数学百炼 圆锥曲线中的存在性问题

圆锥曲线中的探究（存在）性问题圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.圆锥曲线中探索问题的求解策略1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22213x y a +=F lC ,A B ,,A F B :4l x '=,,D KE C l y M 12,MA AF MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22143x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，又椭圆中，所以，∴椭圆：.（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于， 联立，得，所以，所以，， 又，可得，所以，又，同理可得，所以， 因为， 所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知； 若，由（2）知，可知， 所以直线的方程为，12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22143x y+=0m ≠l y 10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()22236363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-+122934y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y mλ+=--1111my λ=--2MB BF λ=2211my λ=--12121112()m y y λλ+=--+212212121163423493y y m m my y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=⎪+⎝⎭12121111282()233m m y y m λλ+=--+=--⋅=-12λλ+1283λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 2121(4)4y y y y x x --=--当时，， 所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得52x =211221122121112(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)y y my y x +-=-2221169321818343402(4)2(4)(34)m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭m AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭xOy A B 22221(0)x y a b a b+=>>AB =2e =F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y到，，表示出直线和为定值，即可得出结果.【详解】（1），设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.【点睛】求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立12y y +12y y AMBN 2AB =2a ∴=a =2c 2e =2c a ∴=1c ∴=2221b a c ∴=-=2212x y +=MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y 22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=12222m y y m ∴+=-+12212y y m =-+AM y x =+BN y x =y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-+--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312m m y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y ⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+2x =AM BN P 2x =P MN，确定点横坐标为定值，即可求解.3．（2020·重庆八中高三月考）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为，，P 是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线，的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线. 【分析】（1）设点P 的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为， 由，得，即. 故轨迹C 的方程为：（2）根据题意，可设直线的方程为：，由，消去x 并整理得 其中，. 设，，则，. 因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），P ()2,0-()2,0PA PB 14-()1,0l AM BN ()22104x y y +=≠4x =(),x y MN 1x my =+()224230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =-+AM BN AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--04x =(),x y 1224y y x x ⋅=-+-2244y x =-()22104x y y +=≠()22104x y y +=≠MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()222412416480m m m ∆=++=+>()11,M x y ()22,N x y 12224m y y m +=-+12234y y m =-+l 1x 2x 2±1y 2y从而可设直线的方程为∴，直线的方程为∴， 所以，直线，的交点的坐标满足：而， 因此，，即点Q 在直线上. 所以，探究发现的结论是正确的.【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x 轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．（1）求m 的值与椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左顶点A 作直线l ，交椭圆于另一点B ，交椭圆于P ，Q 两点（点P 在A ，Q 之间）．∴求面积的最大值（O 为坐标原点）；∴设PQ 的中点为M ，椭圆的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．AM ()1122y y x x =++BN ()2222yy x x =--AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+04x =4x =1C 1F 2F 1C222:1(03)3x y C m m +=<<1C 1C 1C 1C 2C OPQ △1C【答案】（1）；；（2）∴；∴点N 在定直线运动． 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求椭圆的标准方程，再根据两个椭圆有相同的离心率，求；（2）∴设直线AB 的方程为：且，与椭圆联立方程，利用韦达定理表示，转化为关于的函数求最值；∴首先求点的坐标，并求直线的方程，并利用直线与椭圆方程联立，求点的坐标，联立直线OM 和BC 的方程，求交点的坐标.【详解】（1）由题意可得解得， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以的标准方程为椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y 轴上，则 则 （2）∴当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意 故设直线AB 的方程为：且 设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去x 得： 由韦达定理得：； 又令 此时 ∴94m =22143x y +=4187x =-,a b 1C m 2x ty =-0t ≠2C OPQSt M OM PQ B 2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =b =1C 1C 22143x y +=1C 122C 12=94m =2x ty =-0t ≠()11,P x y ()22,Q x y 2C 224193x y +=2241932x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22431670t y ty +-+=1221643t y y t +=+122743y y t =+12121||2POQ AOQ AOPS S S AO y y y y =-=⋅-=-△△△==243(3)t s s +=>==≤3233s =>OPQ △∴由∴知：，则∴ ∴直线OM 的斜率： 则直线OM 的方程为： 联立方程消去x 得：，解得： ∴ ∴则直线BC 的方程为： 联立直线OM 和BC 的方程解得：∴点N 在定值直线运动. 【点睛】定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.题型2 探究平面图形存在问题1.（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．1221643t y y t +=+1221243x x t -+=+2268,4343t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭43OM t k =-43ty x =-222143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120t y ty +-=21234B t y t =+222126823443B t t x t t t -=⋅-=++222121233468164234BC tt t t kt t +==-=---+3(2)4t y x =--433(2)4t y x t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1824,77t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭187x =-2t >xOy ()20F ，l x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP△8t =FP FQ FPEQ E ΓP【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，则， ∴，设的中点，，，则直线方程：， 联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积（3）存在，设，，则，， 直线方程为，∴，， 根据，则，∴，解得：， 2BF t =+1723S ==()B t 2BF t ==+2BF t =+()B t 22pBF t t =+=+2BF t =+()20F ，2FQ =3t =1FA =AQ =(3Q OQ D 322D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-PF )2y x =-)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =AQP 1723S ==28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2281628PF y y k y y ==--2168FQ y k y -=QF ()21628y y x y -=-()22164838284Q y y y y y --=-=248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭FP FQ FE +=2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2165y =∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；24x y =；（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，可得抛物线方程为24x y =，其焦点为()0,1F ，可知1b =，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，由已知得120k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用两点求斜率公式求得直线l ：y x m =-+且1m >-，联立直线与椭圆方程得2258440x mx m -+-=，求得1m -<<OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++，推出矛盾即可得结论.【详解】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，得42p =，2p ∴=，故抛物线方程为24x y =．抛物线2C ：24x y =的焦点为()0,1F ，1b ∴=．又椭圆1C的离心率c e a ====解得：2a =所以椭圆1C 的标准方程为2214xy +=．（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由如下：将y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理得：2440x kx m --=由题意知，216160k m ∆=+>，即2m k >-设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k += 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121211022y y x x --+=-- FP FQ FPEQ EΓ25P ⎛ ⎝⎭又2114x y =，2224x y =，则22121212114440224x x x x x x --+++==--，124x x ∴+=- 2212121212124414ABx x y y x x k x x x x --+∴====---，所以直线l ：y x m =-+且1m >- 由2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 并整理得：2258440x mx m -+-= 由题意知()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->解得：m <<1m -<<设()33,C x y ，()44,D x y ，则3485m x x +=，()3434225my y x x m +=-++=若四边形OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++825215mm ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，显然方程组无解，所以四边形OCPD 不是平行四边形．【点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．3．（2021·湖南长沙市高三月考）如图，椭圆2222x y C :1(a b 0)a b +=>>的离心率e=2，且椭圆C 的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P M N ，，椭圆C 上的三个动点.（i ）若直线MN 过点D 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且P 点是椭圆C 的上顶点，求PMN ∆面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()()i 2PMN ∆()()ii 2不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.【分析】(1) 利用离心率以及短轴长,求出椭圆中a b c 、、.即可求椭圆C 的方程;()()i 2由已知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.()()ii 2假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()2当P 在x 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()3当P 不在坐标轴时，推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.故得解.【详解】（1）由已知得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ，所以椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()2i （）由已知可知直线MN 的斜率定存在，设直线MN 的方程为12y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，由221.412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=，所以122122414314k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 所以()()22212121224163414k x x x x x x k+-=+-=+，又32PD =，所以()12212214PMN S PD x x k ∆=⋅-=+，令22316m m k -=≥=，所以2361321416PMN m S m m m ∆==⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭， 令())1,g m m m m =+∈+∞，则()2'221110m g m m m-=-=> 所以()g m在)+∞上单调递增，所以当m 时，此时0k =，()g m此时PMN S ∆有最大值2.故得解. ()2ii （）不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.理由如下： 假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,P 的坐标为()0,1,则,M N 关于y 轴对称,MN 的中点Q 在y 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知1110,,,222Q M N ⎛⎫⎛⎫⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,从而2MN PM ==即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()2当P 在x 轴上时,P 的坐标为()2,0,则,M N 关于x 轴对称,MN 的中点Q 在x 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知()1,0,1,,1,22Q M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而MN PM ==,即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()3当P 不在坐标轴时,设()00,P x y ,MN 的中点为Q ,则0OP y k x =, 又O 为PMN ∆的中心,则2PO OQ =,可知00,22x y Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,M x y N x y ,则12012022Q Q x x x x y y y y +==-⎧⎨+==-⎩, 又222112244,44x y x y +=+=,两式相减得01212121201144MN xy y x x k x x y y y -+==-⋅=-⋅-+,从而MN k =0014x y -⋅，所以000011144PO MN y x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-⋅=-≠- ⎪⎝⎭, 所以OP 与MN 不垂直,与等边PMN ∆矛盾. 综上所述,不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形. 【点睛】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想,属于难度题.4．（2021·四川绵阳市·（文））已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 22:12x C y +=:l y x m =+C ,A B O l C F AOB (0)OM tOB t =>C P OAPM t 23(0,2)【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.【详解】（1）设.直线过椭圆的右焦点，则，直线的方程为.联立得，解得或.的面积为. （2）联立得，，解得.由韦达定理得，. . 四边形为平行四边形，，且. 又，，点的坐标为.又点在椭圆上，即， 整理得.又，，即，，即. ，，综上所述，的取值范围是.113y =21y =-121||2S OF y y =-OAPM OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty =+=++P ()1212,x tx y ty ++()()1122,,,A x y B x y l C F 1m =l 1x y =+2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩23210y y +-=113y =21y =-AOB ∴121112||1(1)2233S OF y y =-=⨯⨯--=2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩2234220x mx m ++-=()22(4)12220m m ∴∆=-->203m <1243m x x +=-212223m x x -=()()()221212121223m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=OAPM 0m ∴≠OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty ∴=+=++∴P ()1212,x tx y ty ++P ()()22121222x tx y ty +++=()()222221122121222242x y txy tx x ty y +++++=221122x y +=222222x y +=12122x x y y t +=-22222233m m t --∴+⨯=-2643m t -=20,03t m ><<02t ∴<<t (0,2)【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.题型3 探究长度、面积（周长）相关问题1．（2020·山西高三月考（理））已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 . 【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12x =-，22BF x =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a +===，所以2a =，因为c =222b ac =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB ====，又221m k =+，所以241AB k -=+.由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =122x ==-，同理22BF x =，所以()1242AF BF x x +=-+2284424141km k k =+⨯=+++，所以44AF BF AB ++=+=，故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，第二问的关键点是利用韦达定理可得AB 和AF BF +，考查了分析问题、解决问题的能力.2．（2021·山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △ 【分析】（1）分别写出点,,A B C 三点的坐标，求出AC 、BC 的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPS MN d =⋅即可求解. 【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-，因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS =⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241m y y k x x m k +=++=+．因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==，综上，MNP △的面积为定值2． 【点睛】本题解题的关键点是设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅，注意计算直线MN 的斜率不存在时，MNP △的面积. 3．（2021·河北保定市·高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、22:13y C x -=1F 2F P C 128PF PF +=P C PA与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，， 因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，PB A B OAPB ()2222:10,0x y C a b ab'-=>>P 'C 'P 'C 'P A ''P B ''A 'B 'OA P B '''a b 12ab P B B OP OAPB ()00,P x y 'B 'B 'OP 'd 22:13y C x -=122PF PF -=128PF PF +=15PF ∴=23PF =124F F ==2222121PF F F PF +=2PF x ∴⊥∴P 2P x =22213P y -=0P y >3P y =()2,3P P y =)32y x -=-联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为， 且，因此，四边形的面积为； （2）四边形的面积为定值，理由如下： 设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且因此，（定值）. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．（2020·安徽淮南市·高三二模）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩132x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭OP 320x y -=B OP d ==OP =OAPB 22OAPBOBP S S OP d ==⋅=△OA P B '''12ab ()00,P x y '22221x ya b-=b y x a =±P B ''()00by y x x a-=--()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00002222x a x y b y b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0000,2222x y a b B y x ba ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'OP '0y y x x =000y x x y -=B 'OP 'd ==22==OP '=22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅=△xOy P 4x =(1,0)F 2P E F E A B AB垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）；存在； 【分析】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可. 【详解】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，化简整理得.动点的轨迹的方程为. （2）设，联立，消去x ，得，根据韦达定理可得：，， ，又，于是，令，解得存在，使. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，属于难题.题型4 探究角度相关问题1．（2020·江苏省苏州高三月考）已知双曲线的方程22:21C x y -=．（1）求点(0,1)P 到双曲线C 上的点的AB C 4x =-D AB 1x my =+m AB CDm 35ABCD =m 22143x y +=AB CD =0m =(,)P x y P 4x =(1,0)F 2()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=AB CD (,)P x y P 4x =(1,0)F 2∴2=22143x y +=∴P E 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+∴()212212134m AB y y m +=-==+2243,3434m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()(22435434m CD m +=-=+∴ABCD =35AB CD ==0m =∴0m =35AB CD =距离的最小值；（2）已知直线:l y kx t =+与圆22:1M x y +=相切，①求k 和t 的关系②若l 与双曲线C 交于A 、B 两点，那么AOB ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）（i ）221t k =+；（ii ）AOB ∠为定值90︒． 【分析】（1）设(,)Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由直线和圆相切可得221t k =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立双曲线的方程，消去y 可得x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得AOB ∠为定值．【详解】解：（1）设()00,Q x y 为双曲线上的点，则220021-=x y ，则||===PQ 当023y =时||PQ 最小，且为6，所以点(0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为6； （2）①设直线线l 的方程为y kx t =+，由直线l与圆相切，可得1==d ，即221t k =+，②设()()1122,,,A x y B x y ，联立得()22222221021y kx t k x ktx t x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩， 则222121222221220,,222++-≠+==-=----kt t k k x x x x k k k， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t 222222222222222222222--++--+===---k t k k t t k t t k k k k k， 所以2212122222022++⋅=+=-+=--k k OA OB x x y y k k，所以AOB ∠为定值90︒． 【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则．因为， 点到直线的距离，所以， 即到的距离与到直线的距离之比为定值．（2）因为，，所以，的方程为．假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，． 设，，则，．因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数， 即，2222:1(0)x y C a b a b+=>>(c,0)F 12e =P C P F P 2a x c=1c =(0,)c k l C M N y Q y MQN ∠Q 12(0,3)Q 1c =()00,P x y 2200221x y a b+=||PF ===0c a x a=-P 2a x c =20a d x c =-020||12c a x PF c a e a d a x c-====-P F P 2a x c=121c =12e =2a =b =C 22143x y +=Q (0,)Q t :1l y kx =+221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2234880k x kx ++-=()296210k ∆=+>()11,M x y ()22,N x y 122834k x x k -+=+122834x x k-=+y MQN ∠QM QN 121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==所以， 因为与无关，所以．故在轴上存在一点，使得轴始终平分．【点睛】由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键. 3．（2021·天津高三二模）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（∴）求与的方程；（∴）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（∴），；（∴）不存在点. 【分析】（∴）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出值，从而求出抛物线方程；代入抛物线方程可求出点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出，从而求出椭圆方程；（∴）直线与轴交于点，因为，且有，可得出，，即为线段中点，则有，设直线的方程为：，求出直线的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.【详解】解：（∴）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：. 则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为. （∴）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k----===++8(3)0k t -=k 3t =y (0,3)Q y MQN ∠y MQN ∠QM QN 1C ()220y px p =>22C ()222211x y a b a b+=>>()1,P t Р1C 1C 2C O 2C A O OA 1C B AB y E OAE EOB ∠=∠A 21:4C y x =222:1992x y C +=A p P ,a b AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠D AB A B y y =-OA ()0y kx k =>OB ()220y px p =>2px =-()1,P t 122p+=2p =24y x =()1,2P ()1,2P -P 22141a b +=22212c a =2212b a =22992a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221992x y +=OA OA ()0y kx k =>OA OB ⊥直线的方程为：， 由得：，即； 由得：，即. 设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，，所以，即为线段中点，所以，无解，所以不存在点的坐标使得.【点睛】（1）抛物线经常利用定义转化，将到焦点的距离转化为到准线的距离，减少变量求解；（2）直线与圆锥曲线的问题，经常将所求问题转化为与根有关的问题，此题中将转化为，联立解出点坐标，代入等式可判断是否存在.4．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，（1）求的坐标和椭圆的焦距；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），焦距为；（2），此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．【详解】（1）椭圆，可得，，所以，焦距为；OB xy k=-221992x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A ⎛⎫241y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩244x k y k ⎧=⎨=-⎩()24,4B k k -AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠AD OD BD ==D AB A B y y =-4k =314=<A OAE EOB ∠=∠OAE EOB ∠=∠A B y y =-22:1126y x Γ+=F Γ()0,6R l ΓM N F ΓMNF l y S RSM RSN π∠+∠=S (0,F 2c =MNF l 6y =+()0,2S RSM RSN π∠+∠=a b c :6l y kx =+122122kx x k -+=+122242x x k =+l l (0,2)S 22:1126y x Γ+=a =b =c =(0,F 2c =（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，由得，所以，故， 设，，则，， 所以(或用） 点到直线的距离所以，令，则， 所以，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程为；（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以， 当直线的斜率不存在时，直线也过定点，故轴上存在定点，使得恒成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将l :6l y kx =+2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22212240k x kx +++=()()2221449624840k k k ∆=-+=->240k ->()11,M x y ()22,N x y 122122kx x k -+=+122242x x k =+12MN x =-=====MN =F l d =)21622MNFS MN d k =⋅==+△0t =>))216666MNF tS t t t==++△6MNF S ≤=△k =MNF l 6y =+l 122122kx x k -+=+122242x x k =+RSM RSN π∠+∠=0MS NS k k +=12120y t y tx x --+=()()21120x y t x y t -+-=()()2112660x kx t x kx t +-++-=()()1212260kx x t x x +-+=()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++0k ≠2t =()0,2S l l ()0,2S y ()0,2S RSM RSN π∠+∠=。

