2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第1㊀页(共6页)2023年邵阳市高三第二次联考试题卷数㊀学本试卷共6页,22个小题㊂满分150分㊂考试用时120分钟㊂注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号填写在答题卡上㊂将条形码横贴在答题卡上 条形码粘贴区 ㊂2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案㊂答案不能答在试卷上㊂3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液㊂不按以上要求作答无效㊂4.保持答题卡的整洁㊂考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存㊂一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内,复数3-i-1+i(i 为虚数单位)对应的点位于A.第一象限㊀㊀㊀B.第二象限㊀㊀㊀C.第三象限㊀㊀㊀D.第四象限2.已知集合A =[-2,5],B =[m +1,2m -1].若 x ɪB 是 x ɪA 的充分不必要条件,则m 的取值范围是A.(-ɕ,3]B.(2,3]C.⌀D.[2,3]3.已知向量a =(1,3),b =(1,-1),c =(4,5).若a 与b +λc 垂直,则实数λ的值为A.219B.411C.2D.-474.已知函数f (x )=log 5x ,0<x <5,-cos(π5x ),5ɤx ɤ15.ìîíïïïï若存在实数x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4),满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4),则x 1x 2x 3x 4的取值范围是A.0,3754()B.(0,100)C.75,3754()D.(75,100)2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第2㊀页(共6页)5.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济,某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日,为了解直播的效果和关注度,该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据,这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y (单位:万人)的数据如下表:日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x 天12345人数y(单位:万人)75849398100依据表中的统计数据,该电商平台直播黄金时间的天数x 与到该电商平台专营店购物的人数y (单位:万人)具有较强的线性相关关系,经计算得,到该电商平台专营店购物人数y 与直播天数x 的线性回归方程为^y=6.4x +a.请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人)为A.312B.313C.314D.3156.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左㊁右焦点分别为F 1,F 2,半焦距为c.在椭圆上存在点P 使得a sinøPF 1F 2=csinøPF 2F 1,则椭圆离心率的取值范围是A.[2-1,1)B.(2-1,1)C.(0,2-1)D.(0,2-1]7.如图(一)所示,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =1,AF ʅ平面ABCD 且AF =3,图(一)点E 为线段CD (除端点外)上的动点,沿直线AE 将әDAE 翻折到әDᶄAE ,则下列说法中正确的是A.当点E 固定在线段CD 的某位置时,点Dᶄ的运动轨迹为球面B.存在点E ,使AB ʅ平面DᶄAEC.点A 到平面BCF 的距离为32D.异面直线EF 与BC 所成角的余弦值的取值范围是1313,1010()2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第3㊀页(共6页)8.若不等式t e tx-1-1x()ln(x -1)ȡ0对任意x ɪ[2e +1,+ɕ)恒成立,则正实数t 的取值范围是A.ln22e +1,+ɕéëêê) B.ln2+12e +1,+ɕéëêê)C.0,ln2+12e +1()D.ln22e +1,ln2+12e +1éëêêùûúú二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AE ң=14AA 1ң,CF ң=34CC 1ң,则A.øEBF 为钝角B.AD 1ʅA 1C C.ED ʊ平面B 1D 1FD.直线EF 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为2310.