下载文档原格式
浅谈几种圆锥曲线问题的解法纵观近几年的高考试题，圆锥曲线内容在试卷中所占的比例一直稳定在15%左右，以圆锥曲线为载体在知识网络的文汇点设计问题也是近年高考的一大特点，如与不等式、函数、数列等知识的综合对范围问题、最值问题、存在性问题的考查等等，这类问题内涵丰富且极具综合性，集中体现了函数方程，等价转换，数形结合和分类讨论的数学思想，以及配方，换元，构造，待定系数等数学方法，是培养与考查学生数学综合能力的绝佳素材，也是数学中的一个难点。
本文就几种常见问题的研究方法进行探究。
一、存在性问题此类问题的条件常以向量形式出现，或题目中的条件可以向量形式描述。
理解向量条件表达的几何意义。
用好向量的基本运算是解决此类问题的关键。
二、范围问题圆锥曲线中范围问题的求解比较难，原因有三：1.由于这类问题本身所固有的结构特征，使得数量关系常隐含于几何图形之中，导致了解题入手难。
2.由于问题的解决始终伴随着大量的运算与推理，导致了解题深入难。
3.由于初学者未能掌握这类问题的研究方法，导致了解题调控难。
下面我们结合例题来探索范围问题的研究方法。
例3的解法可概括为：先寻求问题中涉及到的基本量及其内在联系，进而化归为基本量的代数问题（如议程、不等式、函数等），最后运用代数知识、方法解决，我们把这种研究方法称为基本量法。
运用基本量法研究范围问题，优点有二：其一，通过基本量的寻求与分析，能对问题的求解目标及解题思路作出清晰的回答，有利于增强学生的解题信心，激发学生的学习兴趣。
其二，可将问题统一化归为基本量的代数问题，使学生在解决问题之前就能对问题的解决方法、步骤作为较为准确的预见，有利于培养学生的主体意识与探索精神。
解决范围问题的解法实质，即先寻求问题中涉及到的基本量，进而化归为基本量的方程——不等式混合组问题，利用议程消去某些变量，再代入不等式中，即可求得指定变量的取值范围。
圆锥曲线中范围问题的特殊性主要表现在两个方面：一是基本量的确定；二是方程——不等式混合组的建立。
专题16圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线 ：221412x y ，F 为左焦点，P 为直线1x 上一动点，Q 为线段PF 与 的交点．定义：||()||FP d P FQ ．(1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P ，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成 的函数并求其定义域；(3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n ．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b （a >b >0）的离心率为2，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点 2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k 时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 交 于,A B两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆 上存在点C 使得||||AC BC ，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程．4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A ， 22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my 交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F ：，，是左、右焦点．设M 是直线 2l x t t ：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆 于 0N N y ．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58，，求四边形2PMNF 的面积；(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF ，求2tan PNF 的值；(3)作N 关于原点的对称点N ，是否存在直线2F N ，使得1F N 上的任一点到2F N若存在，求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC 中， 2,0B ， 2,0C ，动点A满足AB 90ABC ，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线 x m m 交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，①求证：123k k k 是定值．②若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k 若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知△ABC 的顶点 4,0A ， 4,0B ，满足：9tan tan 16A B ．(1)记点C 的轨迹为曲线 ，求 的轨迹方程；(2)过点 0,2M 且斜率为k 的直线l 与 相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A ，离心率为12，过点 3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t 与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F ，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t 与抛物线22(0)y px p 相交于,P Q 两点，射线1F P ，1FQ 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D 时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF的面积为12，且椭圆的离心率为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为2的椭圆 2222:10x y M a b a b 的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x 于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且퐴⋅퐴=36.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k 为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k 的值；若不存在，请说明理由.12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP的斜率之积等于13．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t 与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设 ,G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x 交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b （0a b ）过点，直线l ：y x m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m 时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标；(2)若||||FA FD ，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ；①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线 2222:10,0x y a b a b的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且12||||AF AF 2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线 交于P ，Q两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证： 1221214x y x y y y ；(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出．