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学 方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。

一、是否存在这样的常数例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2y 21有2两个不同的交点 P 和Q ． （I ）求 k 的取值范围；（ II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数 k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ，代入椭圆方程得 x 2( kx2) 21．整理得 1 k 2x 22 2kx 1 0①22直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2 4 1 k 2 4k 22 0 ， 2 解得 k 2或 k2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ．22 22（Ⅱ）设 P(x 1，y 1 )，Q(x 2，y 2 ) ，则 OP OQ ( x 1x 2，y 1 y 2 ) ，由方程①， x 1 x 2 4 2k ．②1 2k 2又y 1y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 2 ．③而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)， ．所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x 1 x 22( y 1 y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2．2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品22，故没有符合题意的常数 k ．由（Ⅰ）知 k 或 k2 2练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分12 分） 已知抛物线 C ： y 2x 2，直线 ykx2交C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 A( x 1，2x 1 2 ) ， B(x 2，2x 2 2) ， 把y k x 2 代 入 y 2x 2得2x 2kx 2 0 ， 由韦达定理得 x 1 x 2 k ， x x 1 ， 2 1 2 x N x M x 1 x 2 k ， k k 2N 点的坐标为 ， ． yM2B1A2 4 4 8设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 m x k， 8 4 将 y 2x 2 代入上式得 2x 2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m 2 8 mk k 2 m 2 2mk k 2 (m k) 20 ， 4 8 即 l ∥ AB ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y 1 y 2 )1(kx 1 1[ k( x 1 由（Ⅰ）知 y M 2 kx 2 2) 2 2 2N x O 1m k ．M 是 AB 的中点，x 2 ) 4]1 k2 k 2． 2 4 2 2 4MN x 轴， | MN | |y My N | k 2 2 k 2 k 216 ．4 8 81 k2 |x1x2 | 1 k 2( x1x2 )24x1x2又|AB|圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品k 211 k 24(1) k2 1 k 2 16 ．22k216 1k2 1 k 216 ，解得k 2 ．8 4即存在 k 2，使 NA NB 0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2得2x2kx 2 0 ．由韦达定理得x1x2k， x1 x2 1 ．2x N x M x1x2kN 点的坐标为k k 2．y 2x2y4x ，2，4，，4 8kk ，l ∥ AB ．抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44 （Ⅱ）假设存在实数k ，使 NA NB 0 ．由（Ⅰ）知NA x1k ，2k2，x2k ， 2 k2，则2x18NB42x284NA NB x1kx2k 2 k2 2 k2 4 42x182x28x1kx2k42 k2 2 k 2 4 4x116x216x1kx2k1 4 x1kx2k 4 4 4 4x x k x x k 2 1 4x x k( x x ) k 2 1 2 4 1 216 1 2 1 2 41 k k k2 1 4 ( 1) k k k24 2 16 2 41 k233k2 16 40，1 k 20 ， 3 3 k2 0 ，解得 k2 ．16 4圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在 k2，使 NANB0 ． 练习 2.直线 ax-y = 1 与曲线 x 2 - 2y 2= 1相交于 P 、 Q 两点。

