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函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及X o+A x在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x 的常数，-:-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点X o可微的。
心丁叫做函数」J—在点x o相应于自变量增量△ x的微分，记作dy，即：「二」—通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于A x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△ x宀0时，△ y~dy.导数的记—=广⑴号为：一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ △X也在该邻域内）时，相应地函数有增量' '■ - ' - ?■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称这个极限值为""⑴在X o处的导数。
记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点X o处存在导数简称函数」八在点X o处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的X 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数' ';的导函数。
拉格朗日中值定理如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1： ' ：「•’」，那末在（a,b）内至少有一点6使v「成立。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分甲 内容要点一．导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等。
并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()0000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