若函数f (x )=2cos ωx cos ωx -sin ωx ()-1ω>0()的最小正周期为π,则A.f (-π24)=-62B.f (x )在π2,éëêê3π4ùûúú上单调递增C.f (x )在0,5π2éëêêùûúú内有5个零点 D.f (x )在-π4,éëêêπ4ùûúú上的值域为-1,[1]11.已知点P 为定圆O 上的动点,点A 为圆O 所在平面上的定点,线段AP 的中垂线交直线OP 于点Q ,则点Q 的轨迹可能是A.一个点B.直线C.椭圆D.双曲线12.已知函数f (x )=e xln x +1(),fᶄ(x )是f x ()的导数,则A.函数y =fᶄ(x )在0,+ɕ)(上单调递增B.函数y =fᶄ(x )有唯一极小值C.函数y =f (x )-x 在(-1,0)上有且只有一个零点t ,且t ɪ-12,0()D.对于任意的x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),f x 1+x 2()>f x 1()+f x 2()恒成立三㊁填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13.若a>0,b>0,a+b=9,则36a+a b的最小值为㊀㊀㊀㊀.14.在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数eʈ2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻,两个8不相邻,那么小明可以设置的不同密码共有㊀㊀㊀㊀个.15.已知直线l是曲线y=ln x-2()+2与y=ln x-1()的公切线,则直线l与x轴的交点坐标为㊀㊀㊀㊀㊀.16.已知数列a n{}满足a1=2,na n+1=2n+2()a n(nɪN∗),设数列a n{}的前n项和为S n,则数列a n{}的通项公式为a n=㊀㊀㊀㊀,S n+2=㊀㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知S n为数列a n{}的前n项和,a1=2,S n+1=S n+4a n-3,记b n=log2(a n-1)+3.(1)求数列b n{}的通项公式;(2)已知c n=(-1)n+1㊃b n+1bn b n+1,记数列c n{}的前n项和为T n,求证:T nȡ221.18.(本小题满分12分)人类从未停下对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空1003m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15ʎ方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45ʎ,拍摄羚羊的俯角为60ʎ,假设A,B,C三点在同一水平面上.(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以25m/s的速度出击,与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15ʎ方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑600m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因.2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第4㊀页(共6页)2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第5㊀页(共6页)图(二)19.(本小题满分12分)如图(二)所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ʊCD ,AB =2CD =4.平面PAB ʅ平面ABCD ,O 为AB 的中点,øDAO =øAOP =60ʎ,OA =OP ,E ,F ,G 分别为BC ,PD ,PC 的中点.(1)求证:平面PCD ʅ平面AFGB ;(2)求平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值.20.(本小题满分12分)为响应习近平总书记 全民健身 的号召,促进学生德智体美劳全面发展,某校举行校园足球比赛.根据比赛规则,淘汰赛阶段,参赛双方有时需要通过 点球大战 的方式决定胜负. 点球大战 的规则如下:①两队各派5名队员,双方轮流踢点球,累计进球个数多者胜;②如果在踢满5轮前,一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数,则不需要再踢(例如:第4轮结束时,双方 点球大战 的进球数比为2ʒ0,则不需要再踢第5轮);③若前5轮 点球大战 中双方进球数持平,则从第6轮起,双方每轮各派1人踢点球,若均进球或均不进球,则继续下一轮,直到出现一方进球另一方不进球的情况,进球方胜出.假设每轮点球中进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左㊁中㊁右三个方向射门,门将也会等可能地选择球门的左㊁中㊁右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确,左右两边将球扑出的可能性为15,中间方向扑出的可能性为35.