专题16 圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线Γ：221412x y -=，F 为左焦点，P 为直线1x =上一动点，Q 为线段PF与Γ的交点．定义：||()||FP d P FQ =． (1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P λ=，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成λ的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n =+． 【答案】(1)5(2)223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出Q 点的坐标，即可得到直线PF 的方程，从而求出P 点坐标，即可得解； （2）设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，即可得到Q x 、Q y ，代入椭圆方程整理可得；（3）当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '，设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．依题意可得()(||)n d P m QF =-又5()4Q d P x =+，再由距离公式求出QF ，即可得到5(6)104Q m n x -=++，从而求出m 、n 的值，再计算点P 在x 轴上时的情形，即可得证； (1)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，将y =221412x y-=中，可得221412x -=，所以3x =±， 不妨取Q的坐标为(-， 于是直线PF的方程为4)y x =+．将1x =代入直线PF 的方程，得点P的坐标为． 因此||()5||FP d P FQ ==． (2)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，点P 的坐标为(1,)t ．设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，0λ>，又()5,FP t =、()4,Q Q x F y Q +=， 即()()5,4,Q Q x t y λ+=，所以54Q Q x ty λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程221412x y -=，得2253412t λλ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223612075t λλ=-+．由20t ≥，即236120750λλ-+≥，结合0λ>，解得506λ<≤或52λ≥． 又2Q x ≤-，即542λ-≤-，结合0λ>，解得52λ≥．因此223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭．(3)证明：点F 的坐标为(4,0)-．当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '． 设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．()||md P PF n =+，即()||()(||)n md P PF d P m QF =-=-．||||5()||||4Q FP FP d P FQ FQ x '==='+．由Q 为线段PF 与Γ的交点，得点Q 的坐标(,)Q Q x y 满足方程221412x y -=，即221412Q Q x y -=．于是||QF 2|1|Q x +，又2Q x <-，故||2(1)Q QF x =-+． 于是55(6)()(||)2(1)1044Q Q Q m n d P m QF m x x x -⎡⎤=-=++=+⎣⎦++． 故存在常数6m =、10n =，使得()||md P PF n =+． 当点P 在x 轴上时，()1,0P ，()2,0Q -，()4,0F -，所以5FP =，2FQ =，即||5()||2FP d P FQ ==，所以6()10d P PF ⨯=+，即上述结论亦成立．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b >0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y +=(2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m ny y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或:1l x y =+ 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解. (1)因为(1,0)F ，令1x =，得21143y+=，所以32y =±，所以||3AB =(2)设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，21y y -==211122AOBSOF y y =⋅-=t =，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；(3)①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234Mm y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．① 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值；(3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N 求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =- 同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Ntt x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在①ABC 中，()2,0B -，()2,0C ，动点A满足AB =90ABC ∠>︒，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ． (1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线(x m m =>交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m=交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， ①求证：123k k k +是定值． ①若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k ++=若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2213x y x -=>(2)①证明见解析 ；①存在；m =【解析】 【分析】（1）利用几何知识可得PB PC BC -=<，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求1k ，2k ，3k ，利用韦达定理证明；①根据①结合题意求Q 的坐标，代入双曲线方程运算求解． (1)①90BAC ∠>︒，①AC 的垂直平分线交BA 的延长线于点P ．连接PC ，则PC PA =，①PB PC PB PA AB BC -=-==，由双曲线的定义知，点P 的轨迹E 是以()2,0B -，()2,0C为焦点，实轴长为除外），2c =，a =1b =，①E的方程是(2213x y x -=>．(2)①证明：由已知得(),0D m ，()0,Q m y ，满足22013m y -=，设直线l 方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立2213x ty m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2223230t y mty m -++-=， 12223mt y y t +=--，212233m y y t -=-，1010011111y y y y y k x m ty t ty --===--， 同理0221y k t ty =-，①000012122212122112221233y y y my y y mt k k t t y y t t y y t t m t m ⎛⎫+-⎛⎫+=-+=-⋅=-⋅=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对x ty m =+，令3x m =，得23k m y tm-=， ①233,m K m tm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，200323133m y my tm k m t m m -+==+--， ①1232k k k +=， ①1232k k k+=是定值．①假设存在m 的值，使1236k k k ++= 由①知，1232k k k +=， 则123336k k k k ++==， ①32k =，直线QK 的方程为()02y y x m -=-，令3x m=， 得032K y m y m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；直线l 的斜率为1，直线l 的方程为x y m =+， 令3x m =，得3K y m m=-； ①0332m y m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①03y m m=-， 代入22013m y -=，得22313m m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得，42215270m m -+=，解得292m =，或23m =（①m >①m =，存在m ，使1236k k k ++=．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知①ABC 的顶点()4,0A -，()4,0B ，满足：9tan tan 16A B =． (1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214169x y x +=≠±(2)90,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设(),C x y ，用坐标表示 9tan tan 16A B =，即可整理出Γ的轨迹方程； （2）设直线l 为2y kx =+，先讨论0k =，结合条件，由对称性易得点N 在y 轴上；再讨论0k ≠，此时结合条件以及角平分线定理可得y 轴为PNQ 的平分线，即0NP NQ k k +=，最后联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理出1212,x x x x +，即可联立解出N 的纵坐标，即可得结果 (1)设(),C x y ，则9tan tan 4416y y A B x x =⋅=+-，整理得221169x y +=，故Γ的轨迹方程为()2214169x y x +=≠±； (2)设直线l 为2y kx =+，当0k =时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ MP =，要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即1NP MPNQ MQ==成立，即点N 在y 轴上，可设为()0,,2N a a ≠.当0k ≠时，联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理得()2291664800k x kx ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212226480,916916k x x x x k k --+==++， 要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即NP MP NQMQ=成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为PNQ 的平分线，即只需0NP NQ k k +=，即()()()()1221122112120220y a y ax y a x y a x kx a x kx a x x --+=⇒-+-=+-++-=，即()()()()121222806422220288640916916kkx x a x x k a a k k k--+-+=⋅+-⋅=⇒-+=++，解得92a =，综上可得，存在与M 不同的定点90,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，离心率为12，过点()3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t '=与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．【答案】(1)22143x y += (2)存在4:3l x '=满足条件，分析见解析. 【解析】 【分析】(1)由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得椭圆C 的方程；(2)联立方程组，利用设而不求结论求直线2A P ，1A Q 的交点，由此确定l '的方程.(1)①124A A =，所以24a =，故2a =， ①12c e a == ①1c =，又222a b c =+，所以23b = ①椭圆C 的方程为①22143x y +=(2)由已知可得直线l 的斜率一定存在， 设直线l 的方程为3x my =+2233412x my x y =+⎧⎨+=⎩得：()223418150m y my +++=， ()()()2221841534169150m m m ∆=-⨯+=->． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221834m y y m +=-+，1221534y y m =+ ①()121256my y y y =-+ ()22,0A ，()11,P x y ，()121:22y A P y x x =-- ()12,0A -，()22,Q x y ，()212:22y AQ y x x =++ 令()()12122222y yx x x x -=+-+ ①()()()()21121212121211222152525526651522166y y y x y my my y y x x y x y my my y y y y -+++++=====---++-， ①43x =①存在直线4:3l x '=满足题意 9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F -，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t =-+与抛物线22(0)y px p =>相交于,P Q 两点，射线1F P ，1F Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D ∈时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22195x y +=(2)存在，(5,)D =+∞，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出点A 5(2,)3到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得3a =，结合222=b a c -可得2b ，从而可得椭圆的方程；（2）直线l 与抛物线联立，结合判别式有40p t +>，要使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有110F P F Q ⋅<，结合韦达定理可得5p >，从而可证明问题. (1)由题意知2c =，5(2,)3A 为椭圆上的一点，且2AF 垂直于x 轴，则253AF =，1133AF ==，所以122135336a AF AF =+==+，即3a =，所以222=32=5b -，故椭圆的方程为22195x y +=；(2)l 方程为2y x t =-+，联立抛物线方程，得222y pxy x t⎧=⎨=-+⎩，整理得20y py pt +-=， 则240p tp ∆=+>，则40p t +>①，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则12y y p +=-，12y y pt =-， 则212122212(,4)24y y px t t x x x p +=+== ， 由1F 的坐标为(2,0)-，则11(2F P x =+，1)y ，12(2F Q x =+，2)y ， 由1F M 与1F P 同向，1F N 与1FQ 同向， 则点1F 在以线段MN 为直径的圆内，则110F M F N ⋅<，则110F P F Q ⋅<， 则1212(2)(2)0x x y y +++<，即1212112()40x x x x y y ++++<，则22()4042t p t pt +++-<，即2(2)404t p t p +-++<①， 当且仅当21(2)4(4)04p p ∆=--⨯+>，即5p >， 总存在t 4p>-使得①成立， 且当5p >时，由韦达定理可知2(2)404t p t p +-++=的两个根为正数，故使①成立的0t >，从而满足①，故存在数集(5,)D =+∞，对任意p D ∈时，总存在t ，使点1F 在线段MN 为直径的圆内．10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF 的面积为12．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)2212x y +=(2)存在；43y x =-【解析】 【分析】(1)根据题意和椭圆离心率的定义可得c b =，由三角形的面积公式可得1122bc =，即可求出2212b a ==，；(2)设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+、、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212+、x x x x 和12y y ，结合垂心的定义可得0QF MP ⋅=，根据平面向量数量积的坐标表示列出关于m 的方程，解之即可. (1)依题意得，222112b e a =-=，即a ，则c b =，又1122OMFSbc ==，则2212b a ==，， 所以所求椭圆的方程为2212x y +=．(2)由（1）知(0,1)(1,0)M F ，，故直线MF 的斜率为1MF k =-．若符合题意的直线l 存在，可设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+，，，由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2234220x mx m ++-=， 则()22(4)12220m m =-->，即m <又2121242233m m x x x x -+=-=，， 则()2212121223m y y x x m x x m -=+++=，由F 点恰为PQM 的垂心等价于QF MP ⊥，即0QF MP ⋅=．由于()()22111,,1QF x y MP x y =--=-，，故 ()()22121121212411033m QF MP x x y y x x m x x y y m ⋅=---=++--=--+=， 所以43m =-或1m =．当1m =时，直线PQ 经过点M ，此时不构成三角形，故舍去．故直线l 的方程为43y x =-．11．（2022·江苏·()2222:10x y M a b a b +=>>的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x =于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且36AH AC ⋅=.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=(2)(1,0)N ，13NP NE k k =-⋅ 【解析】 【分析】（1）先由36AH AC ⋅=求出AM 的方程； （2）设出,P N 坐标，表示出直线AP ､BP 的方程求得C ､D 两点坐标，进而求得E 坐标，表示出NP NE k k ⋅，由P 是椭圆M 上的一点化简得()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，即可求解.(1)由题意知：2cos 36AH AC AH AC CAH AH ⋅=⋅∠==，则6AH =，又(4,0)H ，则(2,0)A -，故2a =-，又离心率为c a =c =2221b a c =-=，故椭圆M 的方程为2214x y +=；(2)易得(2,0),(2,0)A B -，设00(,)P x y ，(,0)N n ，由直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在知0,4n x n ≠≠，又直线AP ､BP 斜率必存在，则直线00:(2)2y AP y x x =++，令4x =，得0062y y x =+，则006(4,)2y C x +， 直线00:(2)2y BP y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，则002(4,)2y D x -，又00000002062224424y y x x x y y x ++--=-，则00020444,4x y y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()()()200000200002014444444NP NEk n n x y x y y x x k n x y x n -⋅--=⋅=---⋅--，又P 是椭圆M 上的一点，则220014x y +=，即220044y x =-， 故()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，故当1n =时，NP NE k k ⋅为定值13-，此时(1,0)N .12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t =与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设(),G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)()22341,1x y x y +=≠±≠±(2)G y =(3)存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ 【解析】【分析】（1）设P 点坐标，根据所给的条件列方程即可求解；（2）由于椭圆的对称性，圆D 的圆心必定在y 轴上，G 点纵坐标的最大值必定在y 轴上，立方程解出G y 的解析式，求导即可；（3）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解. (1)设(),P x y ，依题意有()1,1B - ，13AP BP k k =- ，即111113y y x x -+=-+- ， 整理得：221443x y += 或2234x y +=()1,1x y ≠±≠± ； (2)当y t =时，x =，即圆D，当G y 最大时， 必有G yt =，'Gy =，当t =时，'0G y = ， 当0t ＜时，'0G y ＞ t时，'0G y ＜ ，在t =时，G y 取最大值； (3)设(),P m n ，APB MPN ∠=∠ ，当APBMPNSS= 时，有AP BP MP NP = ,由弦长公式得221,13AP AP m MPk m =+=+- ，21,13BP BP m NP k m =-=+- ， ①2213m m -=- ，()22513,3m m m -=±-= ， 此时n = ，点P的坐标为53⎛ ⎝⎭ 或5,3⎛ ⎝⎭; 综上，轨迹C 的方程为2234xy +=()1,1x y ≠±≠± ，G y 取最大值存在，P 53⎛ ⎝⎭ 或P 5,3⎛ ⎝⎭. 