(完整版)圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线的定点问题类型一 直线过定点问题例1. 双曲线)0(13222>=-a y ax 的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12,抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．解析：（Ⅰ）设()()2,00F c c >，则23c a =+令x c =代入C 的方程有：3A y a= ∴1216322122F ABA a S c y a∆+=⨯⨯== ∴1a =，故12pa ==，即2p = ∴抛物线E 的方称为：24y x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当24t ≠时，22244444MNt tt k t t t +==--， ∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414ty x t =-- ∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0 即证直线MN 过定点． 跟踪训练1. （泰安市2019届）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程； （2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，∴点在椭圆上，∴，① 又，∴，∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，∴，，∵，∵都在轴上方．且，∴，∴，即，整理可得，∴，即，整理可得，∴直线为，∴直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点， O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标．解析：（Ⅰ）由曲线22:1243x y Γ-=，化为标准方程可得2211344x y -=， 所以曲线22:11344x y Γ-=是焦点在x 轴上的双曲线，其中2213,44a b ==，故2221c a b =+=， Γ的焦点坐标分别为()()121,01,0F F -、，因为抛物线的焦点坐标为,0,(0)2p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由题意知12p=，所以2p =，即抛物线的方程为24y x =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设()1,P m -，显然0m ≠．故2,4m M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而直线OP 的方程为y mx =-,联立直线与抛物线方程得24{ y x y mx ==-，解得244,N m m ⎛⎫-⎪⎝⎭①当2244m m =，即2m =±时，直线MN 的方程为1x =，②当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线MN 的方程为22444m m y m x m ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，整理得MN的方程为()2414my x m =--，此时直线恒过定点()1,0G ， ()1,0Q 也在直线MN 的方程为1x =上，故直线MN 的方程恒过定点()1,0G ．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点P 到其焦点F 的距离为32，以P 为圆心且与抛物线准线l 相切的圆恰好过原点O ．点A 是l 与x 轴的交点， ,M N 两点在抛物线上且直线MN 过A 点，过M 点及()1,1B -的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线QN 过一定点，并求出该点坐标． 解析：（1）依题意得23||||==PF PO ,则△POF 是等腰三角形，所以点P 的横坐标为x=4p,由抛物线的焦半径公式：223242||=⇒=+=+=p p p p x PF 故抛物线的方程为x y 42=（2）证明：如图所示，设AM 的方程为()1y k x =+，代入抛物线的方程，可得2440ky y k -+=．设()11,M x y ， ()22,N x y ， ()33,Q x y ，则124y y =，由1313134MQ y y k x x y y -==-+，直线MB 的方程为()13411y x y y +=-+，∴()1113411y x y y +=-+，可得31341y y y +=-+，∴323441y y y +=-+， ∴()2323440y y y y +++=．① 直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+．可得()232340y y y y y x -++=，②由①②可得1x =， 4y =-，∴直线QN 过定点()1,4-．4．如图，已知()11,0F -， ()21,0F 是椭圆C 的左右焦点， B 为椭圆C 的上顶点，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与y 轴的交点为M ， O 为坐标原点，且2PM F M =， 34OM =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于S ， T 两点（异于点B ），证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标．解析：（1）由题意可得MO 为12F PF ∆的中位线，从而可得2MO PF P ，故212PF F F ⊥，且22322b PF OM a ===，然后根据222a b c =+和1c =可得24a =， 23b =，由此可得椭圆的方程13422=+y x ． （2）解法一：设),(),,(2211y x T y x S ，直线BS: 3+=kx y联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1343y 22y x kx 整理得038)34(22=++kx x k 解得83kx =或0x =（舍去）．∴183kx =，以1k -代替上式中的k ，可得22838343k k x k=-=+ 由题意可得，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线''B S ， 则得到的直线''S T 与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，该定点一定是直线''S T 与ST 的交点，故该点必在y 轴上．设该点坐标()0,t ，则有121121t y y y x x x --=--， ∴121221y x x y t x x -=-(1212211kx x x x k x x ⎛+-- ⎝⎭=-， 将12,x x的值代入上式，化简得t = ∴直线ST经过定点0,7⎛- ⎝⎭． 解法二：化齐次式。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。

第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。

在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。

此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。

一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。

应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。

圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 。

（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k y k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=-② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=-- 22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b = ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ ()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=+00QA y QB y ==+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅= ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得：2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CDλ+为常数，则204= 5λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a ==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴=22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式考查；对这类问题，若存在，需要找出来，若不存在，需说明理由，其解法有：一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发生矛盾，则结论不成立。