若球员射门均在门内,在一次 点球大战 中,求门将在前4次扑出点球的个数X 的分布列和数学期望.(2)现有甲㊁乙两队在淘汰赛中相遇,需要通过 点球大战 来决定胜负.设甲队每名队员射进点球的概率均为34,乙队每名队员射进点球的概率均为23,若甲队先踢,求甲队恰在第4轮取得胜利的概率.2023年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)㊀第6㊀页(共6页)21.(本小题满分12分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(0<a <10,b >0)的右顶点为A ,左焦点F (-c ,0)到其渐近线bx +ay =0的距离为2,斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ,B 两点,且AB =8103.(1)求双曲线C 的方程;(2)过点T (6,0)的直线l 2与双曲线C 交于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 分别与直线x =6相交于M ,N 两点,试问:以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x cos x ,g (x )=x -cos x.(1)对任意的x ɪ-π2,0éëêêùûúú,tf (x )-gᶄ(x )ȡ0恒成立,求实数t 的取值范围;(2)设方程f (x )=gᶄ(x )在区间2n π+π3,2n π+π2()(n ɪN ∗)内的根从小到大依次为x 1,x 2, ,x n , ,求证:x n +1-x n >2π.2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第1㊀页(共10页)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数㊀学一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.C㊀2.B㊀3.A㊀4.C㊀5.C6.Aʌ详解ɔ由a sinøPF 1F 2=c sinøPF 2F 1,得c a =sinøPF 2F 1sinøPF 1F 2=|PF 1||PF 2|=|PF 1|2a -|PF 1|得|PF 1|=2aca +c,又|PF 1|ɪ[a -c ,a +c ]ʑa 2-c 2ɤ2ac ɤ(a +c )2即e 2+2e -1ȡ0,又e ɪ(0,1),ʑe ɪ[2-1,1).故选:A .7.D ʌ详解ɔ选项A :当点E 固定在线段CD 的某位置时,线段AE 的长度为定值,ADᶄʅDᶄE ,过Dᶄ作DᶄH ʅAE 于点H ,故Dᶄ的轨迹是以H 为圆心,DᶄH 为半径的圆,故A 错;选项B :无论E 在CD (端点除外)的哪个位置,AB 均不与AE 垂直,故AB 不与平面ADᶄE 垂直,故B 错;选项C :设A 到平面BCF 的距离为d ,由已知BF =23,BC ʅ平面ABF ,得d =3ˑ323=32,故C 错;选项D :以AB ң,AD ң,AF ң为x ,y ,z 的正方向建立空间直角坐标系F (0,0,3),B (3,0,0),C(3,1,0).设E (3λ,1,0),λɪ(0,1),BC ң=(0,1,0),EF ң=(-3λ,-1,3),设EF 与BC 所成的角为θ,则cos θ=13λ2+10ɪ1313,1010().故选:D .8.Bʌ详解ɔx ȡ2e +1,t e tx -1-1x()ln (x -1)ȡ0恒成立,即tx e tx ȡ(x -1)ln (x -1)=e ln (x -1)㊃ln (x -1)恒成立.令f (x )=x e x (x >1),则fᶄ(x )=(x +1)e x >0恒成立,故f (x )单调递增,所以tx ȡln (x -1)在x ȡ2e +1时恒成立,ʑt ȡln (x -1)x(x ȡ2e +1)恒成立.令g (x )=ln (x -1)x (x ȡ2e +1),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第2㊀页(共10页)㊀gᶄ(x )=xx -1-ln (x -1)x 2=x -(x -1)ln (x -1)x 2(x -1).令h (x )=x -(x -1)ln (x -1)(x ȡ2e +1),则hᶄ(x )=-ln (x -1)<0ʑh (x )单调递减.ʑh (x )ɤh (2e +1)=2e +1-(2e +1-1)㊃ln (2e +1-1)=1-2eln2=1-eln4<0即gᶄ(x )<0,ʑg (x )单调递减.故g (x )ɤg (2e +1)=ln2+12e +1.故选:B .二㊁多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.BCD㊀10.BC 11.ACDʌ详解ɔ分以下几种情况讨论:设定圆O 的半径为R ,①当点A 在圆O 上,连接OA ,则OA =OP ,所以点O 在线段AP 的中垂线上,由中垂线的性质可知AQ =PQ .