13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m =时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22142x y +=；(2)不存在；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可；（2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+． 因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-， 又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =． 又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =， 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=； (2)由题意可知，直线l 的方程为1y x =+．假设椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，设()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，所以3402x x x +=，3402y y y +=， 因为P ，Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-且点N 在直线l 上，即001y x =+．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以2233142x y +=，2244142x y +=，两式相减得()()()()34343434042x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434042y y y y x x x x +-++=-，所以343442x x y y ++=，即002x y =． 联立000021x y y x =⎧⎨=+⎩，解得0021x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,1N --．又因为()()2221142--+>，即点N 在椭圆C 外，这与N 是弦PQ 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在点P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标； (2)若||||FA FD =，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ； ①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；①ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16 【解析】 【分析】（1）根据抛物线C 的方程，可以求得焦点坐标，由ADF 是正三角形，设点A 和D 的坐标，可以求解； （2）过点A ，作准线的垂线，得垂足P ，构造平行四边形，设A 点的坐标，以A 点的纵坐标为参变量，分别计算直线1l ，AE ，AB 的方程 以及三角形AEB 的面积即可. (1)①24,24,12py x p === ，①抛物线焦点坐标F （1,0），准线方程为x =-1， 设A (a ，t )，D (m ，0)，因为ADF 是正三角形，必有()1112a m m a ⎧--=-⎪⎨+=⎪⎩，解得3a = ，即A 点横坐标为3； (2)如图，设A 点在第一象限，过A 点作准线x =-1的垂线，得垂足P ，连接PF ，AF FD AP == ，//AP FD ， ①四边形APFD 是平行四边形，//PF AD ，设A (a ，t )()0,0a t ＞＞ ，则P (-1，t )，直线PF 的斜率为112t tk ==--- ， 设1l 的方程为2t y x b =-+ ，联立方程242y xty x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩， 消去x 得：2880y y b t t +-= ，因为1l 是抛物线C 的切线，28320bt t ⎛⎫∴∆=+= ⎪⎝⎭，2b t =- ，4y t =- ，24x t= ，即E 点的坐标为244,tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，直线AE 的方程为：224444t t y x t t a t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+=- ⎪⎝⎭- ，其中24t a = ， 化简得：()2414ty x t =--，故AE 过定点F （1，0）； 直线l 的方程为：()2t y t x a -=-- ，化简得：328t t y x t =-++ ，联立方程32284t t y x t y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22880y y t t +--= ， 212128,8y y y y t t+=-=-- ，1242y y t t ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，即A ，B 两点的纵坐标之差的绝对值为42t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，过E 点作x 轴的平行线交l 于H 点，则22842,4t H tt ⎛⎫++-⎪⎝⎭ ，22424t EH t =++ ，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB 的面积，2122114422224AEBt SEH y y t t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322162t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭ ，当且仅当t =2时等号成立，AEBS的最小值为16；综上，A 点的横坐标为3，直线AE 过定点F （1,0），三角形AEB 的面积最小值为16.15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线()2222:10,0x ya b a bΓ-=>>的左、右焦点，若点A 为双曲线右支上一点，且12||||AF AF -=2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证：()1221214x y x y y y -=-； (2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出． 【答案】(1)证明见解析； (2)定值，7. 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明； （2）设直线AD 的方程为()1122y y x x =++，与双曲线联立得111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222238(,)33x y Q x x ---++，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1)由等轴双曲线知离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2228,8,16a b c ===，所以双曲线方程为22188x y -=，2(4,0)F . 当直线AB 的斜率不存在时，124x x ==，()12212121444x y x y y y y y -=-=-， 直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121244y y x x =--，整理得()1221214x y x y y y -=-，综上所述，()1221214x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0，设直线AD 的方程为()1122y y x x =++， 代入双曲线228x y -=并化简得：()()()2222211122820x x y x x +-+-+=，①由于22118x y -=，则22118y x =-代入①并化简得：2221111(412)4(8)12320x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则21110121101338,38x x x x x x x x x -=-+=-++，解得101383x x x --=+， 代入()1122y y x x =++，得1013y y x -=+，即111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222238(,)33x y Q x x ---++， 所以()()21122121212211221333383833y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++()()()212121112124377y y y y y y k x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值. 16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点()02,Q y ，且3QF =，过点()(,00)P a a >（不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N ．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数λ使1=OABS S λ，若存在，求出实数λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =；(2)存在；2λ= 【解析】【分析】（1）由焦半径列出方程，求出2p =，得到抛物线方程，从而得到Q 点的坐标，求出直线1l 的斜率；（2）设出()2,2A t t ，得到切线2:=+AM ty x t ，得到(0,)M t ，设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立，利用韦达定理得到222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，表达出直线BN 方程，得到0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t ，表达出OABS与1S ，求出实数λ的值.(1)由焦半径公式得：3222pQF p ==+⇒=， ①24y x =①0y =， ①(1,0)F ，①直线1l =(2)存在；2λ=，理由如下：设()2,2A t t ，切线2:(2)-=-AM m y t x t与抛物线联立得224840-+-=y my mt t ， 由相切得0∆=⇒=m t ，得2:=+AM ty x t ①， 令0x =得：y t =，所以(0,)M t设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立得2440y ny a --=，由韦达定理4=-A B y y a ，得222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，又①=-MP tk a， ①222:⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭a t a BN y x t a t ①， 令0x =得：a y t =-，故0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t将①①联立，解得：x a =- 111||||22⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭a S MN a a t t ， 112||222⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭OABB A a SOP y y a t t 所以12=OABSS ，即存在实数2λ=使1=OABSS λ．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，()11,A x y ，()22,C x y 为Γ上不同的两点，且122x x +=，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC =？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)分别考虑直线AC 的斜率存在时和不存在时证明+=2AF CF BF 即可；(2)当直线AC 的斜率存在时，设存在点D ，使得DA DC =，记AC 的中点为M ，由此可得1MD k k ⋅=-，结合(1)解方程求出D 的坐标，再检验直线AC 的斜率不存在时点D 是否满足要求. (1)当直线AC 斜率不存在时，:1AC x =．不如令31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F ．①32AF =，32BF =，32CF =，①AF ，BF ，CF 成等差数列； 当直线AC 的斜率存在时，设:AC y kx m =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，①1228234km x x k +=-=+． ①()()111442AF e x x =-=-，()()221442CF e x x =-=-， ①()1214322AF CF x x BF +=-+==，①AF ，BF ，CF 成等差数列． (2)当直线AC 的斜率存在时设(),0D n ，AC 的中点为00(,)M x y ． ①DA DC =，①DM AC ⊥．①0120121222,222,x x x y y y kx m kx m k m =+=⎧⎨=+=+++=+⎩①001,,x y k m =⎧⎨=+⎩ ①001MD y k m k x n n +==--，①1MD k k ⋅=-，即11k m k n+⋅=--，①21k km n +=-． 由（1）知24430k km ++=，①234k km +=-，①314n -=-，①14n =，①存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =． 当直线AC 的斜率不存在时，显然点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，满足DA DC =．故总是存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AM AN BMBN=恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x = (2)存在，()4,0M - 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解. (1)Q 在曲线C 上，则202p px =，则02px =， 而022pQF x p ==+=，故抛物线C 的方程为24y x =. (2)易知直线AB 的斜率不为0，故设()()()1122:,,,,,,0AB l x ty n A x y B x y M m =+联立：224404x ty ny ty n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩， 故12124,4y y t y y n +==-.222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= 则4n =或0n =（舍），故()4,0N . 因为,M N 都在x 轴上，要使得AM AN BMBN=，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1mx ，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而,M N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠ 故AM 与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+ ()()1221121212442324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+=+=-++为定值. 故当()4,0M -时，有AM AN BMBN=恒成立.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C(为C 上一点. (1)求证：()1221212x y x y y y -=-；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ≠，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)217k k =. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出22,a b ，即可求得双曲线的方程，分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，有122x x ==，代入左边即可验证得到右边，斜率存在时结合22MF NF k k =化简整理即可得证； （2）设直线MD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线方程联立求得点P 的坐标，同理可求得点Q 的坐标，进而表示出2k ，结合（1）的结论即可得出结论. (1)证明：由题意得：22222971ca abc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得2222,4a b c ===，所以双曲线C 的 方程为22122x y -=， 则()()122,0,2,0F F -，当直线l 的斜率不存在时，则122x x ==， 此时()12212121222x y x y y y y y -=-=-，当直线l 的斜率存在时， 因为22MF NF k k =，即121222y y x x =--， 整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-； (2)解：因为点D 为线段1F O 的中点，所以()1,0D -，显然直线MD 的斜率存在且不为0，可设直线MD 的方程为()1111y y x x =++， 联立()112211122y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()22222211111112122420x x y x y x y x x ++------=， 又2211122x y -=，所以22112y x =-，所以()()22211112322340x x x x x x +----=，设()00,P x y ，则2111013423x x x x x --=+，所以1013423x x x --=+，代入()1111y y x x =++，得10123y y x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 同理222234,2323x y Q x x ⎛⎫---⎪++⎝⎭， 所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++，又因()1221212x y x y y y -=-， 所以()()()122121211212122377k x x y x y y y k x x y y x ------===--，即217k k =是定值.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF ==. (1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t ≤≤分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k +-=.（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数λ，使得OAB ABCD S S λ=梯形△，试求实数λ的取值范围. 【答案】(1)24y x =(2)（i ）2；（ii ）1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)设点00(,)P x y ，根据题意和抛物线的定义求出p 的值即可；(2)设点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 、44(,)D x y ，根据两点求直线斜率公式可得12k k k 、、的表达式，结合题意列出关于k 的方程，求出k ，进而得出直线AB 的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出AB CD 、，由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，求出梯形ABCD 的面积，得到λ与t 的关系式，结合t 的范围计算即可. (1)设点00(,)P x y ，①32OP PF ==，①04px =，①3422p p PF =+=，①2p =，所以抛物线E 的标准方程为24y x =.(2)(i)设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则212122212112444y y y y k y y x x y y --===-+-，同理：1144k y y =+，2234k y y =+，344k y y =+. 又因为12120k k k k +-=，所以12111k k +=，即2314144y y y y +++=， 所以12344y y y y +++=，即444k k+=，①2k =.（ii ）由（i ）得：:2()AB y x t =-代入24y x =可得：2240y y t --=，所以12AB y =-==O 到直线AB的距离为d =.①1122OAB S AB d =⋅⋅==△同理可求得：CD = ①()1122ABCD S AB CD d t =+⋅==梯形，①λ=⋅11λ===①26t ≤≤，①1215λ≤≤. 综上，实数λ的取值范围为1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2022-2023学年高中数学二轮复习冲刺圆锥曲线中的存在性问题解析版专题 圆锥曲线中的存在性问题方法总结：解决存在性问题的一些妙招：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示，并进行求解②间接法：若无法直接求出，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

