【校本教材】《高中数学思想与方法》校本课程

中学校本课程 中学数学思想 与常用方法

中学数学组 目 录 前言 ……………………………………………………… 0 波利亚的怎样解题表……………………...........................1 第一章 高中数学常用的数学思想 …………………… 8 函数与方程的思想方法……………………...9 分类讨论的思想方法……………………......13 特殊与一般的思想方法……………………..15 数形结合的思想方法……………………......17 化归与转化的思想方法……………………..21 或然与必然的思想方法……………………..23 有限与无限的思想方法……………………..25

第二章 高中数学解题基本方法 ……………………....28 配方法 ………………………………………28 换元法 ………………………………………31 待定系数法 …………………………………34 反证法 ………………………………………38 定义法………………………………………..41 数学归纳法 …………………………………44 序 言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 《高中数学思想与方法》课程纲要 一、基本项目 课程名称:《高中数学思想与方法》 课程类型:知识拓展类 授课教师: 授课对象:高二学生 二、课程目标 高中学生在学习数学知识的同时应当对数学的思想和方法有所了解和认识，这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方法，需要学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科学探究、创新活动奠定坚实的基础所必须具有的思想与方法。因此本课程旨在为学有余力的同学提供知识拓展并形成系统而扎实的学科知识体系，加深对数学概念和规律的理解，达到培养具有完备的学科思想和具有独立科学探究能力，掌握灵活应用学科知识进行分析和解决问题的能力，为终身学习打下良好的基础，同时，也为全国奥林匹克竞赛发现人才和选拔人才做准备。 1、知识与技能 A．系统学习和掌握高中数学知识，深刻理解数学的有关概念，掌握数学相关规律。 B．掌握数学的科学思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析数学问题和解决数学问题。 2、过程与方法 A．经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动。 B．体会数学的科学思想和科学研究方法。 C．学会如何分析数学情景，学会如何进行建模，熟练掌握分析问题和解决问题的常规和典型的方法与技巧。 3、情感态度及价值观 A．通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的发展和数学为社会的发展所带来的巨大贡献。 B．树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。 三、课程简介 本课程包括以下专题：（一）高考中常用数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法；（二）高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。每个专题都有所侧重，均在课程模块学习的基础上进行拓展学习，必要时可以进行加深，以达到系统掌握数学思想与方法。 四、课程实施 学时安排:每个专题安排时间约为2课时，总课时为20学时，学生每修完本专题可获得1学分。每周开1课时，时间0.5学年。 教学方式:课内理论教授与课外实践相结合,要求课堂采用教师讲解法与学生探讨法为主,贯彻新课改精神,采取启发式教学,同时要求学生课后积极实践,即多想多练,课堂内外相结合,培养学生的基本数学素养。 五、课程评价 课程评价采用过程性评价和终结性评价相结的方式，以量化的形式体现： 1、过程性评价 考勤（10%），课堂交流参与度（10%）；完成作业（任务）情况（20%）；同学互评（10%）。 2、终结性评价 每个模块学习结束时，进行一次能力测试或完成一项研究报告（50%）。 3、最终评定成绩由上述二方面组成，每方面均不低于应得的60%，可获得相应的学分。

波利亚的怎样解题表 1、乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． 2、怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”． 2．1“怎样解题”表的呈现 第一：弄清问题

弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能? 要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来? 第二：拟定计划 找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题． 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题． 你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用不得不考虑辅助问题． 你应该最终得出一个求解的计划 它，你 是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去． 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?

第三：实现计划 实行你的计划 实现你的求解计划，检验每一步骤． 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

第四：回顾 验算所得到的解

你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子

看出它来? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生． 2．2“怎样解题”表的实践 例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积) 讲解第一，弄清问题． 问题1．你要求解的是什么? 要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图