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高数1

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1 高等数学基础总复习指导

一、教学要求

（一）函数、极限与连续

⒈理解函数的概念，了解分段函数．能熟练地求函数的定义域和函数值．

⒉了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)．

⒊熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形．

⒋了解复合函数、初等函数的概念．

⒌了解极限的概念，会求左右极限．

⒍掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的一些方法．

⒎了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质．

⒏了解函数的连续性和间断点的概念．

⒐知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质．

（二）一元函数微分学

1.理解导数与微分概念，了解导数的几何意义．会求曲线的切线方程．知道可导与连续的关系．

2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则．

3.熟练掌握复合函数的求导法则．掌握隐函数的求导法．知道一阶微分形式的不变性．

4.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法．

5.会用拉格朗日定理证明简单的不等式． 2 6.掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件．知道极值点与驻点的区别与联系．

7.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主．

（三）一元函数积分学

1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系．

2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法．

3.了解定积分的几何意义和定积分的性质．

4.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数．

5.掌握定积分的换元积分法和分部积分法．

6.了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分．

7.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．

二、综合练习

（一）单项选择题

⑴下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．

(A) 2)()(xxf，xxg)( (B) 2)(xxf，xxg)(

(C) 3ln)(xxf，xxgln3)( (D) 4ln)(xxf，xxgln4)(

⑵设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（ ）对称．

(A) xy (B) y轴

(C) x轴 (D) 坐标原点

⑶当0x时，变量（ ）是无穷小量．

(A) x1 (B) xxsin 3 (C) 1ex (D) 32xx

⑷设)(xf在点1x处可导，则hfhfh)1()21(lim0（ ）．

(A) )1(f (B) )1(f

(C) )1(2f (D) )1(2f

⑸函数322xxy在区间)4,2(内满足（ ）．

(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升

(C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降

⑹若xxfcos)(，则xxfd)(（ ）．

(A) cxsin (B) cxcos

(C) cxsin (D) cxcos

⑺xxxxd)22cos(2π2π7（ ）．

(A) 0 (B) π

(C) 2π (D) 2π

⑻若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（ ）．

(A) xln (B) 32x

(C) x1 (D) 21x

⑼下列无穷积分收敛的是（ ）．

(A) 0dcosxx (B) 03dexx

(C) 1d1xx (D) 1d1xx

（二）填空题

⑴函数xxxy2)2ln(的定义域是 ．

⑵函数0sin02xxxxy的间断点是 ． 4 ⑶若函数00)1()(31xkxxxxfx，在0x处连续，则k ．

⑷曲线2)(xxf在)2,2(处的切线斜率是 ．

⑸函数1)2(2xy的单调增加区间是 ．

⑹若cxxxf3sind)(，则)(xf ．

⑺xxxdedd2 ．

（三)计算题

⑴已知32)1(2xxxf，求)1(,)2(,)(xffxf．

⑵计算极限xxx5sin6tanlim0．

⑶计算极限5456lim221xxxxx．

⑷计算极限32)1sin(lim21xxxx．

⑸设2lnsinxxxy，求y．

⑹设xy3sinln，求yd．

⑺设yyx()是由方程xyxycosee3确定的函数，求dy．

⑻计算不定积分xxxdsin．

⑼计算不定积分xxxd)ln1(1．

⑽计算不定积分xxxde21．

⑾计算不定积分xxxdln2．

⑿计算定积分102dexxx．

⒀计算定积分e12dlnxxx． 5 ⒁计算定积分e1dlnxxx．

（四）应用题

⑴求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短．

⑵圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

⑶某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？

⑷欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

（五）证明题

⑴试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数．

⑵试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．

⑶当0x时，证明不等式xxarctan．

⑷当1x时，证明不等式eexx．

⑸证明：若)(xf在],[aa上可积并为奇函数，则0d)(aaxxf．

三、综合练习答案

（一）单项选择题

⑴ C ⑵ D ⑶ C ⑷ D ⑸ B ⑹ B ⑺ D ⑻ B ⑼ B

（二）填空题

⑴ )2,1()1,2[ ⑵0x ⑶ e ⑷ 41 ⑸ ),2( ⑹ x3cos3

⑺ 2ex

（三)计算题

⑴ 42x,0,2241xx ⑵ 56 ⑶ 32 ⑷ 41

⑸ 3ln2sin21cosxxxxx ⑹ xxdcot3 ⑺ xxyxyyxdcos3esine23

⑻ cxcos2 ⑼ cxln1ln ⑽ cx1e ⑾ cxxx1ln

⑿ )1e(412 ⒀ )12e(913 ⒁ e24

（四）应用题 6 ⑴ )2,1(和)2,1( ⑵底半径dr36，高dh33 ⑶底半径3πVr，高3πVh ⑷ 底边长5x，高5.2h

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高等数学1重要知识点总结

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高等数学1重要知识点总结

在我们的学习时代，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是小编为大家整理的高等数学1重要知识点总结，希望对大家有所帮助。