典型例题：例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P 在椭圆C 上，且满足2122PF PF PF ⋅=．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点2F 且斜率不为零的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ，则在x 轴上是否存在定点M ，使得MO 平分AMB ∠？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22184x y +=；(2)存在，()4,0M . 【解析】 【分析】（1）分析可知212PF F F ⊥，可得出椭圆C 的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得a 的值，可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线:2l x my =+，设点()0,0M x 、()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，分析可知0MA MB k k +=，利用斜率公式结合韦达定理求出0x 的值，即可得出结论. (1)解：（1）因为2122PF PF PF ⋅=，所以，()2210PF PF PF ⋅-=，即2120PF F F ⋅=，所以，212PF F F ⊥又点(P 在椭圆C 上，()12,0F ∴-、()22,0F ，且由椭圆定义得122a PF PF =+=，则a =2244b a =-=，则椭圆C 的标准方程为22184x y +=.(2)解：假设存在定点M 满足要求，因为直线l 斜率不为零，所以设直线:2l x my =+， 设点()0,0M x 、()11,A x y 、()22,B x y ，联立22228x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()222440m y my ++-=，则()()222161623210m m m ∆=++=+>， 由韦达定理可得12242m y y m +=-+，12242y y m =-+， 因为直线OM 平分AMB ∠，则0MA MB k k +=，即1210200y y x x x x +=--， 121020022y y my x my x ∴+=+-+-，整理得()()12012220my y x y y +-+=，()0224422022m m x m m ⎛⎫⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()040m x ∴-=，由于R m ∈，04x ∴=，所以存在()4,0M 满足要求．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右准线x =A 、B ，且4tan 3AOB ∠=-．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 相交于点M 、N ，若OM ON ⊥，求证：存在定圆与直线l 相切，并求该定圆的方程．【答案】(1)2214y x -=；(2)证明见解析，定圆方程为2243x y +=. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正切公式可求得2b a=，可得出c ，利用双曲线C 的右准线方程可求得a 的值，可得出b 的值，由此可得出双曲线C 的方程； （2）分析可知直线OM 、ON 的斜率都存在，可设直线直线OM 的方程为()0y kx k =≠，设点()11,M x y ，将直线OM 的方程与双曲线C 的方程联立，求出2OM ，可得出2ON 的值，利用等面积法可求得原点O 到直线l 的距离，即可得出结论. (1)解：设渐近线by x a=的倾斜角为α，则tan b aα=， 由已知可得22tan 4tan tan 21tan 3AOB ααα∠===--，整理可得22tan 3tan 20αα--=，因为tan 0ba α=>，解得2ba=，则2b a =，所以，c =，双曲线C 的右准线方程为2a x c ===1a =，2b =， 故双曲线C 的方程为2214y x -=.(2)解：若直线OM 、ON 中有一条直线的斜率不存在时，则直线OM 、ON 分别与两坐标轴重合，则这两条直线中有一条直线不与双曲线C 相交，不合乎题意；若直线OM 、ON 的斜率都存在时，可设直线OM 的方程为()0y kx k =≠，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2244y kx x y =⎧⎨-=⎩可得()2244k x -=，所以，21244x k =-，221244k y k =-， 所以，()2222112414k OM x y k +=+=-，()22222141411414k k ON k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 设点O 到直线l 的距离为d ，则()()222222222222221141144134141OM ON OM ON d k k MNOM ONOMONk k ⋅⋅=====--+++++，综上，存在定圆与直线l 相切，该定圆的方程为2243x y +=． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例3．（2022·安徽合肥·高三期末（理））在平面直角坐标系xOy 中，()00,M x y 是抛物线E ：()220y px p =>上一点.若点M 到点,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离､点M 到y 轴的距离的等差中项是054x +. (1)求抛物线E 的方程；(2)过点()(),00A t t <作直线l ，交以线段AO 为直径的圆于点AB ，交抛物线E 于点C ，D （点B ，C 在线段AD 上）.问是否存在t ，使点B ，C 恰为线段AD 的两个三等分点？若存在，求出t 的值及直线l 的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)210y x =(2)存在，12t =-，斜率为 【解析】 【分析】（1）由点M 到点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离､点M 到y 轴的距离的等差中项是054x +可得p ，从而得到抛物线方程；（2）假设存在t ，设直线l 的方程为()y k x t =-，以线段AO 为直径的圆的方程为220x tx y -+=，联立方程得到B 点坐标，由2AC AB =得C 点坐标，由3AD AB =得D点坐标，代入抛物线E 的方程解得t ，k 可得答案. (1)因为,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线E 的焦点，所以点M 到点,02p⎛⎫⎪⎝⎭距离为02px +.由已知得0005224p x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，解得5p =. ∴抛物线E 的方程为210y x =. (2)假设存在t 满足题意，由题意可以判断，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()y k x t =-，以线段AO 为直径的圆的方程为220x tx y -+=，由()22x tx y y k x t ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩解得222,11k t kt B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由2AC AB =得()22212,11k t kt C k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由3AD AB =得()22223,11k t kt D k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 代入抛物线E 的方程得，()()422221,10421.109t k k k k t k ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得12t =-，k = ∴当12t =-且直线l的斜率为B ，C 恰为线段AD 的两个三等分点. 例4．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知动点M 到直线4x =的距离是M 与点(2,0)M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)动直线:(0)2l y x m m =+≠与C 交于两点A ，B ，曲线C 上是否存在定点P ，使得直线,PA PB 的斜率和为零？若存在求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)22184x y +=；(2)存在，定点P或(2,P -. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件列出方程，再化简作答.(2)把直线l 与曲线C 的方程联立，设出点P 的坐标，结合韦达定理、斜率坐标公式计算，再借助恒成立列式计算作答. (1)设动点M 的坐标为(,)x y ，由已知得4x -=化简整理得2228x y +=， 所以曲线C 的方程为22184x y +=.(2)由已知(0)y m m =+≠与2228x y +=联立，消去y 整理得：2240x m +-=， 由已知得2224(4)0m m ∆=-->，且0m ≠，解得：((0,22)m ∈-设()()1122,,,A x y B xy ，则12x x +=，2124x x m =-，假定曲线C 上存在定点()00,P x y 使得直线,PA PB 的斜率和为零，即010201020y y y y x x x x --+=--，则00010221))220y y m x x x x x m +---+-+=，整理得()()()001201212220y m x x x x x x x x --++-=⎡⎤⎤⎣⎦⎦，则有()20002()()2(4)0y m x x m ⎡⎤⎤----=⎣⎦⎦，整理得：00002)0x m x y -+-=，因当((0,22)m ∈-时恒有00002)0x m x y -+-=成立，则0000x x y -==⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或002x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩P或(2,P -在椭圆C 上， 所以曲线C 上存在定点P或(2,P -，使得直线,PA PB 的斜率和为零. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例5．（2022·重庆·一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点12⎫⎪⎭，且离心率(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()0,1P 的两条直线分别和椭圆C 交于不同两点A ，B （A ，B 异于点P 且不关于坐标轴对称），直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k ⋅=.试问直线AB 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=(2)是，直线AB 恒过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （12a b=，然后再将点12⎫⎪⎭代入椭圆方程中可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线PA 的方程为11y k x =+，代入椭圆方程中可求出点A 的坐标，再由121k k ⋅=可得点B 的坐标，从而可表示出直线AB 的方程，化简可得结果(1)c a=2c =，得2243c a =，因为222c a b =-，所以得224a b =，2a b =，所以椭圆方程为222214x y b b +=，因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以2231144b b +=，得21b =，所以椭圆方程为2214x y +=，(2)设直线PA 的方程为11y k x =+，代入2214xy +=中，得2211(14)80k x k x ++=，解得0x =或121814k x k =-+，所以2112211814,1414k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由于121k k =，所以将点A 的坐标中的1k 换为11k ，可得211221184,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则直线AB 的斜率为2211221111221114414488144A B ABA B k k y y k k k k k x x k k ----++==--+++4211211188124(1)3k k k k k -+==---， 所以直线AB 的方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭， 化简得2111533k y x k +=--， 所以直线AB 恒过点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 例6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知离心率为12的椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，△PF 1F 2的周长为6，且F 1为抛物线C 2：()220y px p =->的焦点.(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)过椭圆C 1的左顶点Q 的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，点O 为原点，射线OA ，OB 分别交椭圆于C ，D 两点，△OCD 的面积为S 1，△OAB 的面积为S 2.则是否存在直线l 使得21133S s =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=，24y x =-；(2)存在，20x y -+=或20x y ++=. 【解析】 【分析】（1）由题可得22222612a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，即求； （2）设直线l 的方程为2x my =-，联立抛物线方程利用韦达定理可得128y y =-，利用直线与椭圆的位置关系可求22234236448121y y m ⨯⋅=+，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得. (1)由题意得22222612a c c a a b c +=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴ 椭圆的方程为22143x y +=，()11,0F -，所以抛物线的方程为24y x =-. (2)由题意得直线l 的斜率不为0，()2,0Q -，设直线l 的方程为2x my =-，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ， 由224x my y x=-⎧⎨=-⎩，得2480y my +-=， ∴121248y y m y y +=-=-，， ∵21133S s =， ∴21212134341sin 132||||||13sin 2OA OB AOB OA OB S y y y y S OC OD y y y y OC OD COD ⋅∠⋅=====⋅⋅∠，∵2114y x =-，∴ 直线OA 的斜率为1114y x y =-，即直线OA 的方程为14y x y =-,由1224143y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2321364364y y ⨯=+， 同理可得2422364364y y ⨯=+，()2222342222222121212364364364364364936464y y y y y y y y ⨯⨯⨯⋅=⨯=+++⨯++ ()2222223643644812196436441664m m ⨯⨯==+⎡⎤⨯+⨯⨯-++⎣⎦， ∴222221222134||1214813()||93S y y m S y y +===，得m =±1， ∴ 存在直线l ，方程为20x y -+=或20x y ++=.过关练习：1．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()1F，)2F ，且椭圆C 上的点M 满足127MF =，12150MF F ∠=︒.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点P 、Q ，都有2211EPEQ+为定值，试求出此定值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形12MF F △中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出P 、Q 两点的纵坐标的关系，进而表示出2211EPEQ+，即可求得该定值，同时也对直线l 为x 轴时检验即可 (1)依题意得：c =122F F c ==由椭圆定义知：122MF MF a +=又127MF =，则2227MF a =-，在12MF F △中，12150MF F ∠=︒ 由余弦定理得：2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F =+-⋅∠即(22222222cos150777a ⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2a = 又2221b a c =-=故所求椭圆方程为：2214x y +=(2)设(),0E m 、()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线l 不为x 轴时的方程为x ty m =+联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得：()()2224240t y tmy m +++-=根据韦达定理可得：12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+ ()()()()212122222222221212211111111y y y y y y t y t y t EP EQ +-+=+=⋅+++()()()22222232828114m m t t m -++=⋅+- 当且仅当2232828m m -=+，即m =22115EP EQ +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211EPEQ+为定值5，点E的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭经检验，当直线PQ 为x 轴时，上面求出的点E 也符合题意 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．