2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第10讲 抛物线(核心考点讲与练)练习

上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的性质》教案 沪教版一、教学内容分析本小节的难点是应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等. 二、教学目标设计1．根据抛物线方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质，进一步体会用方程研究曲线的基本方法； 2．研究另外三种标准位置的抛物线的性质，学会类比；3．应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，体会数形结合和方程的思想. 三、教学重点及难点抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程，应用抛物线定义解决一些与焦点弦长有关的问题. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、抛物线的定义； 2、四种标准方程形式；3、抛物线方程)0(22>=p px y 中参数p 的含义. 二、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质. 1、对称性在方程px y 22=中，以y -换y ，方程不变，这表明：如果点),(y x P 在抛物线px y 22=上，那么点P 关于x 轴对称的点),('y x P -也在该抛物线上，即抛物线px y 22=关于x 轴对称，是轴对称图形.请学生讨论抛物线px y 22=是否为中心对称图形？ 2、顶点抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点.抛物线px y 22=的顶点为坐标原点)0,0(. 3、范围课堂小结并布置作业抛物线的对称性、运用与深化(例题解析、巩固练习)px y 22=（0>p ）抛物线四种标准形问题驱动在方程px y 22=中，因为0>p ，所以0≥x ，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在y 轴的右侧.在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸.⏹ 请学生讨论抛物线px y 22=在第一象限内向右上方无限延伸时是否存在渐近线？ 4、焦点和准线抛物线px y 22=的焦点在x 轴上，其坐标为)0,2(pF .抛物线px y 22=的准线平行于y 轴，其方程为2p x -=. ⏹ 请学生分别写出抛物线)0(22>-=p px y 、)0(22>=p py x 、 )0(22>-=p py x 的焦点坐标和准线方程.5、例题解析 例1 求抛物线231x y =的焦点坐标和准线方程. [说明]本例考查抛物线的标准方程和性质.先让学生说出抛物线231x y =的标准形式，进而求出焦点坐标和准线方程.解：抛物线231x y =的标准方程为y x 32=，23=p ，于是焦点为)43,0(F ，准线方程为43-=y . 例2 教材上P66例1.[说明] 本例考查抛物线的四种标准位置.按照焦点在x 轴上或在y 轴上分情况讨论，培养学生严谨的思维习惯.例3 教材上P67例2.[说明] 本例培养学生的方程思想，将图像的交点个数问题转化为方程的解的个数问题；①既要考虑斜率存在的直线，也要考虑斜率不存在的直线；②形如02=++c bx ax 的方程有惟一解的条件：⎩⎨⎧≠=0,0b a 或⎩⎨⎧=∆≠.0,0a例4 教材上P67例3.[说明]本例培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.①如何建立直角坐标系？②如何根据条件确定抛物线的方程？三、巩固练习1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值.[说明]根据点M 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进 而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，其准线方程为2p y =. 根据抛物线的定义，有312=+p，所以4=p . 抛物线的方程为y x 82-=，准线方程为2=y ，焦点坐标为)2,0(-F ，将点)1,(-m M 的坐标代入方程y x 82-=，算得22±=m .2、已知),(00y x P 是抛物线px y 22=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2||0p x PF +=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -=的垂线，垂足为Q ，则),2(0y pQ -.根据抛物线的定义，2)2(||||00px p x PQ PF +=--==.3、若抛物线x y 42=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程. [说明]根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示. 解：抛物线的焦点为)0,1(F .设焦点弦的两个端点分别为),(11y x A 、),(22y x B .由条件，52)2()2(||||||2121=++=+++=+=x x px p x BF AF AB ，所以321=+x x . 如果直线AB 平行于y 轴，那么121==x x ，这与321=+x x 矛盾，所以直线AB 不平行于y 轴. 设焦点弦所在直线方程为)1(-=x k y ，联立方程⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 消去y ，得到0)2(22222=++-k x k x k ， 根据韦达定理，3)2(22221=+=+kk x x ，求出2±=k ，于是焦点弦所在直线AB 的方程为022=-±y x . 四、课堂小结1、抛物线)0(22>=p px y 的对称轴，顶点，范围，焦点坐标以及准线方程.2、求抛物线方程时，先判断本题中的抛物线属于四种标准方程形式中的哪一种，然后根据条件确定p 的值.3、如果问题与焦点弦长有关，那么可以用焦半径公式表出弦长，然后应用韦达定理加以解决. 五、课后作业注重对抛物线性质的推导过程，以问题驱动的形式促使学生对抛物线的性质进行较为深入地思考，在讲解对称性时抛出问题“抛物线是中心对称图形吗，为什么？”，让学生从几何图形上判断结果，并从代数方程上进行推导.在讲解抛物线的范围时，引导学生和双曲线进行比较“抛物线有渐近线吗，为什么？”，让学生去讨论.例1考查抛物线的标准方程和性质，例2考查抛物线的四种标准位置，例3培养学生的方程思想，例4培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.紧扣抛物线的定义，引导学生灵活解决与焦点弦有关的问题，并以此为素材，激发学生发现。

第３章 空间向量及其应用（基础30题专练）一、单选题1．（2019·上海松江·高二期末）若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与bA ．相交B ．垂直C ．平行D ．以上都不对【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标关系得解. 【详解】122244-==-- ，所以向量a 与b 平行. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．（2017·上海·华师大二附中高二期中）如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为45. 【答案】B 【详解】试题分析：由正四面体的性质知ABC 是等边三角形，且OA OB OC 、、两两垂直，所以A 正确；借助正方体思考，把正四面体ABCD 放入正方体，很显然直线OB 与平面ACD 不平行，B 错误.考点：正四面体的性质、转化思想的运用.3．（2018·上海浦东新·高二期末）设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是. A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行【答案】D 【详解】∵直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =- ∴6(1)23300d n ⋅=⨯-+⨯+⨯= ∴直线l 在平面α内或平行 故选D.4．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c ++B ．11+22a b c - C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++【答案】D 【分析】由题意可得B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(b ⃗ −a ),化简得到结果． 【详解】由题意可得B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12 (b ⃗ −a )=−12a +12b ⃗ +c ,故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．