[推荐学习]2018年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点1与三角变换平面向量综合的三角形问题学

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 难点一 与三角变换、平面向量综合的三角形问题

(对应学生用书第62页)

高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的．

1．向量运算与三角形问题的综合运用

解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用．

【例1】 (镇江市2017届高三上学期期末)已知向量m＝(cos α，－1)，

n＝(2，sin α)，其中α∈0，π2，且m⊥n.

(1)求cos 2α的值；

(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈0，π2，求角β的值．

[解] 法一(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，

代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，

且α∈0，π2，

则cos α＝55，sin α＝255，

则cos 2α＝2cos2α－1＝2×552－1＝－35.

(2)由α∈0，π2，β∈0，π2得，α－β∈－π2，π2.

因sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.

则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝255×31010－55×1010＝22， 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 因β∈0，π2，则β＝π4.

法二(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，

故cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2 α1＋tan2α＝1－41＋4＝－35.

(2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，

且cos2α＋sin2α＝1，α∈0，π2，β∈0，π2，

则sin α＝255，cos α＝55，

由α∈0，π2，β∈0，π2得，α－β∈－π2，π2.

因sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.

则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝255×31010－55×1010＝22，

因β∈0，π2，则β＝π4.

2．三角函数与三角形问题的结合

三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．

【例2】 (2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝π6.

(1)求边c的长；

(2)求角B的大小.

【导学号：56394089】

[解] (1)∵acos B＝3，bcos A＝1，∴a×a2＋c2－b22ac＝3，b×b2＋c2－a22bc＝1，

化为：a2＋c2－b2＝6c，b2＋c2－a2＝2c.

相加可得：2c2＝8c，解得c＝4.

(2)由(1)可得：a2－b2＝8.

由正弦定理可得：asin A＝bsin B＝4sin C， 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 又A－B＝π6，∴A＝B＋π6，C＝π－(A＋B)＝π－2B＋π6，可得sin C＝sin2B＋π6.

∴a＝4sinB＋π6sin2B＋π6，b＝4sin Bsin2B＋π6.

∴16sin2B＋π6－16sin2B＝8sin22B＋π6，

∴1－cos2B＋π3－(1－cos 2B)＝sin22B＋π6，即cos 2B－cos2B＋π3＝sin22B＋π6，

∴－2sin2B＋π6sin－π6＝sin22B＋π6，

∴sin2B＋π6＝0或sin2B＋π6＝1，B∈0，5π12.

解得：B＝π6.

3.三角变换、向量、三角形问题的综合

高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形．

【例3】 (扬州市2017届高三上学期期中)在△ABC中，AB＝6，AC＝32，AB→·AC→＝－18.

(1)求BC的长；

(2)求tan 2B的值．

[解] (1)因为AB→·AC→＝AB×AC×cos A＝－18，且AB＝6，AC＝32，

BC＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A

＝62＋22－－＝310.

(2)法一：在△ABC中，AB＝6，AC＝32，BC＝310，

cos B＝BA2＋BC2－AC22BA×BC＝62＋102－222×6×310＝31010，

又B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝1010，

所以tan B＝sin Bcos B＝13， 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 所以tan 2B＝2tan B1－tan2B＝231－132＝34.

法二：由AB＝6，AC＝32，AB→·AC→＝AB×AC×cos A＝－18可得cos A＝－22，

又A∈(0，π)，所以A＝3π4.

在△ABC中，BCsin A＝ACsin B，所以sin B＝AC×sin ABC＝32×22310＝1010，

又B∈0，π4，所以cos B＝1－sin2B＝31010，所以tan B＝sin Bcos B＝13，

所以tan 2B＝2tan B1－tan2B＝231－132＝34.

4．实际应用中的三角形问题

在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的．

【例4】 (2017·江苏省淮安市高考数学二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

图1

(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈36，33≈5.744 6)

(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

[解] (1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，则AC＝3BC. 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持

△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝sin 120°3＝36，

∴∠BAC＝17°，

∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，

△ABC中，由余弦定理可得cos 120°＝16＋BC2－AC28BC，∴BC≈1.686 15.

B到边界线l的距离为3.8－4sin 30°＝1.8，

∵1.686 15＜1.8，

∴能用最短时间在领海内拦截成功．

(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B(2,23)，设缉私艇在P(x，y)处与走私船相遇，则PA＝3PB，

即x2＋y2＝9[(x－2)2＋(y－23)2]，即x－942＋y－9432＝94，

∴P的轨迹是以94，943为圆心，32为半径的圆，

∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，

∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．

5．综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键．

6．向量与三角形问题的结合

向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景． 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 6．1 向量与三角形谈“心”

内心(三角形内切圆圆心 )：三角形三条内角平分线的交点；

外心(三角形外接圆的圆心)：三角形各边中垂线的交点；

垂心：三角形各边上高的交点；

重心：三角形各边中线的交点，

用向量形式可表示为如下形式：

若P是△ABC内的一点， AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ＞0BP→＝tBA→|BA→|＋BC→|BC→|，t＞0

⇒P是△ABC的内心；

若D、E两点分别是△ABC的边BC、CA上的中点，且

 DP→·PB→＝DP→·PC→EP→·PC→＝EP→·PA→⇒P是△ABC的外心；

若GA→＋GB→＋GC→＝0，则G是△ABC的重心；

若P是△ABC所在平面内的一点，且PA→·PB→＝PA→·PC→＝PC→·PB→，则P是△ABC的垂心．

【例5】 (2017·江苏省泰州市高考数学一模)在△ABC中，若BC→·BA→＋2AC→·AB→＝CA→·CB→，则sin Asin C的值为________.

【导学号：56394090】

[解析] 在△ABC中，设三条边分别为a、b、c，三角分别为A、B、C，

由BC→·BA→＋2AC→·AB→＝CA→·CB→，

得ac·cos B＋2bc·cos A＝ba·cos C，

由余弦定理得：12(a2＋c2－b2)＋(b2＋c2－a2)＝12(b2＋a2－c2)，

化简得a2c2＝2，∴ac＝2，由正弦定理得sin Asin C＝ac＝2.

故答案为：2.