数学分析教案(华东师大版)第八章不定积分

x4 ( 2) 2 dx ; x 1
1 1 1 ( 3) ( 3 x 3 )dx ; 2 x x 1 x
2
例5、求下列不定积分。
(1) a x e x dx ;
cos 2 x ( 2) dx . sin x cos x
练习：求 (1) tan 2 x dx ;
(1) [ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx . ( 2) kf ( x )dx k f ( x )dx .
( k 是常数 , 且 k 0)
例4、求下列不定积分。
(1) (a0 x n a1 x n 1 a n 1 x a n )dx ;
1 x x2 ( 2) dx . 2 x(1 x )
x 1, x 1 设 f ( x) , 求 f ( x )dx . 例 6、 2 x, x 1
练习：求 | x 1 | dx .
作 业
习题8-1：5（偶数题）
§8.2-1
换元(Substitution Rules) 积分法
( 2) 若 G ( x ) 也是 f ( x ) 的一个原函数 , 则 存在常数C , 使得 G ( x ) F ( x ) C .
F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C C R为 f ( x ) 的原函数集合
函数 f ( x ) 在区间 I 上的全体原函数称为 定义2： f ( x ) 在 I 上的不定积分 , 记作
f ( x ) dx 的图形
y
积分曲线族在横 坐标为 x0 处的 切线互相平行 .
o
x0
x

§3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回C x B +i A(ii),p t x =+令22,,p pL r q N M =-=-则2,k 时³111æö432x x x x24910 -++-11d x12x +21(22)1 x x--+对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R 数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.因此=--ò2(1cos ,cos )d(cos )R x x x 20(,)(,).R u v R u v u =0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得2(1,)d .R t t t =--ò=òò2(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x2sin òx.)0(,d òab x32 31129 x t t-+33d òx22d223 x x x--注1对于本题来说,方法2 显然比方法1 简捷.作业P200：1（2)、（3）、（6）；2（1）、（3）、（5）。

1

xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)

dx x

说明：
ln x x 0,
C;

dx x

ln
x

C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x


dx x

ln(

x
)

C
,


dx x

ln
|
x
|
C
,
简写为

dx x

ln
x

C.
(4)

1
1 x
2
dx

arctan
x

C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)

a
xdx

ax ln a

C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)

1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;

第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。

②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。

·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。

④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。

·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。

⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。