高等数学1重要知识点总结1

1、函数、极限与连续

重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数微分学

重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

3、一元函数积分学

重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

4、向量代数与空间解析几何（数一）

主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学

重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学

重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数（数一、数三）

重点考查正项级数的`基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

高数一答题技巧

高数一答题技巧

高数一答题技巧

高等数学一答题技巧如下：

1. 仔细审题，理解题意。拿到试卷后，通读一遍，了解题目的概貌，对解题做到心中有数。

2. 按照先易后难的顺序做题。在试卷的布局上，编者也是用心良苦的，把比较难做的题放在前面，把较易做的题放在后面。因此，解题时应按题目排列顺序进行，不要跳跃式地进行解答，以免浪费时间。

3. 解题要清晰、条理分明。解题时一定要写出必要的文字说明，比如设、根据、因为、所以等，要字迹清楚，条理分明。

4. 注意解题要完整。在答题时，一定要注意答题的完整性，不要因为步骤不完整而丢分。在检查时，也一定要注意全面检查，以免遗漏。

5. 确保答题符合规范。在解题时，一定要按照规定的格式进行，以免因为格式问题被扣分。

6. 遇到难题时不要紧张。遇到难题时，要冷静思考，寻找解题思路。如果实在解不出来，也不要过于紧张，可以暂时放下这道题，先做其他题目。

7. 考前做好复习准备。在考试前，一定要做好复习准备，把学过的知识进行系统复习，以免遗忘。

以上是高等数学一答题技巧的一些建议，希望能对你有所帮助。祝你考试顺利！

高数1大一上知识点总结

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高数1大一上知识点总结

高等数学是大学理科类专业中的一门重要的基础课程，它为我们后续学习更深入的数学知识打下了坚实的基础。大一上学期的高等数学1主要包含了数列与极限、函数与极限、导数与微分等内容。接下来，我将对这些知识点进行总结。

一、数列与极限

数列是由一系列实数按一定顺序排列而成的集合。数列的极限是指当数列中的元素无限接近某个常数时的结果。对于数列的极限的求解，主要有极限的性质、夹逼定理、Stolz定理等方法。通过掌握这些方法，我们可以判断数列是否收敛以及求解极限值。

二、函数与极限

函数是用来描述数值之间的关系的，而函数的极限则是描述函数在某点附近的取值变化趋势。我们可以通过函数的极限来判断函数在某一点是否连续，进而进行更深入的讨论。同时，函数的极限也与其导数密切相关，是后续学习微积分的重要基础。

三、导数与微分 导数是描述函数在某一点附近的变化率，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。通过对函数求导，我们可以研究函数的极值、拐点以及函数曲线的形态。微分则是将函数的变化量表示为自变量的变化量与函数的导数的乘积，是微积分中的一项重要运算。

在导数与微分的学习中，我们需要掌握导数的基本运算法则，如乘法法则、除法法则、链式法则等，并能够应用导数来求解函数的最值、函数图像的特性等问题。此外，对于隐函数和参数方程的导数求解也应加以注意。

四、常微分方程

常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程，它是数学与现实问题相结合的桥梁。通过对常微分方程的理解和求解，我们可以解决许多实际问题，如物理、化学、生物等领域中的动力学问题。

在常微分方程的学习中，最常见的是一阶常微分方程的求解。我们需要掌握分离变量法、齐次方程法、常数变易法等常见的解题方法，并能够应用这些方法解决具体问题。

以上就是大一上学期高等数学1的主要知识点总结。通过对这些知识点的学习，我们可以建立起扎实的数学基础，为后续学习打下坚实的基础。同时，我们还应注重理论联系实际，将所学知识应用于实际问题的解决中，以锻炼自己的综合思考和解决问题的能力。通过不断学习和实践，我们将能够更好地掌握高等数学的相关知识，为未来的学习和研究打下更坚实的基础。

自考高数1试题及答案

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自考高等数学（一）试题及答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列函数中，不是周期函数的是（ ）。

A. y = sin(x)

B. y = cos(x)

C. y = e^x

D. y = tan(x)

答案：C

2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x = 1处的导数是（ ）。

A. -1

B. 3

C. 5

D. 7

答案：D

3. 定积分∫₀¹ x² dx的值是（ ）。

A. 1/3

B. 1/2

C. 2/3

D. 3/2

答案：A

4. 二阶常系数线性微分方程y'' - 5y' + 6y = 0的特征方程是（ ）。

A. r² - 5r + 6 = 0

B. r² + 5r + 6 = 0

C. r² - 6r + 5 = 0

D. r² + 6r + 5 = 0

答案：A

5. 利用洛必达法则计算极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是（ ）。

A. 直接代入x=0

B. 计算分子的导数

C. 计算分母的导数

D. 计算分子和分母的导数

答案：D

6. 方程y² = x在点(4,2)处的切线斜率是（ ）。

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

答案：C

7. 函数f(x) = ln(x)的值域是（ ）。

A. (-∞, 0)

B. (0, +∞)

C. (-∞, +∞)

D. [0, +∞)

答案：C

8. 利用定积分的几何意义，圆x² + y² = 4与直线y = x所围成的图形的面积是（ ）。

A. 2π

B. π

C. 1/2π

D. 4/3π

答案：B

9. 微分方程dy/dx + 2y = 8e²x的解是（ ）。