又因为点Q 是线段AP 的中垂线与OP 的公共点,此时点Q 与点O 重合,此时,点Q 的轨迹为圆心O ;故A 正确;②当点A 在圆O 内,且点A 不与圆心O 重合,连接AQ ,由中垂线的性质可得QA =QP ,所以,QA +QO =QA +QP =OP =R >OA ,此时,点Q 的轨迹是以点A ,O 为焦点,且长轴长为R 的椭圆,故C 正确;③当点A 在圆O 外:连接AQ ,由中垂线的性质可得QA =QP ,所以,QA -QO=QP -QO=OP =R <OA ,此时,点Q 的轨迹是以点A ,O 为焦点,且实轴长为R 的双曲线.故D 正确.故选:ACD.12.ABDʌ详解ɔfᶄ(x )=e x ㊃ln (1+x )+e x ㊃11+x =e x [ln (1+x )+11+x],g (x )=fᶄ(x )=e x [ln (1+x )+11+x ],则gᶄ(x )=e x [ln (1+x )+21+x -1(1+x )2],设h (x )=ln (1+x )+21+x -1(1+x )2,hᶄx ()=11+x -2(1+x )2+2(1+x )3=x 2+1(1+x )3>0,则函数h x ()在(-1,+ɕ)上单调递增,h x ()ȡh 0()=1>0,因此gᶄ(x )>0对任意的x ɪ0,+ɕ)(恒成立,所以g x ()在0,+ɕ)(上单调递增,故A 正确;又h -12()=-ln2+4-4<0,所以h -12()㊃h 0()<0,则存在αɪ-12,0(),使得h α()=0.2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第3㊀页(共10页)在x ɪ-1,α()时,h x ()<0;x ɪα,+ɕ()时,h x ()>0;所以函数fᶄ(x )在-1,α()单调递减,在α,+ɕ()单调递增,故fᶄ(x )有唯一极小值,故B 正确;令m (x )=f (x )-x =e x ln (x +1)-x ,-1<x <0,mᶄ(x )=e x [ln (1+x )+11+x]-1=fᶄ(x )-1,所以函数mᶄ(x )在-1,α()单调递减,在α,+ɕ()单调递增,且mᶄ(0)=0,则有mᶄ(α)<0.又mᶄ(e -2-1)=e e-2-1(-2+e 2)-1>e e-2-1㊃e -1=e e -2-1>0,因此存在x 0ɪ(e -2-1,α),使得mᶄ(x 0)=0,当-1<x <x 0时,mᶄ(x )>0,当x 0<x <0时,mᶄ(x )<0,于是得函数m (x )在(-1,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,则m (x 0)>m (0)=0.又m (e -3-1)=-3e e-3-1-e -3+1<-3e -1-e -3+1<0,从而存在唯一t ɪ(e -3-1,x 0),使得m (t )=0.显然当t <x <0时,m (x )>0,当-1<x <t 时,m (x )<0.又m (-12)=1e ln 12+12,令v (x )=ln x -12(x -1x ),vᶄ(x )=1x -12-12x 2=-(x -1)22x 2ɤ0,因此函数v (x )在(0,+ɕ)上单调递减,v (12)>v (1)=0,有ln12>12(12-2)=-34,1e ln 12>-34e ,则m (-12)=1e ln 12+12>12-34e =2e -34e >0,即t <-12<0,从而函数m x ()=f x ()-x 在x ɪ(-1,0)上有唯一零点t ɪ(-1,-12),函数y =f (x )-x 在(-1,0)上有且只有一个零点t ,且t ɪ-1,-12(),故C 错误;x 1>0,x 2>0,f (x 1+x 2)-f (x 1)-f (x 2)=e x 1+x 2ln (1+x 1+x 2)-e x1ln (1+x 1)-e x2ln (1+x 2),设φ(x )=f (x +x 2)-f (x )-f (x 2)=e x +x 2ln (1+x +x 2)-e x ln (1+x )-e x2ln (1+x 2),x >0,则φᶄx ()=ex +x 2[ln (1+x +x 2)+11+x +x 2]-e x [ln (1+x )+11+x]=g (x +x 2)-g (x )由选项A 知,g x ()在(0,+ɕ)上单调递增,而x +x 2>x >0,则g (x +x 2)>g (x ),即有φᶄ(x )=g (x +x 2)-g (x )>0,因此函数φ(x )在(0,+ɕ)上单调递增,φ(x 1)>φ(0)=f (x 2)-f (0)-f (x 2)=-f (0)=0,即有f x 1+x 2()>f x 1()+f x 2(),所以对任意的x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),总满足f x 1+x 2()>f x 1()+f x 2(),故D 正确.故选:ABD 三、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13.8㊀14.3615.3+ln22,0()2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第4㊀页(共10页)ʌ详解ɔ设直线l 与曲线y =ln (x -2)+2和y =ln (x -1)相切于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,分别求导得:yᶄ=1x -2,yᶄ=1x -1,故l :y -[ln (x 1-2)+2]=1x 1-2(x -x 1)⇒y =1x 1-2x +ln (x 1-2)+2-x 1x 1-2.