5．（2020·上海长宁·高二期末）平面上O 、A 、B 三点不共线，设OA a =，OB b =，则OAB 的面积等于（ ） A ．√|a |2|b ⃗ |2−(a ⋅b ⃗ )2 B ．√|a |2|b ⃗ |2+(a ⋅b ⃗ )2 C ．12√|a |2|b ⃗ |2−(a ⋅b⃗ )2 D ．12√|a |2|b ⃗ |2+(a ⋅b⃗ )2 【答案】C 【分析】由三角形的面积公式可知1sin ,2OABS a b a b =，结合数量积公式可选出正确答案. 【详解】解：由三角形的面积公式知211sin ,1cos ,22OABSa b a b a b a b ==- ()222222221cos ,2a b a b a b a b a b=-=-⋅.故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积.6．（2021·上海市西南位育中学高二期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B 【分析】根据平面向量的基本性质、数量积公式和运算律，逐项排除. 【详解】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B . 【点睛】注意考查平面向量的基本概念和运算律，注意()0⋅-=a b c 它的运算.二、填空题7．（2019·上海市青浦区第一中学高二期中）已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b +=____．【分析】利用空间向量的坐标运算法则求出a b +，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=- ∴()=1,3,5a b +--∴()1a b +=-【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.8．（2019·上海·复旦附中高二期中）在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()0,2,0B ，(P ，则向量AP 与BP 的夹角为______.【答案】 【分析】根据向量的夹角公式，将向量AP 与BP 代入即可得夹角的余弦值。

第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件， 故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π， 故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值 【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点． （1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角 ，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________． 【答案】4(0,]3； 【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。

第3章圆锥曲线与方程第03讲抛物线课程标准重难点1.理解抛物线的定义2.掌握抛物线的几何意义1.抛物线的定义2.抛物线的焦半径与弦长知识精讲知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．❶其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．知识点二抛物线的标准方程和几何意义标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F02p⎛⎫⎪⎝⎭，F02p⎛⎫- ⎪⎝⎭，F02p⎛⎫⎪⎝⎭，F02p⎛⎫-⎪⎝⎭，离心率e＝1准线方程x ＝－2p x ＝2p y ＝－2p y ＝2p 范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋2p |PF |＝－x 0＋2p |PF |＝y 0＋2p |PF |＝－y 0＋2p 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线．四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即24p ＝2p 不同点(1)焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x 2；(2)开口方向与x 轴(或y 轴)的正半轴相同，即焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的负半轴相同，即焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号.知识点三常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p 0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝24p ，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝1cos p α-，|BF |＝1cos p α+，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin Pα(α为弦AB 的倾斜角)；(3)112||||FA FB P+=；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．能力拓展考法01抛物线的定义及应用例1(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】(1)B(2)4【解析】(1)设P(x P，y P)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴x P＋1＝2，∴x P＝1.代入抛物线方程得|y P|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|y P|＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B作B Q垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|B Q|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.【跟踪训练】1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】25【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝2242 ＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【答案】5【解析】如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到点F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到点F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.【方法总结】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋2p 或|PF |＝|y |＋2p.考法02抛物线的标准方程与几何意义例2(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】(1)B (2)C【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－2p 且过点(－1,1)，故－2p＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M (x 0，y 0)，则AF ＝22p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，AM＝200,22y y p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由已知得，AF ·AM ＝0，即2y －8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M 8,4p ⎛⎫⎪⎝⎭.由|MF |＝5，得5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .【方法总结】1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．考法03直线与抛物线的位置关系例3设A ，B 为曲线C ：y ＝22x 上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝212x ，y 2＝222x ，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝12121212y y x x x x -+==-.(2)由y ＝22x ，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝1||2m +.