16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p 的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点02,Q y ，且3QF ，过点()(,00)P a a （不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数 使1 OAB S S ，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ， 11,A x y ， 22,C x y 为 上不同的两点，且122x x ，31,2B．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，曲线C 上有一点 0,Q x p 满足2QF .(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AMANBM BN 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于 1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C的离心率为 为C 上一点.(1)求证： 1221212x y x y y y ；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p 的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF .(1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t 分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k .（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数 ，使得OAB ABCD S S 梯形△，试求实数 的取值范围.。
圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,253(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME=∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x 轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,2 2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t≥2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P，使得B 恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值13(2023·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1,2 2，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．14(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.15(2023·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，AB =3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k k ≠0 时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F )，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0 ，B 1,32 .直线x =t (不经过点B )与椭圆E 交于M ,N 两点，Q 1,0 ，直线MQ 与椭圆E交于另一点C ，点P 满足QP ⋅NC=0，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.16(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.17(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．18(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点F 1,0 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到F 1,0 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1MQ +1MR为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.19(2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e=22，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若A a,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且DE= 143．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．。
第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高中圆锥曲线教学现状分析及其研究引言圆锥曲线作为高中数学的重要内容之一，在数学教学中占有重要地位。
然而，目前高中圆锥曲线教学存在一些问题，例如学生对于圆锥曲线的理解不深入，学习兴趣不高等。
因此，有必要对高中圆锥曲线教学现状进行分析，并进行相关研究以提高圆锥曲线教学的质量。
圆锥曲线教学现状分析学生对圆锥曲线理解不深入目前，学生对圆锥曲线的理解常常停留在书本上的定义层面，对于其几何、代数以及应用方面的认识不够深入。
在解题过程中，学生经常依赖记忆和机械运算，缺乏对问题的整体把握和归纳总结能力。
高中教师教学方法不够灵活许多高中教师在圆锥曲线教学中仍然采用传统的教学方法，如黑板讲解、例题讲解等，缺乏灵活多样的教学手段。
教师往往只关注内容的传递，忽视了培养学生的创新思维和问题解决能力。
学生学习兴趣不高由于传统的教学方法和学习方式，学生对于圆锥曲线的学习兴趣常常不高。
对于抽象的数学知识，学生缺乏实际应用的感受，导致学习的动力不足。
高中圆锥曲线教学研究为了改善上述现状，需要从教学内容、教学方法以及教师培养等方面进行研究。
教学内容方面的研究应该根据学生的学习能力和实际需求，对圆锥曲线的内容进行适当调整。
可以引入一些实际应用的例子，让学生在解决实际问题的过程中体会到圆锥曲线的重要性与实用性。
教学方法方面的研究在教学方法方面，可以采用更多样化的教学手段，如小组讨论、展示、探究等，激发学生的学习兴趣和主动性。
同时，也应该注重启发式教学，引导学生主动思考和独立解决问题的能力。
教师培养方面的研究教师是圆锥曲线教学中的重要角色，应该注重教师的专业培训和发展。
教师需要不断提高自己的教学能力和掌握新的教学方法，以更好地引导学生。
此外，还应该鼓励教师参与教学研究，不断完善教学内容和教学方法。
结论高中圆锥曲线教学现状分析表明，目前存在学生对圆锥曲线理解不深入、教师教学方法不够灵活和学生学习兴趣不高等问题。
为了提高圆锥曲线教学的质量和效果，需要在教学内容、教学方法以及教师培养等方面进行深入研究和改进。
圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式考查；对这类问题，若存在，需要找出来，若不存在，需说明理由，其解法有：一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发生矛盾，则结论不成立。