同理得:l :y -ln (x 2-1)=1x 2-1(x -x 2)⇒y =1x 2-1x +ln (x 2-1)-x 2x 2-1.故1x 1-2=1x 2-1,ln (x 1-2)+2-x 1x 1-2=ln (x 2-1)-x 2x 2-1,ìîíïïïï解得x 2=32,x 1=52.ìîíïïïïʑ直线l 的方程为y =2x -3-ln2.令y =0,则x =3+ln22.则直线l 与x 轴的交点坐标为3+ln22,0().16.(n 2+n )㊃2n -1(2分)㊀(n 2-n +2)㊃2n (3分)ʌ详解ɔ因为na n +1=2(n +2)a n ,且a 1=2ʂ0,所以a n +1a n =2(n +2)n ,则当n ȡ2时,a n =a 1㊃a 2a 1㊃a 3a 2㊃ ㊃a na n -1=2ˑ2ˑ31ˑ2ˑ42ˑ ˑ2ˑ(n +1)(n -1)=n (n +1)㊃2n -1=(n 2+n )㊃2n -1.又当n =1时,a 1=2符合上式,故a n =(n 2+n )㊃2n -1.由S n =a 1+a 2+ +a n =(1ˑ2)ˑ20+(2ˑ3)ˑ21+ +n (n +1)㊃2n -1㊀①2S n =1ˑ2ˑ21+ +(n -1)n ㊃2n -1+n (n +1)㊃2n ㊀②①-②得-S n =2-n (n +1)㊃2n +4㊃21+6㊃22+ +2n ㊃2n -1=-n (n +1)㊃2n +(1㊃21+2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n ).2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第5㊀页(共10页)令T n =1㊃21+2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n ,㊀㊀③ʑ2T n =1㊃22+2㊃23+ +(n -1)㊃2n +n ㊃2n +1,④③-④得-T n =21-n ㊃2n +1+(22+23+ +2n)=-n ㊃2n +1+2(1-2n )1-2=(-n +1)㊃2n +1-2,ʑT n =(n -1)㊃2n +1+2.故-S n =-n (n +1)㊃2n +(n -1)㊃2n +1+2,则S n =(n 2-n +2)㊃2n -2,即S n +2=(n 2-n +2)㊃2n .四㊁解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)17.ʌ详解ɔ(1)由S n +1=S n +4a n -3,得S n +1-S n =4a n -3.ʑa n +1=4a n -3,则a n +1-1=4(a n -1).(2分) ȵa 1-1=2-1=1,ʑ数列{a n -1}是以1为首项,4为公比的等比数列,ʑa n -1=4n -1=22n -2(n ɪN ∗).(4分)ȵb n =log 2(a n -1)+3,ʑb n =log 222n -2+3=2n +1(n ɪN ∗).(5分)(2)ȵc n =(-1)n +1㊃b n +1b n b n +1ʑc n =(-1)n +1㊃2n +2(2n +1)(2n +3)=(-1)n +1㊃1212n +1+12n +3()(6分)ʑT n =c 1+c 2+c 3+ +c n=1213+15()-15+17()+17+19()- +(-1)n +112n +1+12n +3()éëêêùûúú(7分)当n 为奇数时,T n =1213+12n +3()>16>221.(8分) 当n 为偶数时,T n =1213-12n +3(){T n }是递增数列,ʑT n ȡT 2=1213-17()=221.综上得:T n ȡ221.(10分)18.ʌ详解ɔ(1)由题意可知øAPC =45ʎ,øCBP =60ʎ,øBAC =45ʎ-15ʎ=30ʎ(1分) AC =PC tanøAPC =1003m,BC =PC tanøCBP=100m .(2分)由正弦定理AC sinøABC =BC sinøBAC ,可得sinøABC =32.(3分)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第6㊀页(共10页)因此øABC =60ʎ或120ʎ当øABC =60ʎ时,øACB =90ʎ,猎豹与羚羊之间的距离为AB =AC 2+BC 2=200m (5分) 当øABC =120ʎ,øACB =30ʎ=øBAC ,猎豹与羚羊之间的距离为AB =BC =100m (6分)(2)设捕猎成功所需的最短时间为t ,在әABQ 中,BQ =20t ,AQ =25t ,AB =200,øABQ =120ʎ.由余弦定理得:625t 2=400t 2+2002-2ˑ20t ˑ200ˑ-12().(8分) 整理得:5t 2-32t -320=0.方法1:设f (t )=5t 2-32t -320,显然f165()<0,(9分) 因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s,且f (24)=1792>0.(10分)ʑ存在t 0ɪ165,24(),使f (t 0)=0.(11分) ȵt 0<24,ʑ猎豹能捕猎成功.(12分) 方法2:由方程5t 2-32t -320=0得t =16+8295(舍负).