2．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线240x y +-=与椭圆仅有一个公共点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1x =，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得过M 的直线交椭圆于P ，Q 两点，交l 于N ，且满足MP NP MQNQ=，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在，(4，0). 【解析】 【分析】(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由0∆=再得一个方程，结合本身a 、b 、c 的关系即可解出a 、b 、c 的值，从而确定椭圆的标准方程； (2)设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M m ，()1,N n ，直线PQ 的方程为()0x ty m t =+≠，由MP NPMQNQ =，得1122y n y y y n -=-，即()12212y y n y y =+，联立直线PQ 与椭圆方程，得12y y +和12y y ，从而可求m 、n 、t 的关系，再结合N 是l 和直线PQ 的交点即可求出m 的值，从而可判定PQ 是否过定点. (1)∵12e =，∴2a c =，223b c =，将42 x y =-代入2222143x y c c+=，整理得224121230y y c -+-=，∴()2144441230c ∆=-⨯⨯-=，解得21c =，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M m ，()1,N n ，直线PQ 的方程为()0x ty m t =+≠，由MP NP MQNQ =，得1122y n yy y n -=-，即()12212y y n y y =+. 将x ty m =+代入椭圆方程22143x y +=，整理得()2223463120t y tmy m +++-=，()()2222364343120t m t m ∆=-+->，即22340t m -+>， ∴122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+. ∴222312623434m mt n t t --⋅=⋅++. 将(1，n )代入x ty m =+，可得1mn t-=，代入上式可得4m =.当直线PQ 的方程为0y =时，()4,0M 也满足题意. 故定点M 为(4，0).3．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且C经过点. (1)求C 的方程.(2)过点(2,0)D 的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线3x =的垂线，垂足为G ，过原点O 作OM QG ⊥，垂足为M .证明：存在定点N ，使得MN 为定值.【答案】(1)22162x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦距求出2c =，代入，以及222a c b -=，解出22,a b ，进而求出椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出直线l 过的定点，结合垂直关系，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到定点N ，使得MN 为定值. (1)由题意得：24c =，所以2c =，又C经过点，故222222311a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2262a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程为22162x y +=.(2)证明：由题可知直线l 与x 轴不重合，可设:2l x my =+，联立222,1,62x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()223420m y my ++-=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m =-+，224240m ∆=+>， 所以121112m y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为()13,G y ，()222,Q my y +，所以直线QG 的斜率为2121122122111112y y y y y my y y y --==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以直线QG 的方程为112(3)y y y x -=-，所以直线QG 过定点5,02H ⎛⎫⎪⎝⎭.因为OM QG ⊥，所以OHM 为直角三角形，取OH 的中点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，则1|||5|24MN OH ==，即||MN 为定值.综上，存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得||MN 为定值【点睛】圆锥曲线求解存在定点满足定值问题，需要结合一些常见结论进行求解，比如直角三角形斜边中线等于斜边一半，或者圆的半径等，本题中就要先求出直线过定点，再使用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行求解.4．（2022·福建三明·高三期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，焦距为P(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点（0，－12）的直线l 与C 交于A ，B 两点；线段AB 的中点为M ，在y 轴上是否存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213x y +=；(2)存在，N （0，1）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距求出c ，再将点P 的坐标代入椭圆方程，进而求得答案； （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据2AMN ABN ∠=∠得到点N 在以AB 为直径的圆上，得到0NA NB →→⋅=，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题. (1)由焦距为c =又因为P，在椭圆上，所以22221a b ⎛ ⎝⎭+=，即222113a b +=，又因为222a b c =+，所以223,1a b ==，所以椭圆C 的方程为：2213x y +=．(2)假设在y 轴上存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立，设N （0，0y ），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）.①当直线l 的斜率存在时，设l ：12y kx =-，由221213y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()224121290k xkx +--=，()22144364120k k ∆=++>，12212412k x x k +=+，1229412x x k -=+． 因为2AMN ABN ∠=∠，所以||||BNM MBN MB MN ∠=∠⇒=，而点M 为线段AB 的中点，所以||||2AB MN =，则点N 在以AB 为直径的圆上，即0NA NB →→⋅=． 因为()()110220,,,NA x y y NB x y y →→=-=-，所以()()()212102012120120x x y y y y x x y y y NA N y B y y →→=+--=+-++⋅()()2212121201201124k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦ ()()()2220002212012002121448*********y k y y kx x k y x x y y k -++-⎛⎫=+-+++++== ⎪+⎝⎭，∴2020*******y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y =，即存在N （0，1）满足题意. ②当直线l 的斜率不存在时A （0，1），B （0，－1），M （0，0），点N （0，1）满足20AMN ABN ∠=∠=.综上，存在定点N （0，1），使得2AMN ABN ∠=∠恒成立. 【点睛】本题需要解决两个问题：首先，2AMN ABN ∠=∠说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道NA NB ⊥之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，A B ，分别是椭圆E 的左、右顶点，(1,0)D 为线段2OF 的中点，且2250AF BF +=．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ．试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22195x y +=(2)存在满足条件的常数λ，47λ=-． 【解析】【分析】（1）由已知求得a ，b ，c ，由此求得椭圆的标准方程；（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，33()P x y ，，44()Q x y ，，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，与椭圆的方程联立整理得，2112115140x x y y y y ⎛⎫--+-=⎪⎝⎭，根据根与系数的关系求得点1111594(,)55x y P x x ---， 同理，求得点2222594(,)55x y Q x x ---，由三点1,M F N ，共线，得1221122()x y x y y y -=-，从而由两点的斜率公式求得21407k k -=，从而求得满足条件的常数λ． (1)解：∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，所以5()a c a c +=-，化简得23a c =， 又点(1,0)D 为线段2OF 的中点，∴2c =，从而3a =，b =1(2,0)F -，故椭圆E 的方程为22195x y +=；(2)解：存在满足条件的常数λ，47λ=-， 设11()M x y ，，22()N x y ，，33()P x y ，，44()Q x y ，， 则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭， ∵11131(1)5y x y y x -+=-，∴13145y y x =-，从而131595x x x -=-，故点1111594(,)55x yP x x ---，同理，点2222594(,)55x yQ x x ---，∵三点1,M F N ，共线，∴121222y y x x =++， 从而1221122()x y x y y y -=-，从而()()1212213412121212341211212244557()759594()455+5 4y y y x y x y y y x x y y k k x x x x x y x x x x x -=-------====-------，故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47λ=-． 6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C ： x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ， P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y ＝t （t ＜0）上的投影．当△PQF 为等边(1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与线段AB 交于点M ．试问：是否存在t ，使得△QMA 和△QMB 面积相等恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22x y = (2)存在，12t =- 【解析】 【分析】（1）设00,P x y ，根据等边三角形的面积公式得到2PQ =，再根据抛物线的定义得到2p t =-，即可得到02202002242p y x p x py⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，从而求出p ，即可得到抛物线方程；（2）设()()000,0P x y x ≠，()()1122,,,A x y B x y ，()0,Q x t ，利用导数求出切线l 的方程，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再求出直线OQ 的方程，从而求出M 点的横坐标，再根据△QMA 和△QMB 的面积相等，且A ，M ，B 在同一条直线上，可得点M 为AB 的中点，从而得到122M x x x =+，即可求出参数t 的值，即可得解； (1)解：设00,P x y ，∵PQF △0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭∴21||sin23PQ π⨯=2PQ =，∵Q 为P 在动直线()0y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ；当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2p t =-，∴02202002242p y x p x py⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得1p =，∴C 的方程为22x y =；(2)解：设()()000,0P x y x ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则2002x y =，()0,Q x t ，∵212y x =，∴y x '=，∴切线()000y y x x x -=-，即00:l y x x y =-，联立方程()00222220000124240142y x x y x x x y x y x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴001220412x y x x x +=+ ∵()0,Q x t ．∴0:OQ t l y x x =，0002000M t y x y x x x x t y x x y⎧=⎪⇒=⎨-⎪=-⎩， ∵△QMA 和△QMB 的面积相等，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点， ∴122M x x x =+，即000002204212x y x y x x t =+-，则12t =-， 所以存在12t =-，使得△QMA 和△OMB 的面积相等恒成立．7．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为点,A B ，且M 为椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，14MA NB k k ⋅=. (1)求椭圆E 的离心率；(2)若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与椭圆E 交于P Q 、两点，在y 轴上存在点R ，使得(),0RP RQ RP RQ PQ ⊥+⋅=，求直线l 的方程. 