1.（2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为， 且过点31(,)22A .（1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在k 满足条件2. 【2015届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学（理）】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）(-∞，-7]∪[7，+∞)3. （河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点A (-2,0),B (2,0),直线P A 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)设M ,N 是曲线C 上任意两点,且OM ON OM ON -=+，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠(2) 存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，其方程为22127x y +=4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）2λ=5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB uur ＝1，｜OF uu u r｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，方程为43y x =-6. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M . (1),求M 的方程； (2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221189x y +=（2）y x y x =+=-7. 直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。

第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) __________________________ 热点分类突破 __________________________-典例研撕 各吓击區-热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1) 分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2) 注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3) “先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明 确的方向.例1已知P (0,2)是椭圆C ： a 2+b 2 =l (a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e=g.(1)求椭圆的方程；⑵过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A , B 两点，若*与12的斜率之和 为一4,则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.厂b = 2 ,解(1)由题意可得c =¥，a 3—2 - b 2 + c 2 ,解得a -眉,b-2 , c -辭,・•・椭圆的方程为手+芍-1. ⑵当直线AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y - kx + t ， A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2)，y-kx + t ,联立,x 2 y 2消去y 并整理， X 2 + y 2 — 1€ 6 4' 可得(3k + 2)x 2 + 6ktx + 3t 2 - 12-0 ,- 36(kt )2 - 4 x (3k 2 + 2)⑶2 - 12)>0 ,即24(6k2－t2＋4)>0，则x i+x2_^^^- ,x i x2_3^-121 23k2+2 1 23k2+ 2由l1与l2的斜率之和为-4 , 可得y!-+ y2-_-4,x1 x2又y i = kx1 + t, y2二kx2+1 ,y1- 2 _ y2- 2 _ kx1+1 - 2 _ kx2+1 - 2 . + _ +x1 x2 x1 x2- 6kt(t - 2)・----(t - 2)(x1+ x2) 3k2 + 2_2k+1——忆 _2k+ _- 4 ,3t2 - 12x1x23k2＋2化简可得t二-k - 2 ,.*.y _ kx - k - 2 _ k(x - 1) - 2 ,•°•直线AB经过定点(1 , - 2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x _ m , A(m , yj , B(m , y2),y i-2,y2-2_y i+y2-4,m m m又点A， B 均在椭圆上，. A ， B 关于x 轴对称，. y i+ y2_ 0，. m_ i，故直线AB的方程为x_1 ,也过点(1 ,-2),综上直线AB经过定点，定点为(1 , - 2).跟踪演练1 (2019・攀枝花模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值；(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A, B(均与P不重合)，直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解 ⑴由抛物线定义可知I PF I 二4 f 2）二5，解得P 二2 ,故抛物线C 的方程为y 2二4x ,将P （4 , t ）（t >0）代入抛物线方程解得t 二4.⑵以MN 为直径的圆一定过点F ,理由如下：设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2），设直线AB 的方程为x 二my + l （m 丘R ），代入抛物线C ：y 2 = 4x , 化简整理得y 2 - 4my -4 = 0,环2 二-4，由⑴知P （4,4）,所以直线PA 的方程为y -4二乩三(x -4)二丄三(x -4), x l - 4 my l - 3令x =-1得y 二的-5)儿+ 8, my l - 3__ - (4m - + 8、即 M - 1 , ------ 丛一,€ m y 1 -3 丿 同理可得j - 1 ,的-5汕+ 8€ m y 2 - 3 丿(4m - 5)y〔 + 8 (4m - 5)y 2 + 8 (2m - D 2y 1y 2 + (8m - 10)(y 1+y 2) + 16m 2y 1y 2- 3m (y 1+ y 2)+ 9-4(2m - |,2 + 4m (8m - 10) + 16-4m 2 - 3m ・4m + 916m 2- 9= 二-1 ,- 16m 2+ 9:.MF 丄NF , 故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF ・NF=0).热点二 定值问题 ：'k MF k NF2(my 1 - 3) 2(my 2 - 3)求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2已知椭圆C：02+b2=l(a>b>O)经过点(0, V3),离心率为2,左、右焦点分别为厲(一c,0),F2(c,0).(1)求椭圆C的方程；3(2)P, N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为一4证明：M, N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0，间，所以b =\：3 , 又因为e二2,所以V，2 a 2又C2 = a2~ b2 ,解得a 二 2 , b 二护, 所以椭圆C的方程为》+等二1.⑵证明设P , M , N三点坐标分别为(x p, y p) , (x M, y M) , (x N, y N), 设直线PM , PN斜率分别为k i, k2, 则直线pM方程为y~y p = k1(x - x P),x2+y2 二 1 由方程组,4 3' 消去y,得、y-y P二k1…x - x P(3 + 4k#)x2 - 8k1(k1x p- y p)x + 4k x p - 8k1x p y p+ 4y p - 12 二0 , 由根与系数的关系可得x +x二贴伙1Xp - yp),M p3+ 4k21故x_8k1(k1x p-y p) X_ 4k2x p- 8k”- 3x p,M_ 3 + 4* p_ 3 + 4k2 '从而 X N + X M =0，即 M ，N 两点的横坐标之和为常数 0.