(10分) 又16+829<16+8ˑ6=64<120,ʑt <24,ʑ猎豹能捕猎成功.(12分)19.解:(1)如图所示,取AO 的中点H ,连结HD ,HP ,在等腰梯形ABCD 中,AB ʊCD ,AB =4,CD =2,øDAO =60ʎ.ȵO 为AB 的中点,ʑOD ʊBC ,øDOA =øCBO =øDAO =60ʎ.ʑәOAD 为正三角形,ʑAD =2,HD ʅAO.(2分)在әAOP 中,OA =OP =2,øAOP =60ʎ,ʑәAOP 为边长为2的正三角形,ʑAP =2,PH ʅAO.(3分) ʑAP =AD ,又F 为FD 的中点,ʑAF ʅPD.ȵHD ʅAO ,PH ʅAO ,HD ɘPH =H ,ʑAO ʅ平面PHD ,即AB ʅ平面PHD.(4分) ȵPD ⊂平面PHD ,ʑAB ʅPD.又ȵAF ɘAB =A ,ʑPD ʅ平面AFGB.(5分) ȵPD ⊂平面PCD ,ʑ平面PCD ʅ平面AFGB.(6分) (2)ȵPH ʅAB ,平面PAB ʅ平面ABCD ,平面PAB ɘ平面ABCD =AB ,PH ⊂平面PAB ,ʑPH ʅ平面ABCD ,ʑ由(1)知,PH ,HD ,AB 两两垂直,(7分) 以H 为坐标原点,HD ,HB ,HP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则H (0,0,0),P (0,0,3),D (3,0,0),,E32,52,0(),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第7㊀页(共10页)于是HP ң=(0,0,3),PD ң=(3,0,-3),DE ң=-32,52,0().(9分)设平面PDE 的法向量为n ң=(x ,y ,z ),则n ң㊃PD ң=0,n ң㊃DE ң=0,{即3x -3z =0,-32x +52y =0,ìîíïïïï取x =5,则n ң=(5,3,5)(10分) 设平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角为θ,ȵHP ң为平面ABCD 的一个法向量,ʑcos θ=|cos n ң,HP ң⓪|=|n ң㊃HP ң||n ң||HP ң|=5353ˑ3=553.ʑsin θ=1-cos 2θ=2753,tan θ=sin θcos θ=275.ʑ平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值为275.(12分) 20.ʌ详解ɔ(1)由题可知P (每次扑出点球)=13ˑ15+13ˑ15+13ˑ35=13.(1分) X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分) ʑP (X =0)=C 04ˑ(13)0ˑ(23)4=1681.P (X =1)=C 14ˑ(13)ˑ(23)3=3281.P (X =2)=C 24ˑ(13)2ˑ(23)2=2481.P (X =3)=C 34ˑ(13)3ˑ(23)=881.P (X =4)=C 44ˑ(13)4=181.(4分) ʑX 的分布列X 01234P168132812481881181㊀(5分)ʑE (X )=0ˑ1681+1ˑ3281+2ˑ2481+3ˑ881+4ˑ181=43.(6分) (由题意得X ~B 4,13().得X 的分布列为P (X =k )=C k 413()k23()4-k,k =0,1,2,3,4.分布列写成P (X =k )=C k4(13)k ㊃(23)4-k ,k =0,1,2,3,4.E (X )=4ˑ13=43也给4分)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第8㊀页(共10页)(2)若甲队恰在第4轮取得胜利,则前3轮结束时比分可能为1ʒ0,2ʒ0,2ʒ1,3ʒ1,3ʒ2.分别记前3轮比分为1ʒ0,2ʒ0,2ʒ1,3ʒ1,3ʒ2且甲队恰在第4轮取得胜利,事件分别为A ,B ,C ,D ,E.(7分)P (A )=C 13ˑ34()ˑ14()2ˑ13()3ˑ34ˑ13=1768.P (B )=C 23ˑ34()2ˑ14ˑ13()3ˑ34+14ˑ13()=10768.P (C )=C 23ˑ34()2ˑ14ˑC 13ˑ23ˑ13()2ˑ34ˑ13=6256=18768.P (D )=34()3ˑC 13ˑ23ˑ13()2ˑ34+14ˑ13()=20256=60768.P (E )=34()3ˑC 23ˑ23()2ˑ13ˑ34ˑ13=12256=36768.(10分)(对1个不给分,对2-3个给1分,全对给3分)故P (甲队恰在第4轮取得胜利)=1768+10768+18768+60768+36768=125768.(11分) ʑ甲队恰在第4轮取得胜利的概率为125768.(12分)21.解:(1)ȵ双曲线C 的左焦点F (-c ,0)到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =|bc |a 2+b2=b ,而d =2,ʑb =2.(1分)ʑ双曲线C 的方程为x 2a 2-y 24=1(0<a <10).依题意直线l 1的方程为y =13(x -a ).