【答案】(2)1y x =± 【解析】 【分析】（1）设()00,M x y ，则()00,N x y -，由⋅MA NB k k 可得2214b a =，从而求出离心率； （2）求出椭圆E 的方程，设直线l 方程为()()()1122,0,,,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，直线与椭圆方程联立利用韦达定理得S ，由()0+⋅=RP RQ PQ 得t ，由⊥RP RQ 得()()12120+--=x x y t yt ，将12,y y 代入求得m 可得直线l 的方程. (1)由椭圆知()(),0,,0A a B a -，设()00,M x y ，则()00,N x y -，点M 在椭圆E 上，有()2222222200000222211x y x b y b a x a b a a⎛⎫+=⇒=-=- ⎪⎝⎭，所以220002220001=4MA NBy y y b k k x a x a x a a --⋅=⋅==+--， 故椭圆E的离心率c e a == (2)由题意知椭圆E的一个焦点为)，则椭圆E 的方程为2214x y +=，设直线l 方程为()()()1122,0,,,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立22225844014y x mx mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，则()()222212212Δ=6420441650585445m m m m m x x m x x ⎧--=->⇒<⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=⎪⎩，124=255S S S x x m m x y x m +∴=-=+=，，即4,55m m S ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由()350114505-+⋅=⇒⊥⇒⨯=-⇒=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭mt m RP RQ PQ RS PQ t m ， 由()()121200RP RQ RP RQ x x y t y t ⊥⇒⋅=⇒+--=，将1122,y x m y x m ==++代入可得212122()()()0x x m t x x m t +-++-=，()2224488805555-⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m m m ， 解得215m =<满足条件，所以1m =±， 故直线l 的方程为1y x =±.8．（2022·广东·模拟预测）已知动圆过点F （0，1），且与直线l ：1y =-相切． (1)求动圆圆心的轨迹E 的方程；(2)点P 一动点，过P 作曲线E 两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C ，D 两点，设点P 到直线AB 距离为d ．是否存在点P ，使得24AB CD d =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)24x y =； (2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义写出轨迹E 的方程；（2）设直线AB ：y ＝kx ＋m ，()()1122,,,A x y B x y ，联立抛物线方程应用韦达定理及PA PB ⊥求参数m ，进而写出切线PA ，PB 的方程并求交点P 的坐标，再应用点线距离公式、弦长公式、圆中弦长的求法求P 到直线AB 距离为d 、||AB 、||CD ，最后结合24AB CD d =求参数k ，判断存在性.(1)依题意，圆心的轨迹E 是以F (0,1)为焦点，l ：y ＝－1为准线的抛物线． 所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E 为x 2＝4y ． (2)依题意，直线AB 斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，()()1122,,,A x y B x y ．由24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx m --=，故12124,4x x k x x m +==-． 2Δ(4)160k m =-+>，由x 2＝4y ，得2xy '=，故切线 P A ，PB 的斜率分别为12,22PA PB x x k k == 由 P A ⊥PB ，得：1212412244PA PB x x x x mk k m -=⋅===-=-， 所以m ＝1，这说明直线 AB 过抛物线E 的焦点F ，则切线221122:,:2424x x x x PA y x PB y x =-=-．联立2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得：1222x x x k +==，即2P x k =， 则()222112111112121244444P x x x x x x x x x y k kx +=⋅-=-=-==-，即(2,1)P k -， 于是P 到直线AB ：kx －y ＋1＝0的距离2d ==()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+．设原点到直线kx －y ＋1＝0的距离为1d，则1d =，所以||CD ==因为2||||4AB CD d =，所以()(2241k +=， 化简整理得224344k k +=+，无解，所以满足条件2||||4AB CD d =的点P 不存在． 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线并联立抛物线，应用韦达定理求所设直线的参数值，再根据点线距离、弦长公式及圆中弦长、半径、弦心距关系，分别求出P 到直线AB 距离为d 、||AB 、||CD ，求参数判断存在性.9．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知椭圆C 222210x y a b a b+=>>：（）的离心率为12，，12F F ，分别为椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)过1F 的直线m 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，以O ，A ，B 三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)221 43x y+=；(2)存在，1x=-.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及椭圆过点⎭，列出,,a b c的方程组，求解即可；（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理以及OP OA OB=+，即可求得点P的坐标，根据其坐标满足椭圆方程，解方程即可确定存在k满足题意；当斜率不存在时，即可容易求得点P的坐标，根据题意，即可确定直线的方程.(1)椭圆C的离心率为12，12ca∴=2,a c b∴==，又由椭圆经过点⎭，223314a b∴+=，解得1,2,==c a b则椭圆C的方程为：22143x y+=(2)依题意()110F-，，当直线AB的斜率存在时，设直线m的方程为()1y k x=+，()11,A x y，()22,B x y，联立直线方程()1y k x=+与22143x y+=，整理得()22223484120k x k x k+++-=，则221212228412,3434k kx x x xk k--+==++，设()00,P x y，由四边形OAPB为平行四边形，得OP OA OB=+，则012012x x xy y y=+⎧⎨=+⎩，即22286,3434k kPk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，若点P落在椭圆C上，则2200143x y+=，即22222863434143k kk k⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得()42221612134k k k +=+，令()20k t t =≥，故上式等价于()22161234t t t +=+，解得34t =-（舍去）， 故斜率存在时，不存在直线满足题意；当直线AB 的斜率不存在时，直线m 的方程1x =-， 此时存在点()2,0P -在椭圆C 上.综上，存在直线m ：1x =-，使得点()2,0P -在在椭圆C 上 【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中定直线问题的处理；解决问题的关键是利用向量合理的转化四边形OAPB 为平行四边形，从而求得点P 的坐标，属中档题.10．（2022·山东菏泽·高三期末）已知Rt ABC 中，()1,0A -，()10B ,，90CAB ∠=︒，AC =，曲线E 过C 点，动点Р在E 上运动，且保持PA PB +的值不变. (1)求曲线E 的方程；(2)过点()1,0的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅的值为定值？若存在，求出点Q 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为定值716-【解析】 【分析】（1）根据条件可知动点P 的运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果. （2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算. (1)解：由题意，可得PA PB CA CB +=+=而2AB =<所以点Р的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为由2a =，1c =，得a =1b =，所以曲线E 的方程为2212x y +=.(2)当直线l 的斜率为不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t联立方程组22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消x 可得()222210m y my ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 可得12221m y y m +=-+，12212y y m =-+， 所以()()()()1212121211QM QN x t x t y y my t my t y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()2222222231121111222t m m m m t t t m m m ----=++-+-=+-+++. 要使上式为定值，则1232t -=-，解得54t =此时215712416QM QN ⎛⎫⋅=-+-=- ⎪⎝⎭当直线l 的斜率为0时，()M ，)N ，此时，716QM QN ⋅=-也符合. 所以，存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为定值716-.11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M 是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别为椭圆C 的上、下焦点，124F F =，当1290F MF ∠=︒，12F MF △的面积为5.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点2F 的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】(1)22195y x +=(2)存在，2y =- 【解析】【分析】（1）根据焦距可求出c ,再根据1290F MF ∠=以及12F MF △的面积可求出a ,b ，即得椭圆方程；（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据2OAF 与1OBF △的面积比值为5：7，得到相关等式1257x x =-，联立根与系数的关系式化简，即可得到结论. (1)由12422F F c c ==⇒=, 由12121215102F MF S MF MF MF MF =⋅=⇒⋅=△, 1290F MF ∠=,故221216MFMF +=, ∴()222121212236MF MF MF MF MF MF +=++⋅=,∴12623MF MF a a +==⇒=, ∴2225b a c ，即椭圆的标准方程为22195y x +=.(2)假设满足条件的直线l 存在，当直线l 的斜率不存在时，不合题意，不妨设直线l ：2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，显然120x x < ，联立222195y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225920250k x kx +--=，所以()()1221222015925259k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 因为S △OAF 2=12⋅c ⋅|x 1|，1212OBF S c x =⋅⋅，得21112257OAF OBF S x x S x x ==-=△△， 即1257x x =-（3），由（1），（3），得227059kx k =+ （4），将（1）（4）代入（3）得2115k k =⇒=所以直线l 的方程为2y =-， 故存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △的面积比值为5：7. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.12．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆()222:11x C y a a+=>的左右焦点分别是1F ，2F ，右顶点和上顶点分别为A ，B ，2BF A △的面积为32(1)求椭圆C 的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角BMN △，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2219x y += (2)存在，有三个 【解析】 【分析】（1）由()()2113222BF ASa cb ac =-=-=3a c -=- （2）设BM 边所在直线的方程为1y kx =+，联立直线与椭圆的方程，解出点M 的坐标，然后可得BM ，用1k-代替BM 中的k 可得BN ，然后由BM = BN求解即可. (1)由题意得 2221,b a c =-= ①因为()()2113222BF ASa cb ac =-=-=，所以3a c -=-②由①②得3a c +=+3,a c ==所以椭圆C 方程为2219x y +=；(2)假设能构成等腰直角BMN △，其中B (0， 1)，由题意可知，直角边,BM BN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BM 边所在直线的方程为1y kx =+(不妨设0k >)联立直线方程和椭圆方程得：22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2291180k x kx ++=2222181818,,1919191M k k k x M k k k ⎛⎫∴=-∴--+ ⎪+++⎝⎭BM ∴=， 用1k -代替上式中的k，得21BN k ==+ 由BM BN ==， 即329910k k k -+-=，()()2181014k k k k k ∴--+=∴==或故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.13．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=，证明：存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分析可得2a c =，b =，利用三角形的面积公式可求得c 的值，即可得出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ．对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l x ⊥轴时，直接计算出原点到直线l 的距离；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=可得出k 、m 所满足的等式，再计算出原点到直线l 的距离，即可得出结论. (1)解：设椭圆C 的半焦距为c ，因为12c a=，所以2a c =，又22223b a c c =-=，所以b =． 由题意知()12a cb -⋅=1c =，所以2a =，b = 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．(2)证明：设()11,A x y 、()22,B x y ．①若直线l 与x 轴垂直，不妨设点A 在第一象限，由对称性及0OA OB ⋅=可知OA 所在直线方程为y x =，联立{y =x 3x 2+4y 2=12x >0，可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点A ⎝⎭， 此时直线l的方程为x =，则原点O 到直线l的距离为d = ②若直线l 不与x 轴垂直，设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222226444341248430k m k m m k ∆=-+-=-++>，由韦达定理得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+． 又0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，所以()()2122412043m kx m kx m k -+++=+，()22212122412043m k x x km x x m k -++++=+， 222222241241280434343m m km k km m k k k ---+⋅+⋅+=+++，整理得2212127k m +=，满足0∆>．所以原点到直线l的距离为d ==，故存在定点()0,0P 到l（定值）． 综上所述，存在定点()0,0P ，使得P 到直线l 的距离为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.14．（2022·湖北·荆州中学高三期末）如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x yl +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB △的面积S ；(2)若⊥OD AB ，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值. 【答案】(1)4； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点()P m n ,，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由⊥OD AB结合直角三角形的几何性质。

圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 。

（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k y k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=-② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=-- 22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b = ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ ()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=+00QA y QB y ==+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅= ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得：2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CDλ+为常数，则204= 5λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a ==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴=22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。

圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。

（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴==椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭当k =时，):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，322P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+=（2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-= 2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ⋅是定值（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。

ʏ广东省佛山市顺德区杏坛中学 张 鹏圆锥曲线中的存在性问题一直是高考命题的热点问题㊂该类问题具有较强的综合性,问题的求解对分析问题㊁逻辑推理㊁运算求解等能力要求都比较高㊂文章通过归纳梳理,结合实例,探究圆锥曲线中存在性问题的求解思路,目的是帮助同学们提高备考的针对性和有效性㊂一㊁是否存在这样的 点例1 已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0),离心率为2,直线x =a2c 与C 的一条渐近线交于点P ,且P F =3㊂(1)求双曲线C 的方程㊂(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使得øQ F M =ø2Q M F 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(过程略)(2)假设存在点M (t ,0)满足题设条件㊂由(1)知双曲线C 的右焦点为F (2,0),设Q (x 0,y 0)(x 0ȡ1)为双曲线C 右支上一点,则x 2-y 23=1㊂若x 0=2,则y 0=ʃ3㊂因为øQ F M =ø2Q M F =90ʎ,所以øQ M F =45ʎ,于是M F =Q F =|y 0|=3,所以t =-1,即M (-1,0)㊂若x 0ʂ2,则t a nøQ F M =-k Q F =-y 0x 0-2,t a n øQ M F =k Q M =y 0x 0-t㊂因为øQ F M =ø2Q M F ,所以-y 0x 0-2=2ˑy 0x 0-t1-y 0x 0-t2㊂当y 0ʂ2时,上式化简可得3x 20-y 20-(4+4t )x 0+4t +t 2=0,又x 20=y 23=1,即3x 20-y 20=3,代入得-(4+4t )x 0+3+4t +t 2=0,所以-(4+4t )=0,3+4t +t 2=0,解得t =-1,即M (-1,0)㊂当y 0=0时,t =-1,即M (-1,0)也满足øQ F M =ø2Q M F ㊂综上可得,满足条件的点M 存在,其坐标为(-1,0)㊂评注:本题求解的关键是:假设存在点M (t ,0)满足题设条件后进行分类讨论,若x 0=2时,则y 0=ʃ3,由øQ F M =ø2Q M F =90ʎ,得øQ M F =45ʎ,结合M F =Q F =|y 0|=3,得t =-1,即M (-1,0)㊂若x 0ʂ2,则t a n øQ F M =-k Q F =-y 0x 0-2,t a n øQ M F =k Q M =y 0x 0-t,由øQ F M =ø2Q M F ,得-y 0x 0-2=2ˑy 0x 0-t1-y 0x 0-t2㊂当y 0ʂ2时,化简求得t =-1,即M (-1,0);当y 0=0时,t =-1,也满足øQ F M =ø2Q M F ㊂例2 已知圆O :x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ,A 22,0 ,M 为圆O 上一动点,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点R 满足N R ң=12NM ң㊂(1)求点R 的轨迹方程㊂(2)设点R 的轨迹为曲线C ,直线x =m y +1交C 于P ,Q 两点,直线A 1P 与A 2Q 交于点S ,试问:是否存在一个定点T ,当m 变化时,使得әA 2T S 为等腰三角形㊂解析:(1)设点M x 0,y 0在圆x 2+y 2=4上,故有x 20+y 20=4,设R x ,y,由N R ң=31知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.12NM ң,可得x =x 0,y =12y 0,即x 0=x ,y 0=2y ,代入x 20+y 20=4,可得x 2+2y2=4,化简得x 24+y 2=1,故点R 的轨迹方程为x 24+y 2=1㊂(2)根据题意设直线l 的方程为x =m y+1,取m =0,可得P 1,32 ,Q 1,-32,所以直线A 1P 的方程为y =36x +33,直线A 2Q 的方程为y =32x -3,联立两个直线方程,可得交点为S 14,3㊂若P 1,-32 ,Q 1,32,由对称性可知交点S 24,-3 ,若点S 在同一直线上,则直线只能为l :x =4㊂以下证明:对任意的m ,直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l :x =4上㊂联立x =m y +1,x 24+y 2=1,消去x 整理得m 2+4 y 2+2m y -3=0㊂设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2,则y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4㊂设A 1P 与l 交于点S 04,y 0,由y 04+2=y 1x 1+2,可得y 0=6y 1x 1+2㊂设A 2Q 与l 交于点S 04,y 0' ,由y 0'4-2=y 2x 2-2,可得y 0'=2y 2x 2-2,故y 0-y 0'=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1m y 2-1 -2y 2m y 1+3 x 1+2 x 2-2=4m y 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2=0,所以y 0=y 0',即S 0与S 0'重合,所以当m 变化时,点S 均在直线l :x =4上㊂因为A 22,0 ,S 4,y,所以要使әA 2T S 恒为等腰三角形,只需x =4为线段A 2T 的垂直平分线,由对称性知点T 6,0㊂故存在定点T 6,0满足条件㊂评注:本题的第(2)问首先判断斜率不存在的情况,再分析斜率存在的情况,设直线l 的方程为x =m y +1,与椭圆方程联立得m 2+4 y 2+2m y -3=0,y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4,再根据әA 2T S 恒为等腰三角形,只需x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可,由对称性知点T 6,0㊂二㊁是否存在这样的 常数例3 在平面直角坐标系x O y 中,已知点A (-2,2),B (2,2),直线A D ,B D 交于D ,且它们的斜率满足k A D -k B D =-2㊂(1)求点D 的轨迹Γ的方程㊂(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线Γ于P ,Q 两点,直线O P 与O Q 分别交直线y =-1于点M ,N ㊂试问:是否存在常数λ,使得S әO P Q =λS әO MN 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)设D (x ,y ),由A (-2,2),B (2,2),得k A D =y -2x +2,k B D =y -2x -2,所以k A D -k B D =y -2x +2-y -2x -2=-2,整理得x 2=2y (x ʂʃ2)㊂(2)存在常数λ=4,使得S әO P Q =λS әO MN ㊂证明如下:由题意,直线l 的斜率存在,且过点(0,2),设直线l 的方程为y =k x +2,P (x 1,x 2),Q (x 2,y 2),联立y =k x +2,x 2=2y,消去y 整理得x 2-2k x -4=0,所以x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-4㊂|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4k 2+16=2k 2+4㊂所以S әO P Q =12㊃2㊃|x 1-x 2|=2k 2+4㊂直线O P 的方程为y =y 1x 1x ,取y =-1,41 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.得x M =-x 1y 1,直线O Q 的方程为y =y 2x 2x ,取y =-1,得x N =-x 2y 2㊂所以|x M -x N |=x 2y 2-x 1y 1=x 2y 1-x 1y 2y 1y 2=x 2(k x 1+2)-x 1(k x 2+2)(k x 1+2)(k x 2+2)=2(x 2-x 1)k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=4k 2+44=k 2+4㊂所以S әO MN =12㊃1㊃|x M -x N |=k 2+42,所以S әO P Q =4S әO MN ㊂故存在常数λ=4,使得S әO P Q =λS әO MN ㊂评注:本题首先由题意设直线l 的方程为y =k x +2,联立直线l 与点D 的轨迹方程,结合韦达定理求出әO P Q 的面积,再设点P (x 1,x 2),Q (x 2,y 2),推出点M ,N 的坐标,然后求出әO MN 的面积,最后根据两个面积的关系可确定λ的值㊂三㊁是否存在这样的 直线例4 已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A (-2,0),离心率e =32,过点A 的直线l 与椭圆交于点B ㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)设A B 的中点为P ,射线P O 与椭圆C交于点M ㊂试问:是否存在直线l ,使得әA P M 的面积是әP O B 的面积的3倍若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)椭圆C 的方程为x 24+y 2=1㊂(过程略)(2)由题意可知直线l 的斜率存在,故设直线l :y =k x +2k ,联立y =k x +2k ,x 24+y 2=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),所以x A +x B =-16k 21+4k 2,x A x B =16k 2-41+4k 2,所以x P =-8k 21+4k2,y P =2k 1+4k 2,即P -8k 21+4k 2,2k1+4k2,故k O P =2k -8k2=-14k ,所以l O M :y =-14k x ㊂联立y =-14kx ,x 24+y 2=1,解得x 2M=16k21+4k2,y 2M =11+4k 2,所以|O M |2=16k 2+11+4k 2,|O P |2=64k 4+4k2(1+4k 2)2,由øM P A =øO P B ,|A P |=|B P |,且S әA M P =3S әO P B ,即12|A P |㊃|M P |s i n øM P A =3㊃12|O P |㊃|B P |㊃s i n øO P B ,即|M P |=3|O P |,所以|O P |=14|O M |,即|O P |2=|O M |216,所以16k 21+4k2+11+4k 2=16㊃4k 2(16k 2+1)(1+4k 2)2,解得k =ʃ1530,所以直线l 的方程为y =1530x +1515或y =-1530x -1515㊂评注:本题首先设直线l :y =k x +2x ,联立直线与椭圆方程,求出点P 的坐标及直线O M ,再将直线O M 与椭圆方程联立,求出x 2M ,y 2M ,得出|O M |2,再由S әA M P =3S әO P B ,得|M P |=3|O P |,即|O P |=14|O M |,最后代入方程求解即可㊂圆锥曲线中存在性问题的一般求解思路是:首先假设存在,然后充分利用这一假设列相关方程,最后通过化简㊁解方程,若方程有解,则假设成立,若方程无解,则假设不成立㊂设问形式比较直接,但不同的试题所结合的元素也不尽相同,因此导致试题千变万化,所以建议大家在平时的复习备考过程中,多分析,勤动手,多反思,体会试题的本质,掌握求解方法,积累解题活动经验,从而提高解题能力㊂(责任编辑 王福华)51知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究高中生在学习数学时，经常会遇到许多困难和挑战，尤其是在学习曲线和几何图形的时候。

圆锥曲线是数学中的一个重要部分，许多学生在学习圆锥曲线时会遇到困难。

本文将探讨高中生在学习圆锥曲线时的困难及对策，并提出一些解决困难的建议。

一、高中生在学习圆锥曲线时的困难1. 抽象性：圆锥曲线是一种抽象的数学概念，它并不是直观的物体，因此对于许多高中生来说，很难理解它的意义和性质。

2. 数学基础不扎实：学习圆锥曲线需要对数学的基本知识有很好的理解和掌握，包括代数、几何和三角学等方面的知识。

许多学生在这些方面并不扎实，导致他们在学习圆锥曲线时感到困难。

3. 缺乏实际应用：在日常生活中，学生很难看到圆锥曲线的实际应用，这也使得他们对这一概念的理解产生困难。

4. 数学推理能力不足：学习圆锥曲线需要具备一定的数学推理能力，能够从已知信息推断出未知信息。

许多学生在这方面仍然不够成熟，导致他们在学习圆锥曲线时遇到困难。

二、对策研究1. 创设情境：为了帮助学生理解圆锥曲线的抽象概念，可以设计一些与现实生活相关的情境，让学生通过观察、实验和讨论来理解圆锥曲线的性质和意义。

2. 强化基础知识：学校应该在教学中重视数学基础知识的教育，如代数、几何和三角学等方面的知识，帮助学生夯实基础，为学习圆锥曲线打下坚实的基础。

3. 引导学生思考：教师在教学中可以引导学生思考圆锥曲线在现实生活中的应用，让学生通过实际问题的解决来理解圆锥曲线的意义和作用。

4. 提高数学推理能力：教师可以通过一些有趣的数学推理题目来提高学生的数学推理能力，让他们在解决问题的过程中提高对圆锥曲线的理解。

5. 多种教学手段：在教学中尽量采用多种教学手段，如实物演示、图形展示、数学软件等，帮助学生通过多种角度来理解圆锥曲线的概念。

三、解决困难的建议1. 个性化教学：教师应根据学生的不同程度和学习特点，采用个性化教学方法，满足学生的学习需求，提高学生的学习兴趣和主动性。