跟踪演练2 (2019.四川百校冲刺卷)已知椭圆C ： X 2+y 2=l 的左、右焦点分别为F ], F 2,点 P (m , n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l ： x =4的距离为d 证明：韵为定值；⑵若0V m V 2, A , B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合)，且直线PA , PB 的斜率互为 相反数，求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知，得a 2 = 4 , b 2 = 3 , :.C 2 = a 2 - b 2=1 ,即 F 1(- 1,0)， F 2(1,0).(2)解 当0 < m < 2时，则n M 0 ,直线PA , PB 的斜率一定存在.同理可得S + Xp 二 sag 一 y p )3＋4k 22.d…l PF 2l 2 为定值.2l m - 4l设 A (X 1, y 1) , B (x 2 , y 2)，直线 PA 的斜率为 k ,则直线PA 的方程为y - n 二k (x - m ),即y-kx- km + n ,与椭圆C 的方程3x 2 + 4y 2二12 , 联立组成方程组，消去y ,整理得，(3 + 4k 2)x 2 - 8k (km - n )x + 4(km - n )2 - 12-0.工是4(km - n )2 - 12 于疋 x 二 ',y - kx, - km + n . 1 (3 + 4k 2)m I II 1根据直线PB 的斜率为-k ，将上式中的k 用-k 代替,4( - km - n )2 - 12 4(km + n )2 - 12 得x 二 - 2 [3 + 4( - k )2]m (3 + 4k 2)my 2-- kx 2+ km + n .于是 y 1 - y 2 二(kx 1 - km + n ) - (- kx 2 + km + n )- k (x 1+ x 2)- 2km(3 + 4k 2)m (3 + 4k 2)m 8(k 2m 2 + n 2)- 24 - 2m 2(3 + 4k 2) k •一(3 + 4k 2)m8n 2- 24- 6m 2注意到 3m 2+ 4n 2- 12，得 12- 4n 2- 3m 2，(3 + 4k 2)m k ，4(km - n )2 -12x 1 - x 2 -II 2 (3 + 4k 2)m 由根与系数的关系，得m ・x i4(km - n )2 - 123 + 4k 2 -k 4(km - n )2 - 12 4(km + n )2_ 2km4(km + n )2- 12 (3 + 4k 2)m 4[(km - n )2 - (km + n )2] _ - 16kmn(3 + 4k 2)m(3 + 4k 2)m 因此，直线AB 的斜率为J y^2 x 1 -x 2_ (8n2 - 24 - 6m2)k－16kmn_ 3m2- 4n2+ 12 _ 6m2 _3m_ 寸9- 3m8mn 8mn 4n 2n热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3 (2019•乐山、峨眉山联考)已知椭圆G：a2+b2=1(a>b>0)过点人(1，和点B(0，T)・⑴求椭圆G的方程；(2)设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M, N,记线段MN的中点为P,是否存在实数m,使得I BM I = I BN I?若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.解(1)椭圆G：a+b2_1(a>b>0)过点A,1,普…和点B(0，-1)，:.b_1 ,由丄+ — _ 1，解得。

圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。

（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭当k =):1l y x =-，322P ⎛⎫⎪⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443ky k x k =+=+01034y k x k ∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nk y k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤ （2）当12e =时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14B F A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==:::1:1a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=00QA y QB y =-=+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c AP 为直径的圆经过F F A F P∴⊥ 0FA FP ∴⋅=()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C（1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,22F F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得： 2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++ ,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=的距离为5，离心率为5，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k+∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CD λ+为常数，则204+= λ∴=例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB （1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径223b AB a ∴==,a b ∴==22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。

探究圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，各种解得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了解题方法在本章题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2010年高考对本讲的考察，仍将以以下两类题型为主1．求曲线（或轨迹）的方程。

对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。

这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。

今天，我就圆锥曲线中的存在性问题从五个方面给大家做一个分享，也希望能给大家带来一点点的启示。

一、是否存在这样的常数 例1．（2007宁夏理19题）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得k <或2k >．即k的取值范围为222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，， 由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A BAB =-，，． 所以OP OQ +与AB共线等价于1212)x x y y +=+， 将②③代入上式，解得2k =． 由（Ⅰ）知k <k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．练习2.直线1axy与曲线2221x y 相交于P 、Q 两点。