由x 2a 2-y 24=1,y =13(x -a ),ìîíïïïï消去y 整理得:(36-a 2)x 2+2a 3x -a 2(a 2+36)=0,(2分) 依题意:36-a 2ʂ0,Δ>0,则x A x B =a 2(a 2+36)a 2-36.ȵx A =a ,ʑx B =a (a 2+36)a 2-36.(3分)ʑ|AB |=1+13()2|x A -x B |=103|x A -x B |=8103,ʑ|x A -x B |=8.即a -a (a 2+36)a 2-36=8,解得a =3或a =12(舍去),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第9㊀页(共10页)ʑ双曲线C 的方程为x 29-y 24=1.(5分)(2)依题意直线l 2的斜率不等于0,设直线l 2的方程为x =my +6.由x =my +6,x 29-y 24=1,ìîíïïï消去x 整理得:(4m 2-9)y 2+48my +108=0,(6分) ʑ4m 2-9ʂ0,Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=-48m 4m 2-9,y 1y 2=1084m 2-9.(7分) 直线AP 的方程为y =y 1x 1-3(x -3),令x =6得:y =3y 1x 1-3,ʑM 6,3y 1x 1-3().同理可得N 6,3y 2x 2-3().(8分)由对称性可知,若以线段MN 为直径的圆过定点,则该定点一定在x 轴上,(9分) 设该定点为R (t ,0),则RM ң=6-t ,3y 1x 1-3(),RN ң=6-t ,3y 2x 2-3(),故RM ң㊃RN ң=(6-t )2+9y 1y 2(x 1-3)(x 2-3)=(6-t )2+9y 1y 2(my 1+3)(my 2+3)=(6-t )2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9=(6-t )2+9ˑ1084m 2-9m 2ˑ1084m 2-9-3m ˑ48m4m 2-9+9=(6-t )2-12=0,解得t =6-23或t =6+23.故以线段MN 为直径的圆过定点(6-23,0)和(6+23,0).(12分) 22.解:gᶄx ()=1+sin x ,对任意的x ɪ-π2,0éëêêùûúú,tf x ()-gᶄx ()ȡ0恒成立,即t e x cos x ȡ1+sin x 对任意的x ɪ-π2,0éëêêùûúú恒成立.(1分)当x =-π2时,则有0ȡ0对任意的t ɪR 恒成立;(2分) 当-π2<x ɤ0时,cos x >0,则t ȡ1+sin x e x cos x ,令h x ()=1+sin x e x cos x,其中-π2<x ɤ0,2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第10㊀页(共10页)hᶄx ()=e x cos 2x -e x cos x -sin x ()1+sin x ()e x cos x ()2=1-cos x ()1+sin x ()e x cos 2x ȡ0且hᶄx ()不恒为零,(4分) 故函数h x ()在-π2,0(ùûúú上单调递增,则h x ()max =h 0()=1,故t ȡ1.综上所述,t ȡ1.(5分) ʌ小问2详解ɔ证明:由f x ()=gᶄx ()可得e x cos x =1+sin x ,令φx ()=e x cos x -sin x -1,则φᶄx ()=e x cos x -sin x ()-cos x.(6分)因为x ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),则sin x >cos x >0,所以,φᶄx ()<0,所以,函数φx ()在2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗()上单调递减.(7分) 因为φ2n π+π3()=e 2n π+π3cos 2n π+π3()-sin 2n π+π3()-1=12e 2n π+π3-32-1ȡe2π+π32-32-1>0,㊀㊀φ2n +π2()=-2<0,所以,存在唯一的x 0ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),使得φx 0()=0.(9分) 所以,x n ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),则x n +1-2πɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),所以,φx n +1-2π()=ex n +1-2πcos x n +1-2π()-sin x n +1-2π()-1=ex n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=e x n +1-2πcos x n +1-ex n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1()cos x n +1<0=φx n (),因为函数φx ()在2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗()上单调递减,(11分) 故x n +1-2π>x n ,即x n +1-x n >2π.(12分)。
