大一高数课件第二章 2-8-1

1. 单调有界的数列必收敛 ( 准则1 ) ( P33 )
x x x x M 1 2 n n 1
n
lim x a ( M ) n
x1 x 2
x n x n 1 a
M
x
x x x x m 1 2 n n 1
n
n 1 虽有界但不收敛 . 数列 ( 1 )
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3. (保号性)收敛数列的保号性.
若 lim xn a, 且 a 0 ( 0) , 则 N N ,当 n N n
时, 有 xn 0 ( 0).
a 取 nN 时 , N N ,当 ,则 证: 对 a > 0 , 2 xn a a 0 xn a a 2 2 a a 2 2
n 1 1 x ( 1 ) 1 1 n n 2!

1 1 3! n!
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又
n 1 1 1 1 x ( 1 ) 1 1 n n 2 ! 3! n! 1 1 1 1 1 n 1 2 2
x a 推论: 若数列从某项起 xn 0 ( 0) 且limx n a, n 则a 0 ( 0). (用反证法证明)
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 { x n } 是数列{ x n } 的任一子数列 . k 若 limxn a, 则 0, N , 当 n N时, 有
1 1)( 2) 1 (1 1 ) x 1 1 ( 1 1 n 1 ! n 1 n 1 2! n 1 3

x
y 3 ( 1 2 x 2 3 5 x lo 0 .1 x g1 x 5 x l5 n lo 0 .1 x g 1 x 5 xx l1 0 n .1 )
(3 )[u v ( (x x ) )] u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
3x2 y
(1 x 2 )2
18
5 、 ( a ) x ( b ) a ( x ) b (ln a a b ) . bxa b x
三 、 ( b , b 2 4 ac ) . 四 、 2 x 2a y 2 4 a0 和 2 x y 2 0 .
谢谢！
ch2x
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)(x)1,
当x0时,
f(x)ln1(x)
1
1
x
,
f(0) lx i0m f(0xx )f(0)
当x0时, f(0)lx im 0(0 x x)0 1,
f (0)lx i0 m ln 1[(0 xx) ]0 1,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6
3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为
y
4
6 9
和
y
4 6 9
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________.
x
dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0

讲解复合函数的微分法则，以及计算方法和 应用。
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数

xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x