1.（2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为， 且过点31(,)22A .（1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在k 满足条件2. 【2015届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学（理）】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）(-∞，-7]∪[7，+∞)3. （河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点A (-2,0),B (2,0),直线P A 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)设M ,N 是曲线C 上任意两点,且OM ON OM ON -=+，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠(2) 存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，其方程为22127x y +=4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）2λ=5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB uur ＝1，｜OF uu u r｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，方程为43y x =-6. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M . (1),求M 的方程； (2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221189x y +=（2）y x y x =+=-7. 直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) __________________________ 热点分类突破 __________________________-典例研撕 各吓击區-热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1) 分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2) 注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3) “先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明 确的方向.例1已知P (0,2)是椭圆C ： a 2+b 2 =l (a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e=g.(1)求椭圆的方程；⑵过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A , B 两点，若*与12的斜率之和 为一4,则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.厂b = 2 ,解(1)由题意可得c =¥，a 3—2 - b 2 + c 2 ,解得a -眉,b-2 , c -辭,・•・椭圆的方程为手+芍-1. ⑵当直线AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y - kx + t ， A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2)，y-kx + t ,联立,x 2 y 2消去y 并整理， X 2 + y 2 — 1€ 6 4' 可得(3k + 2)x 2 + 6ktx + 3t 2 - 12-0 ,- 36(kt )2 - 4 x (3k 2 + 2)⑶2 - 12)>0 ,即24(6k2－t2＋4)>0，则x i+x2_^^^- ,x i x2_3^-121 23k2+2 1 23k2+ 2由l1与l2的斜率之和为-4 , 可得y!-+ y2-_-4,x1 x2又y i = kx1 + t, y2二kx2+1 ,y1- 2 _ y2- 2 _ kx1+1 - 2 _ kx2+1 - 2 . + _ +x1 x2 x1 x2- 6kt(t - 2)・----(t - 2)(x1+ x2) 3k2 + 2_2k+1——忆 _2k+ _- 4 ,3t2 - 12x1x23k2＋2化简可得t二-k - 2 ,.*.y _ kx - k - 2 _ k(x - 1) - 2 ,•°•直线AB经过定点(1 , - 2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x _ m , A(m , yj , B(m , y2),y i-2,y2-2_y i+y2-4,m m m又点A， B 均在椭圆上，. A ， B 关于x 轴对称，. y i+ y2_ 0，. m_ i，故直线AB的方程为x_1 ,也过点(1 ,-2),综上直线AB经过定点，定点为(1 , - 2).跟踪演练1 (2019・攀枝花模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值；(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A, B(均与P不重合)，直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解 ⑴由抛物线定义可知I PF I 二4 f 2）二5，解得P 二2 ,故抛物线C 的方程为y 2二4x ,将P （4 , t ）（t >0）代入抛物线方程解得t 二4.⑵以MN 为直径的圆一定过点F ,理由如下：设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2），设直线AB 的方程为x 二my + l （m 丘R ），代入抛物线C ：y 2 = 4x , 化简整理得y 2 - 4my -4 = 0,环2 二-4，由⑴知P （4,4）,所以直线PA 的方程为y -4二乩三(x -4)二丄三(x -4), x l - 4 my l - 3令x =-1得y 二的-5)儿+ 8, my l - 3__ - (4m - + 8、即 M - 1 , ------ 丛一,€ m y 1 -3 丿 同理可得j - 1 ,的-5汕+ 8€ m y 2 - 3 丿(4m - 5)y〔 + 8 (4m - 5)y 2 + 8 (2m - D 2y 1y 2 + (8m - 10)(y 1+y 2) + 16m 2y 1y 2- 3m (y 1+ y 2)+ 9-4(2m - |,2 + 4m (8m - 10) + 16-4m 2 - 3m ・4m + 916m 2- 9= 二-1 ,- 16m 2+ 9:.MF 丄NF , 故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF ・NF=0).热点二 定值问题 ：'k MF k NF2(my 1 - 3) 2(my 2 - 3)求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2已知椭圆C：02+b2=l(a>b>O)经过点(0, V3),离心率为2,左、右焦点分别为厲(一c,0),F2(c,0).(1)求椭圆C的方程；3(2)P, N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为一4证明：M, N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0，间，所以b =\：3 , 又因为e二2,所以V，2 a 2又C2 = a2~ b2 ,解得a 二 2 , b 二护, 所以椭圆C的方程为》+等二1.⑵证明设P , M , N三点坐标分别为(x p, y p) , (x M, y M) , (x N, y N), 设直线PM , PN斜率分别为k i, k2, 则直线pM方程为y~y p = k1(x - x P),x2+y2 二 1 由方程组,4 3' 消去y,得、y-y P二k1…x - x P(3 + 4k#)x2 - 8k1(k1x p- y p)x + 4k x p - 8k1x p y p+ 4y p - 12 二0 , 由根与系数的关系可得x +x二贴伙1Xp - yp),M p3+ 4k21故x_8k1(k1x p-y p) X_ 4k2x p- 8k”- 3x p,M_ 3 + 4* p_ 3 + 4k2 '从而 X N + X M =0，即 M ，N 两点的横坐标之和为常数 0.跟踪演练2 (2019.四川百校冲刺卷)已知椭圆C ： X 2+y 2=l 的左、右焦点分别为F ], F 2,点 P (m , n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l ： x =4的距离为d 证明：韵为定值；⑵若0V m V 2, A , B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合)，且直线PA , PB 的斜率互为 相反数，求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知，得a 2 = 4 , b 2 = 3 , :.C 2 = a 2 - b 2=1 ,即 F 1(- 1,0)， F 2(1,0).(2)解 当0 < m < 2时，则n M 0 ,直线PA , PB 的斜率一定存在.同理可得S + Xp 二 sag 一 y p )3＋4k 22.d…l PF 2l 2 为定值.2l m - 4l设 A (X 1, y 1) , B (x 2 , y 2)，直线 PA 的斜率为 k ,则直线PA 的方程为y - n 二k (x - m ),即y-kx- km + n ,与椭圆C 的方程3x 2 + 4y 2二12 , 联立组成方程组，消去y ,整理得，(3 + 4k 2)x 2 - 8k (km - n )x + 4(km - n )2 - 12-0.