24.1.4_圆周角_同步测控优化训练(含答案)

新人教版九年级上册24.1.4圆周角同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（）A．3﹣B．C．D．24．如图，△ABC看，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．85．下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形4。

其中真命题的个数有【】A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．7．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是AC的中点，则∠DAC的度数是________．8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．9．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则∠ABD=_____．10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_____．三、解答题11．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．12．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD= 时，四边形EBCA是矩形．13．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．14．（1）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，求∠BOC的度数．（2）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．参考答案1．D【分析】首先圆上取一点A ，连接AB ，AD ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【详解】圆上取一点A ，连接AB ，AD ，∵点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故选D ．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．D【解析】【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．【详解】由图可知，OA=10，OD=5，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=5，，∴tan ∠1=AD OD=∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°， ∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°， ∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.3．D【分析】先根据勾股定理计算直径作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=2，BC=4，∴，∵CD=BD，∴CD BD=，∴∠CAD=∠BAD，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，∴PD=DQ，∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），∴CP=BQ，易得△APD≌△AQD，∴AP=AQ，设PC=x，则AP=2+x，-x，∴，，∴，OQ=1，Rt△ODQ中，，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，∵DC BC=，∴∠CAD=∠DCB，∴∠ACE=∠ECB，∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ECB=45°，过E作EF⊥AP于F，∴△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则a，AF=2-a，∵EF∥PD，∴△AFE ∽△APD ， ∴EF AF PD AP＝， ∴2a＝，∴∴（.故选D ．【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC 是关键．4．D【分析】连接AE ，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，继而知点Q 、E 、C 三点共线时CE 最小，根据勾股定理求得QC 的长，即可得线段CE 的最小值．【详解】如图，连接AE ，则∠AED=∠BEA=90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，∵AB=10，∴QA=QB=5，当点Q 、E 、C 三点共线时，QE+CE=CQ （最短），而QE 长度不变，故此时CE 最小，∵AC=12，∴，∴CE=QC-QE=13-5=8.故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．5．A。

24.1.4 圆周角学习目标1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角定理及其推论.3. 理解圆内接四边形的性质，探究四点共圆时的性质.课堂学习检测一、填空题1. 在圆上，并且角的两边都的角叫做圆周角.2. 一条弧所对的圆周角等于圆心角的 .3. 所对的圆周角 .4. 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 .5. 圆内接四边形的对角 .̂的中点，则图中与∠BAC相等的角有6. 如图, 在⊙O中, 若点 C 是BD.二、选择题7. 如图, OA是⊙O的半径, 弦BC⊥OA, D 是⊙O上一点, 且点 D 在优弧BC 上. 若∠ADB =28°, 则∠AOC的度数为 ( ).(A) 14° (B) 28° (C) 56° (D) 84°综合·运用·诊断一、填空题8. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦. 若∠ACD =65°, 则∠BAD的度数为9. 如图, 点 B, C, D 在⊙O 上. 若∠BCD =130°, 则∠BOD 的度数为 .10. 如图, A, B, C是⊙O上的三点, 且四边形OABC是菱形. 若点 D 是圆上异于A, B, C 的另一点, 则∠ADC的度数是 .二、选择题11. 如图, 点A, B, C, D, E均在⊙O上, 且AC为⊙O的直径, 则∠A+∠B+∠C的度数为( ).(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°̂分成相等的三段弧，点P 在AĈ上. 若点Q在12. 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D将ABAB̂上且∠APQ=115°,则点 Q所在的弧是 ( ).̂(B)PĈ(C)CD̂(D)DB̂(A)AP三、解答题.13. 如图, A, B, C, D四个点都在⊙O上, AD是⊙O的直径且AD=6cm,∠ABC=∠CAD.(1) 求弦AC的长;(2) 求∠CAD的度数.14. 如图, ⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点 D.求证：∠ACD=∠BCE.拓展·探究·思考15. 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求AD的长.16. 如图, AB是⊙O的直径, 弦(CD⊥AB,E是⌢AC上一点, AE, DC的延长线交于点 F.求证：∠AED=∠CEF.。

