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复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更好地理解和应用复变函数。
1. 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
设二元实数域R 中的二元有序对z=(x,y)，其中x∈R，y∈R，因此z既可写成z＝x＋yi，也可写成z=(x,y)。
所以有R⊂C。
设f是以D为定义域的二元实数域R上的函数：若对于每一个属于D的z既唯一确定一个属于F的一个复数w＝f(z)。
则称f为在D上取值于复数集F的复变函数,即示例代码star：编程语言：f: D → Fz→w=f(z)示例代码end其中z为自变量、w为函数值，D为定义域，F为函数值集合。
2. 复变函数的性质复变函数具有一些特殊的性质，这些性质是理解和应用复变函数的基础。
2.1 解析性如果一个函数在某个区域内可以展开为幂级数，则称该函数在该区域内解析。
解析性是复变函数重要的性质之一，在很多实际问题中起到关键作用。
2.2 连续性与实变函数类似，复变函数也具有连续性。
如果一个复变函数在某点处连续，则说明在该点附近，该函数没有突变或间断点。
2.3 可微性与实变函数不同，复变函数存在可微性这一特殊性质。
如果一个复变函数在某点处可导，则说明在该点处存在切线可以很好地描述该点附近的行为。
3. 复数平面和复平面为了更好地研究复变函数，我们引入了复数平面和复平面这两个概念。
3.1 复数平面复数平面是由所有复数构成的平面。
每个复数可以通过直角坐标系表示为一个有序对(x, y)，其中x表示实部，y表示虚部。
通过把坐标原点(0,0)对应于零，将全部正实轴对应到实部正半轴，并且使得偏离原点的距离与两个坐标轴之间夹角相等来映射到剩下区域。
3.2 复平面复平面是由全部符合 z＝x＋iy 形式定义在D上取值于F 的全体点所组成的二维空间C所表示得到。
这样C族就可以嵌入Px（X 轴）和Nv （Y 轴）点平间难互独运动并且两轴都阳等L 技获取得到一个表示方便易操作全体符号z 点解析情况的几何工具空间。
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数知识点
以下是 7 条复变函数知识点：
1. 复数到底是啥玩意儿呀？就好比孙悟空有七十二变，复数就是实数加上虚数这个奇特的组合。
比如说，3+4i 就是一个复数，例子就是在研究交流电信号的时候就会用到复数呀。
2. 复变函数的极限可重要啦！这就好像跑步比赛中朝着终点冲刺的那个瞬间。
例如计算当 z 趋近于某个值时函数值的趋向，这在很多工程问题中可关键了呢！
3. 连续性呀，那可是复变函数的一大特点哦！好比一条顺畅的道路没有任何颠簸。
想想看，一个复变函数在某个区域内连续，多干脆利落呀，比如研究弹性力学中的问题时就能体现出来。
4. 导数呢，就好像汽车的速度表，能告诉我们函数变化的快慢。
例如函数 f(z)=z^2 的导数就是 2z 呀，这在分析信号变化率的时候很有用呢！
5. 积分也是超级有趣的呢！就像是积累财富一样，一点一点地攒起来。
比如说计算沿着一条曲线对复变函数的积分，在电磁学里可常见啦。
6. 解析函数，哇哦，这可是相当厉害的角色呢！好比一个武林高手，有着非凡的能力。
像指数函数就是解析函数呀，在解决电路问题时经常能看到它的身影。
7. 柯西定理，嘿，这可是复变函数里的宝贝呀！就像一把万能钥匙。
比如利用它可以很巧妙地计算一些复杂的积分呢。
我觉得呀，复变函数虽然有点抽象，但真的超级有意思，里面充满了各种奇妙的东西等你去发现呢！。
复变函数知识点复变函数是高等数学中的一个重要分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复变函数理论在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍一些复变函数的基本知识点。
一、复数与复变函数复数是由实部和虚部构成的数学对象，常用形式为a+bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。
复数可以进行加减乘除等运算，实部和虚部分别是复数的实部和虚部。
根据复变函数的定义，一个函数如果将复数域的数映射到复数域上的数，那么它就是一个复变函数。
例如，f(z)=z^2是一个复变函数，它将任意一个复数z映射到z的平方。
二、解析函数与全纯函数解析函数是指在其定义域上处处可导的复变函数。
全纯函数是指在其定义域上解析且导数连续的函数。
一个函数是解析函数，则表示它在定义域上的所有点处都存在导数。
对于一个复变函数f(z)，如果它在一个区域上解析，则它在这个区域上是全纯的。
解析和全纯函数有着重要的性质，如洛朗级数展开和辐角原理等。
三、复变函数的积分复变函数的积分是计算复平面上路径围成的面积。
复变函数的积分可以通过路径积分的方式进行计算。
考虑一个复变函数f(z)，如果在一条路径C上，f(z)的积分与路径C无关，那么f(z)在路径C所包围的区域上的积分就是0。
这个性质称为Cauchy积分定理。
四、级数展开与留数定理复变函数可以用幂级数表示。
一个函数可以被表示为无穷级数的形式，这种展开方式称为级数展开。
留数定理是计算复变函数积分的一个重要方法。
在计算某些特定积分时，可以通过计算函数在其奇点处的留数来简化计算。
五、解析延拓与边值问题解析延拓指的是通过已知函数的解析域外的信息，将函数延拓到更大的解析域上。
解析延拓可以帮助求解边值问题，即在边界上已知函数的一些信息，求解函数在整个区域上的取值。
六、共角线性与保角映射共角线性是指复平面上三个点按照一定的比例取共角线。
复变函数的保角映射可以保持共角线性。
保角映射是复变函数理论中重要的概念。
它在物理学中的流体力学、电学、热学等方面有着广泛的应用。
