1 / 11 新高考数学二轮复习考点知识专题讲解
圆锥曲线中的存在性与证明问题
【考点一】圆锥曲线中的存在性问题
【典例1】(2021·承德二模)已知M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－14 ，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p＞0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A).
(1)求曲线C1的方程．
(2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由．
【变式1】本例若改为：
如图，已知椭圆C1：x22 ＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M(B，M不同于A).若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 2 / 11
【变式2】(2021·泰安一模)已知椭圆C：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为63 ，短轴长为22 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O.是否存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由．
【考点二】圆锥曲线中的证明问题
【典例2】(12分)设椭圆E：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为22 ，△ABF2的周长为46 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不经过椭圆的中心O而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．
3 / 11 【变式训练】已知椭圆C：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(－3 ，0)，且过点1，32 .
题型一：弦的垂直平分线问题
题型二：动弦过定点的问题
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
题型四：向量问题
题型五：面积问题
题型六：弦或弦长为定值、最值问题
题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳
题型八：对称问题
题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直
角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)
题型一:弦的垂直平分线问题
1过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x
0,0)，使得ΔABE
是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。2024年高考数学专项复习圆锥
曲线九大题型归纳（解析版）
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中
点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关
问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后
才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平
分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于题型二:动弦过定点的问题
1已知椭圆C：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的离心率为3
2，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A
2(2,0)。
(I)求椭圆的方程；
(II)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA
1,PA
2分别与椭圆
交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A、B、C是椭圆E：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线
BC过椭圆的中心O，且AC
2015年新课标1
（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xy 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MF2MF＜0，则y0的取值范围是
（A）（-33，33） （B）（-36，36）
（C）（223，223） （D）（233，233）
（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。
（20）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。
2015新课标Ⅱ
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）2
20. 已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.
2015年北京卷
10．已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则a ．
19．已知椭圆C：222210xyabab的离心率为22，点01P，和点Amn，0m≠都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2015年广东卷
5.平行于直线210xy且与圆225xy相切的直线的方程是
A.250xy或250xy B. 250xy或250xy
第三章 解析几何
专题14 圆锥曲线中的探索性问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等.
1. 探究性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．
2.解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.
【压轴典例】
例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E:22142xy上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM. (1)求点P的轨迹方程；
