人教版高中数学选修(2-2)-1.5《定积分的概念》教学教案

《定积分的概念》教学设计

教材分析 《定积分的概念》位于人教版选修2-2第一章，第五节，第二讲。在此之前已经学过导数及极限，并且也学习了曲边梯形面积的求解以及匀变速直线运动物体路程的求解。知道定积分求解过程为分割，近似，求和，取极限。本节课讲解定积分的概念，是对之前内容的承接，也对下节《微积分基本定理》作为预备知识。

学情分析 教授对象为高二学生，具备良好的抽象思维和形象思维，模仿能力也很强。并且学生在学习《定积分概念》之前学过极限，求导，也学习了曲边梯形以及匀变速直线运动的路程，对定积分的求解过程已经很了解，因此只需要将定积分的求解过程抽象为一般问题定积分的求法就是定积分的概念。

教学重点 了解定积分的概念，学会利用定积分的概念去解决实际问题。

教学难点 体会定积分的思想（以直代曲）。

教学目标 知识与技能 通过本课的学习，使学生了解定积分的概念以及利用积分的概念求函数积分的方法。

过程与方法 通过对比之前学习定积分求解面积的方法，将问题归为一类，用通用的语言表达函数积分的求解过程，从而推导出定积分的概念。

情感态度与价值观 通过学习，提高学生对数学学习的热情，养成严谨的学习态度。

教学方法 主要运用讲授法，并结合启发式教学，并结合前两节学习过的例题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求解匀变速运动的路程，仿造这两个例题的解法，求解一般函数的积分面积，从而对函数积分的求解方法与思想有一定的把握，在引入定积分的概念，帮助同学对定积分的理解，加深同学对定积分思想——“以直代曲”的体会。

教学准备 彩色粉笔，黑板，投影仪（展示图形）

教学过程 课时：1课时

教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图

复习旧课

（3分钟） 教师提问：从前面所学的求曲边梯形面积以及匀变速直线运动路程的过程，可以抽象为哪几个过程？

板书：分割，近似代替，求和，取极限。

教师提问：那么在求解曲边梯形面积以及匀变速直线运动路程的过程中，我们用到的是什么思想？

第 1 页 第18、19课时 周一、周二2019-3-22、23

课题：1.5 定积分的概念

三维目标：

知识与技能：

⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．

3.理解掌握定积分的几何意义和性质；

过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．

教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江

省的国土面积。

此问题在学生九年级中已有涉及，在九

年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。。

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点

数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二．合作探究

问题一 曲边梯形的面积

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割）

1 1.5.3定积分的概念

【学习目标】

1.了解定积分的概念和性质；

2.了解定积分的几何意义；

3.能对简单的定积分进行计算．

【新知自学】

知识回顾：

求曲边梯形的面积：

（1）思想：以直代曲、逼近；

（2）步骤：分割近似代替求和取极限；关键：近似代替；

结果：分割越细，面积越精确.

新知梳理：

1.定积分的概念：

一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点012axxx …1iixx…nxb将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x______，在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iinL，作和式：

11()()nnniiiibaSfxfn.如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______.

其中()fx称为_________，x叫做________，[,]ab为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．

说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．

（２）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功

()baWFrdr．

2．定积分的几何意义：

如下图所示，如果在区间)(],[xfba上函数连续且恒有0)(xf，那么定积分badxxf)(表示直线xa,()xbab,0y和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.

2

3．定积分的性质：

（１）bakdx_______（k为常数）；

（２）badxxkf)(____________（其中k是不为0的常数）；

（３）badxxfxf)()(21_______________；

人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念

【学习目标】

1.了解定积分的概念和性质； 2.了解定积分的几何意义； 3.能对简单的定积分进行计算．

【新知自学】

知识回顾：

求曲边梯形的面积：

（1）思想：以直代曲、逼近；

（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替； 结果：分割越细，面积越精确.

新知梳理：

1.定积分的概念：

一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…

?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间

?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：

b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________． 说明：（1）定积分

?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为

?baf(x)dx，而不是Sn．

b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功

at1t2W??F(r)dr．

ab2．定积分的几何意义：

如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ?f(x)dx表