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
数学中的复变函数理论知识点复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究了以复数为自变量和因变量的函数。
在复变函数理论中，有许多重要的知识点需要了解和掌握，本文将就其中的一些重要知识点进行介绍和解析。
一、复数与复平面复变函数理论的基础是复数与复平面。
复数是由实数和虚数组成，形如z=a+bi，其中a、b均为实数，i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面相对应，将实部与虚部分别映射到x轴和y轴上。
二、复数的运算复数的加减法、乘除法都遵循一定的规律，其中加减法是按照实部和虚部分别相加减，乘除法运用复数的乘法公式进行计算。
复数的求模运算是取复数与原点的距离，可以用勾股定理来表示。
三、复变函数的定义复变函数是将复数映射为复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部，x和y是复数z=a+bi的实部和虚部。
复变函数的定义域和值域都是复数集。
四、解析函数与调和函数解析函数是指在某个区域内处处可导的函数，也叫全纯函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即其二阶偏导数的混合二次导数等于零。
五、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论的重要定理之一，它表明解析函数的实部和虚部满足一组偏微分方程。
这个方程系统包括两个方程，分别是实部对应的方程和虚部对应的方程。
六、留数定理和留数求和公式留数定理是解析函数在奇点处的留数与曲线积分的关系，利用留数定理可以计算闭合曲线内的曲线积分。
留数是解析函数在奇点处的留下的一个特殊数值。
留数求和公式则是通过计算留数之和来求解曲线积分。
七、解析函数的级数展开解析函数可以用级数展开表示，其中最常用的是泰勒级数展开和劳伦茨级数展开。
泰勒级数展开适用于解析函数在某个点附近的展开式，劳伦茨级数展开适用于解析函数在圆环区域的展开式。
八、奇点与极点奇点是指函数在某个点上的值无限大或无定义的点，包括可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
极点是一种特殊的奇点，是当该点的函数值趋于无穷大时的奇点。
复变函数知识点复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的研究对象是复平面上的点，即复数。
复变函数具有很多独特的性质和特点，其知识点主要包括以下内容。
一、复数的定义和性质复数由实数和虚数单位i组合而成，通常用z=a+bi来表示，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
复数具有加法、减法、乘法、除法等运算规则，同时满足交换律、结合律等性质。
复数还可以表示为三角形式（z=r(cosθ + isinθ)），这使得复数的运算更加方便。
二、复变函数的定义和基本性质复变函数是指将复数域上的数映射到复数域上的函数。
复变函数具有实变函数的所有性质，包括连续性、可导性、可积性等。
此外，复变函数还有一些独特的性质，如解析性（即可导）、全纯性（即处处解析）等。
三、复变函数的级数展开复变函数可以用无穷级数的形式来表示。
最常见的是泰勒级数展开和劳伦特级数展开。
泰勒级数展开将一个复变函数在某一点的邻域上近似为一个无穷多项式，而劳伦特级数展开则考虑到函数在某一点可能有奇点的情况。
四、复变函数的奇点和留数奇点是指复变函数在某点处不解析的情况。
常见的奇点类型有可去奇点、极点和本性奇点等。
留数是计算奇点处残差的一种方法，它在复积分、积分曲线闭合和复变函数的解析延拓等方面发挥重要作用。
五、复变函数的应用复变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，复变函数可以用于解析几何、微分方程、积分变换等领域。
在物理学中，复变函数可用于电磁场的计算、量子力学的描述等方面。
综上所述，复变函数是定义在复数域上的函数，具有独特的性质和特点。
对复变函数的研究涉及复数的定义和性质、复变函数的定义和基本性质、复变函数的级数展开、复变函数的奇点和留数以及复变函数的应用等知识点。
通过深入理解和应用这些知识点，我们能更全面地认识和研究复变函数的性质和应用。
复变函数的基本概念与性质复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及复数域上的函数理论和分析。
本文将介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数、复变函数的定义和解析性、调和函数、全纯函数等。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数除了具有实数的加法和乘法运算，还有复数的共轭运算、模运算和幅角运算等。
二、复变函数的定义和解析性复变函数从复数域到复数域的映射，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy。
其中，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。
复变函数的解析性是指函数在其定义域内可导，用柯西-黎曼条件表述，即函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。
三、调和函数调和函数是一种特殊的复变函数，其实部和虚部函数均具有拉普拉斯方程，即Δu=0和Δv=0。
调和函数在物理学和工程学领域有广泛的应用，如电势问题、热传导问题等。
四、全纯函数全纯函数是复变函数中的重要概念，也称为解析函数。
全纯函数在其定义域内可导，并且导数也是全纯函数。
全纯函数具有很多良好的性质，如可分部积、洛朗级数展开、辐角原理等。
五、复变函数的性质1. 极限性质：复变函数的极限与实变函数类似，但多了收缩定理和全纯函数的唯一性。
2. 连续性质：全纯函数在其定义域内连续。
3. 导数性质：全纯函数的导数也是全纯函数，并且满足导数的性质。
4. 积分性质：沿简单闭曲线的积分与函数在该曲线内的积分无关，这是复变函数中的柯西积分定理。
综上所述，复变函数是由复数域到复数域的映射，具有许多独特的性质。
它为解决物理学、工程学等领域的问题提供了重要的数学工具。
希望本文可以帮助读者理解复变函数的基本概念和性质，并进一步探索其中的数学奥秘。
复变知识点总结1. 复变函数的定义复变函数是指自变量为复数，因变量也为复数的函数。
一般地，复变函数可表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z = x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
2. 复数的表示复数可以用直角坐标形式z=x+iy表示，也可以用极坐标形式z=re^(iθ)表示，其中r为模，θ为幅角。
3. 复平面和复函数的几何表示复数z=x+iy可以在复平面上表示为点(x,y)，复变函数f(z)可以在复平面上表示为一条曲线或曲面。
二、解析函数与全纯函数1. 解析函数的定义如果一个复变函数在某个区域内能够展开成洛朗级数，并且在该区域内收敛，那么称该函数在该区域内是解析的。
2. 全纯函数的定义如果一个解析函数的导数处处存在且连续，那么该函数就是全纯函数。
3. 解析函数的充要条件一个函数在某个区域内解析的充要条件是它在该区域内连续，并且满足柯西-黎曼方程。
三、柯西-黎曼方程1. 柯西-黎曼方程的定义对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如果它满足下面的条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x那么称它满足柯西-黎曼方程。
2. 柯西-黎曼方程的意义柯西-黎曼方程是解析函数的充要条件，它描述了解析函数的实部和虚部之间的关系，是研究解析函数性质的基本工具。
四、共形映射1. 共形映射的概念如果一个复变函数在一个区域内保持角度和方向不变，那么就称它为共形映射。
2. 共形映射的性质共形映射保持圆周和直线的相交角度不变，它在复平面上的几何性质与保持形状不变，是复变函数理论中的重要概念。
五、留数定理1. 留数的概念对于解析函数f(z)，如果z=a是f(z)的孤立奇点，那么f(z)在z=a处的留数定义为Res(f;a)=1/(2πi)∫f(z)dz，积分路径沿着一个围绕z=a的简单闭合曲线C。
2. 留数定理如果f(z)在复平面上有限个孤立奇点，那么它在整个有限区域内的积分等于所有孤立奇点的留数和，即∮f(z)dz=2πiΣRes(f;a)。
复变函数科普知识1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。
在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
3. 内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。
利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和复变函数 复变函数说明。
对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。
、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。
导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。
共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。
留数也叫做残数，它的定义比较复杂。
应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。
计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。
广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一 式一式一的一类数，其中α，b是实数。
式二 式二式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。
R·笛卡儿曾称之为虚数。
但是随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
例如，每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理。
有时也称它为达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由C.F.高斯给出的。
后来人们习惯以i表示复变函数论 复变函数论 ，并且称α+bi为复数。
在复数α+bi与平面上的点(α，b)之间可以建立一一对应。
L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式 e^ix=cosx+isinx。
欧拉公式揭示了三角函数与指数函数间的联系。
4发展柯西-黎曼方程一些实际问题也推动着复变函数理论的产生与发展。
早在1752年J.le R.达朗贝尔关于流体阻力的研究中，便考虑在什么条件下当平面上的点(x，y)趋于一点时复值函数u(x，y)+iv(x，y)存在导数。
这里要求导数与(x，y)所沿的路径无关。
这个问题的答案是：若 ?(z)=u+iv在域D内定义，且u，v作为x，y的函数在D内可微，则?(z)可导的充要条件为：式(1)式(1) 式(1)。
这个条件称为柯西-黎曼方程。
在域D内可导的函数称为解析函数或全纯函数。
由条件(1)易知，若u，v存在连续的二阶偏导数，则u，v应满足拉普拉斯方程。
由(1)联系着的两个调和函数称为共轭调和函数。
19世纪前半叶，柯西为复变函数理论的建立奠定了基础。
他定义了复变函数的积分，并证明了下述柯西积分定理：若?(z)在区域D内解析，C为可求长的简单闭曲线，且C及其内部均含于D内，则有式(2)式(2) 式(2)。
柯西积分定理从柯西积分定理可以得出一系列重要结论，诸如柯西积分公式、柯西不等式、惟一性定理、最大模原理等。
特别地，若?(z)在域D内解析，则它在D内任意阶导数存在，并且在D内每点α的邻域内?(z)可展为 z-α的幂级数。
作为柯西积分定理的推广，则有应用广泛的留数定理。
代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论。
应用它还可计算一些较复杂的定积分。
黎曼映射定理从几何观点看，定义在域D内的一个解析函数w=?(z)，把D映为w平面上的一个区域。
这样的映射具有保持角度的性质，所以称为保角映射，又称共形映射。
19世纪中叶，黎曼对此作了很多研究。
他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在简单闭曲线C上给了一个连续函数φ，则必存在于C内调和且连续到C 上的函数u，u在C上的值与φ相同。
在此基础上，黎曼得出共形映射的基本定理：若单连通域D的边界多于一点，z0为D内一点且θ0为一实数，则存在惟一的单叶解析函数w=?(z)将D映为w 平面上的单位圆│w│<1，且满足?(z0)=0， ?′(z0)>0。
这个定理称为黎曼映射定理，它是复变函数几何理论的基础。
根据这个定理，对于单连通区域内的解析函数常常可以化到单位圆内去研究。
后来C·卡拉西奥多里进一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的边界为一简单闭曲线C，则C上的点与圆周│w│=1上的点也一一对应。
幂级数的作用如前所述，解析函数在每点邻域内可以展为幂级数，所以幂级数是研究解析函数的有力工具。
这也是K.外尔斯特拉斯从事研究的出发点。
若幂级数 式 (3)式 (3) 式 (3)的收敛半径R为有穷正数，则?(z)在Γ:│z│<R内解析而在圆周│z│=R上?(z)至少有一个奇点z0，即不存在以z0为心的圆у和在у内解析的函数g(z)，使在Γ与у的交内有g(z)=?(z)。
当│z│=R上所有的点都是?(z)的奇点时，?(z)就不能从Γ内解析开拓出去，这时|z|=R称为?(z)的自然边界。
关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究，J.（-S.）阿达马、S.曼德尔勃罗伊及G.波伊亚等人均有很好的工作。
若│z│=R上的点z0不是?(z)的奇点，则?(z)可以经过z0利用幂级数开拓到│z│=R 以外的部分。
从幂级数(2)出发，向各个方向尽量进行解析开拓，所得的全体幂级数构成一个集合。
这个集合定义了一个完全解析函数。
关于完全解析函数，（J.-）H·庞加莱和V·沃尔泰拉等人有重要工作。
完全解析函数可以是单值的或多值的。
对于多值函数，自变量z绕某些点一圈后函数从一个值变为另一个值，这些点称为分支点。
黎曼曲面是表示多值函数的具体的几何方法，它是由一些互相适当连接的重叠的平面构成的。
一个多值函数在其黎曼曲面上即成为单值的。
黎曼曲面的重要例子是代数函数，即由代数方程P(z，w)=0确定的函数。
这种函数的黎曼曲面恒可连续变形到球面或带有若干个环柄的球面。
环柄的个数称为黎曼曲面的亏格，它决定了该曲面的很多重要性质。
综述总之，复变函数的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论三大部分。
在悠久的历史进程中，经过许多学者的努力，使得复变函数论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域。
单值函数单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展。
外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到整函数，而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数。
(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。
在此基础上，1925年R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。
从19世纪末一直到现在，有很多学者从事函数值分布论的研究，优秀工作很多。
它和复变函数论的其他领域也存在着密切联系。
例如，1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T^*函数，它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。
多值函数关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的。
1913年（C.H.）H.外尔在其经典著作《黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形。
黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。