将y ＝x ＋m 代入y ＝22x ，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝.从而|AB ||x 1－x 2|＝.由题设知|AB |＝2|MN |，＝1||2m +，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.【方法总结】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．课堂小结1.知识体系(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．【答案】①x 轴正向②倾斜角③0°④0°α <180°⑤()211221-≠-y y x x x x ⑥tan α⑦k >0⑧90°⑨增大分层提分题组A 基础过关练1．已知抛物线C ：22x py =()0p >的焦点为F ，点(),1A t 在C 上且满足2AF =，则p =（）A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】D【解析】由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，12,22pp +==故选：D 2．已知点P 到点()0,1F 的距离比它到直线:20l y +=的距离小1，则点P 的轨迹方程为（）A ．24x y =-B ．24x y =C ．24y x =-D ．24y x=【答案】B【解析】由题意，点P 到点()0,1F 的距离等于它到直线1y =-的距离，则点P 的轨迹是以F 为焦点，1y =-为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为24x y =，故选：B .3．设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点．若5PF =，则OPF △的面积为（）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】由题意可得点F 的坐标(1,0)，准线方程为1x =-，因为P 为抛物线上一点，5PF =，所以点P 的横坐标为4，当4x =时，24416y =⨯=，所以4y =，所以OPF △的面积为11422⨯⨯=，故选：D4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率k =）A ．准线方程为3x =-B ．焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭C ．点P 的坐标为92⎛ ⎝D ．PF 的长为3【答案】BC【解析】由抛物线方程为26y x =，∴焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x -，A 错B 对；直线AF 的斜率为∴直线AF 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，当32x =-时，y =32A ⎛∴- ⎝，PA l ⊥ ，A 为垂足，∴点P 的纵坐标为P 的坐标为92⎛ ⎝，C 对；根据抛物线的定义可知93||||622PF PA ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，D 错.故选:BC.5．已知方程221(,)mx ny m n R +=∈，则下面四个选项中正确的是（）A ．当0m n >>时，方程表示椭圆，其焦点在y 轴上B ．当0m n =>C ．当0mn <时，方程表示双曲线，其渐近线方程为y x =D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】ACD【解析】由221mx ny +=，可得22111x y m n+=，对A ，当0m n >>，则110m n<<，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对B ，当0m n =>B 错误；对C ，当0mn <时，方程表示双曲线，渐近线方程为220mx ny +=，即y x =，故C 正确；对D ，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D 正确；故选：ACD.6．若抛物线22y px =（0p >）的准线经过双曲线222x y -=的一个焦点，则p =______．【答案】4【解析】双曲线222x y -=的左焦点为（﹣2，0），故抛物线22y px =的准线为2x =-，∴22p=，∴4p =，故答案为：4．7．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点0(3,)M y 到F 的距离为6，则0=y ____．【答案】6±；【解析】因为抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点0(3,)M y 到F 的距离为6，所以362p+=，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，所以20123y =⨯，得06y =±，故答案为：6±8．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，位于第一象限的两点A ，B 均在E 上，若||3,||5,||22FA FB AB ===，则直线AB 的倾斜角为________．【答案】4π【解析】如图，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，过A 作AE BD ⊥于E ，则3,5AF AC BF BD ====，所以2BE =，因为22AB =，所以22sin 222BE EAB AB ∠===，因为(0,)2EAB π∠∈，所以4EAB π∠=，所以直线AB 的倾斜角为244πππ-=，故答案为：4π题组B 能力提升练1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，抛物线216y x =与双曲线C 共焦点，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是等边三角形（O 为原点），则双曲线的标准方程为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】A【解析】因为抛物线216y x =的焦点坐标为：(4,0)，所以有2216a b +=，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，因为点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是等边三角形，所以有22tan 603bb a a︒=⇒=，而2216a b +=，解得：224,12a b ==，故选：A 2．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】 抛物线方程为24y x =，∴抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-设线段AB 的中点为0(3,)M y ，则M 到准线的距离为：||3(1)4MN =--=，过A 、B 分别作AC 、BD 与l 垂直，垂足分别为C 、D ，根据梯形中位线定理，可得||||2||8AC BD MN +==，再由抛物线的定义知：||||AF AC =，||||BF BD =，||||||||||8AB AF BF AC BD ∴=+=+=．故选：D.3．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2【答案】C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝12|FC|＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.4．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：2y x=，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过r上的点()11,A x y反射后，再经r上另一点()22,B x y反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．121y y =-B ．2516AB =C ．PB 平分ABQ ∠D ．延长AO 交直线14x =-于点C ，则C ，B ，Q 三点共线【答案】BCD【解析】设抛物线的焦点为F ，则1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.因为41,116P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1//l x 轴，故()1,1A ，故直线10141:143314AF y x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭-.由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得231044y y --=，故1214y y =-，故A 错.又11y =，故214y =-，故11,164B ