式与K-M 函数
柯西积分确定K-M 函数
孔口应力
裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式
位移分量的复变函数表达形式
位移分量的单值条件
无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标
应力分量的曲线坐标表达式
利用孔口边界条件确定K-M 函数
椭圆孔口的保角变换
裂纹—短轴为零的椭圆
切应力作用的裂纹前缘应力
一、内容介绍
通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为：
1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M 函数表示；
2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；
3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；
4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
二、重点
1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；
2、无限大多
连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。
§8. 1 应力函数的复变函数表示
学习思路：
弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。
本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。
上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和ψ(z)表示。
和ψ(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。
学习要点：
1、双调和方程的复变函数表达形式；
2、双调和函数的复变函数形式
1、双调和方程的复变函数表达形式
在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。
设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。
对于复变函数z =x+ i y，取其共轭，则=x- i y。因此z和均为x，y的函数。复变函数z可以写作z=ρ e iϕ，其共轭=ρ e-iϕ，因此z和又可以表示为坐标ρ 和ϕ的函数。
同理，x，y也可以表示为z和的函数，有
因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有
注意到
应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有
将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式
双调和方程的复变函数表达式为
2、双调和函数的复变函数形式
对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式
乘以2，并对作积分，可得
对再作一次积分，可得
对z作一次积分，可得
对z再作积分一次，可得
应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即
或者
因此应力函数可以用两个待定函数表示为
或者
上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数和χ(z)表达。和χ(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M 函数，均为单值解析函数。
Re为表示复变函数实部的符号。
§8. 2 应力分量的复变函数表示
学习思路：
应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。
这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。
本节引入复变函数
，和
这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。学习要点：
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；
2、应力分量表达式
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示
对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足
则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M 函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M 函数表达。根据公式
有
将上述两式相加，可以得到
将上式分别对x和y求一阶导数，可得
其中
2、应力分量表达式
上述公式
的第一式减去第二式乘以i，可得
即
将公式的第一式加上第二式乘以i，可得
取其共轭，则
上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数和 (z) 表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。
§8. 3 位移的复变函数表示
学习要点与思路：
本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M 函数表达弹性体位移。
对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。一般的讲，不需要专门分析位移。但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。
在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M 函数对x，y坐标的偏导数。积分确定位移