圆周角1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，那么∠AOC等于( D )图21－1－41A．50°B．80°C．90°D．100°2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100°，那么∠A的度数为( B )图21－1－42A．40°B．50°C．80°D．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延伸线上的一点，∠BOD ＝100°，那么DCE的度数为(C)∠A．40°B．60°C．50°D．80°【分析】依据圆周角定理，可求得∠A的度数；因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，依据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.图24－1－434．如图21－4－44，在⊙O中，∠OAB＝°，那么∠C的度数为( D )图21－4－44D．°A．135° B.°°【分析】∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBC＝°，∴∠AOB＝180°－°－°＝135°.1∴∠C＝2(360°－135°)＝.°5．[2021·苏州]如图21－4－45，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，DAB等于(C)那么∠图21－4－45第5题答图A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连结BD，如图，∵点D是弧AC的中点，即弧CD＝弧AD，∴∠ABD＝∠CBD，而∠ABC＝50°，1∴∠ABD＝×50°＝25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－25°＝65°.6．[2021湘·潭]如图24－1－46，在⊙O中，弦AB∥CD，假定∠ABC＝40°，那么∠BOD＝( D )图24－1－46A．20°B．40°C．50°D．80°【分析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BOD＝2∠BCD＝2∠ABC＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB，CD订交于点O，连结AD，BC，在不增添协助线的状况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不独一，如∠A＝∠C等__．图24－1－478．[2021·家界张]如图24－1－48，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC＝40°，那么∠BOD__80°__．24－1－489．如图24－1－49，假定AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，那么BC＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，假定∠CAB＝55°，那么∠ADC的大小为__35__度．【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC订交于点D，连结AD，那么∠DAC的度数为__30°__．【分析】因为AB为⊙O的直径，因此∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，因此AD是∠BAC的均分线，因此∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延伸交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连结BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝1∠BOC，∴∠C＝1∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋22∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，假定∠B＝70°，那么∠A＝__20°__．图24－1－53【分析】因为CD⊥AB，∠B＝70°，因此∠C＝20°，因此∠A＝20°.14．如图24－1－54，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延伸线上，BD＝BC，那么∠D＝__27°__．【分析】∠ABC＝12∠AOC＝12×108°＝54°.因为BD＝BC，因此∠D＝12∠ABC＝12×54°＝27°.图24－1－54图24－1－5515．如图24－1－55，AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.求证：BE＝DF；写出图中4组不一样的且相等的劣弧(不要求证明)．【分析】(1)第一由平行线性质获得∠EBA＝∠COA＝∠CDF，而后依据相等的圆周角所对︵︵︵︵BE＝DF；的弧相等即可证明ECA＝CAF，进一步获得BE＝DF，再依据等弧平等弦即可获得(2)依据等弦平等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可获得4组不一样的且相等的劣弧．解：(1)证明：∵DF∥AB，BE∥DC，︵︵∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF，∴ECA＝CAF，︵︵∴BE＝DF，∴BE＝DF.︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵(2)图中相等的劣弧有：DF＝BE，EC＝FA，AC＝BD，DA＝BC，BF＝DE等．图24－1－5616．：如图24－1－56，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的均分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.求证：∠DAC＝∠DBA；求证：P是线段AF的中点．证明：(1)∵BD均分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA.(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA.又∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，∠ADE＝∠DAC，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点．17．：如图24－1－57(1)，在⊙O中，弦AB＝2，CD＝1，AD⊥BD.直线AD，BC订交于点E.求∠E的度数；(2)假如点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC订交所成锐角的大小能否改变？试就以下两种状况进行研究，并说明原因(图形未画完好，请你依据需要补全)．①如图(2)，弦AB与弦CD交于点F；②如图(3)，弦AB与弦CD不订交．图24－1－57【分析】(1)连结OC，OD，那么∠COD＝60°，且∠DBE＝12∠DOC＝30°.解：(1)如图(1)，连结OC，OD.∵AD⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝1∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE260°.①如图(2)，连结OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC60°，∴∠DAC＝12∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－∠EBD＝60°.②如图(3)，连结OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.。

圆周角1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于(D)图21－1－41A．50°B．80°C．90°D．100°2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为(B)图21－1－42A．40°B．50°C．80°D．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE的度数为(C)A．40°B．60°C．50°D．80°【解析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.图24－1－434．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为(D)图21－4－44A．135° B. 122.5° C. 115.5°D．112.5°【解析】∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C ＝12(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )图21－4－45 第5题答图A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【解析】 连接BD ，如图，∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )图24－1－46A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__．24－1－489．如图24－1－49，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD 是∠BAC的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝12∠BOC，∴∠C＝12∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝70°，则∠A ＝__20°__．图24－1－53【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__．【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12×54°＝27°.图24－1－54图24－1－5515．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ； (2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧． 解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点．证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .(1)求∠E 的度数；(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)．①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．图24－1－57【解析】(1)连接OC，OD，则∠COD＝60°，且∠DBE＝12∠DOC＝30°.解：(1)如图(1)，连接OC，OD.∵A D⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝12∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE＝60°.(2)①如图(2)，连接OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC＝12∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－∠EBD＝60°.②如图(3)，连接OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.。