工是4(km - n )2 - 12 于疋 x 二 ',y - kx, - km + n . 1 (3 + 4k 2)m I II 1根据直线PB 的斜率为-k ，将上式中的k 用-k 代替,4( - km - n )2 - 12 4(km + n )2 - 12 得x 二 - 2 [3 + 4( - k )2]m (3 + 4k 2)my 2-- kx 2+ km + n .于是 y 1 - y 2 二(kx 1 - km + n ) - (- kx 2 + km + n )- k (x 1+ x 2)- 2km(3 + 4k 2)m (3 + 4k 2)m 8(k 2m 2 + n 2)- 24 - 2m 2(3 + 4k 2) k •一(3 + 4k 2)m8n 2- 24- 6m 2注意到 3m 2+ 4n 2- 12，得 12- 4n 2- 3m 2，(3 + 4k 2)m k ，4(km - n )2 -12x 1 - x 2 -II 2 (3 + 4k 2)m 由根与系数的关系，得m ・x i4(km - n )2 - 123 + 4k 2 -k 4(km - n )2 - 12 4(km + n )2_ 2km4(km + n )2- 12 (3 + 4k 2)m 4[(km - n )2 - (km + n )2] _ - 16kmn(3 + 4k 2)m(3 + 4k 2)m 因此，直线AB 的斜率为J y^2 x 1 -x 2_ (8n2 - 24 - 6m2)k－16kmn_ 3m2- 4n2+ 12 _ 6m2 _3m_ 寸9- 3m8mn 8mn 4n 2n热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3 (2019•乐山、峨眉山联考)已知椭圆G：a2+b2=1(a>b>0)过点人(1，和点B(0，T)・⑴求椭圆G的方程；(2)设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M, N,记线段MN的中点为P,是否存在实数m,使得I BM I = I BN I?若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.解(1)椭圆G：a+b2_1(a>b>0)过点A,1,普…和点B(0，-1)，:.b_1 ,由丄+ — _ 1，解得。
高中数学圆锥曲线的教学难点与解决策略圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它不仅在数学学科中具有重要地位，也在实际生活和其他科学领域有着广泛的应用。
然而，对于学生和教师来说，圆锥曲线的教学和学习都存在着一定的难度。
一、教学难点1、概念抽象圆锥曲线的概念较为抽象，学生难以直观地理解和把握。
例如，椭圆的定义是“平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹”，双曲线的定义是“平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹”。
这些定义涉及到距离的运算和比较，对于学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
2、图形复杂圆锥曲线的图形较为复杂，其形状和性质随着参数的变化而变化。
学生在绘制图形和分析图形时容易出现错误，难以准确把握图形的特点和规律。
3、计算量大在求解圆锥曲线的相关问题时，往往需要进行大量的计算，如联立方程、求解方程组、化简表达式等。
这些计算过程繁琐，容易出错，对学生的计算能力和耐心是一个很大的考验。
4、综合应用难度高圆锥曲线常常与其他数学知识，如函数、不等式、向量等综合考查。
学生需要具备较强的知识整合能力和综合运用能力，才能解决这些综合性的问题。
二、解决策略1、加强直观教学利用多媒体技术，如动画、视频等，直观地展示圆锥曲线的形成过程和图形特点，帮助学生理解抽象的概念。
例如，通过动画演示动点到两个定点的距离之和或之差的变化过程，让学生直观地看到椭圆和双曲线的形成。
2、注重图形分析在教学中，引导学生仔细观察圆锥曲线的图形，分析图形的对称性、顶点、焦点、准线等重要元素的位置和性质。
通过大量的图形练习，培养学生的图形感知能力和分析能力。
3、优化计算方法教给学生一些简化计算的方法和技巧，如设而不求、整体代换等。
同时，加强学生的计算训练，提高计算的准确性和速度。
4、强化知识整合在教学中，有意识地引导学生将圆锥曲线与其他数学知识进行联系和整合，通过综合性的例题和练习，让学生体会知识之间的相互关系，提高综合运用能力。
圆锥曲线存在性问题Revised on November 25, 2020圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上当k =时，):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=椭圆22:14x y Γ+=（2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-= 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,P Q ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x =，同理可得也符合条件 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::2a b c = ∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=- 即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= 同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= 因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =（1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得：（2）当12e =时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ 由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =- 结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率是22，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）22c e a == ::2:1:1a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E 截得的线段长为22及椭圆的对称性可得： 点()2,1在椭圆上∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x 轴垂直时，则()()0,2,0,2A B -00221212y QA PA QBPBy --∴=⇒=++可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()()21122112121212121222222QA QB x y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+== ① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立 所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得： （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++ ,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点到直线30x y -=，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k +∴=++=若1AB CD λ+为常数，则2054λ+= 1655λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为263（1）求椭圆C 的方程 （2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：63c e a == ::3:1:2a b c ∴= 当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径（2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
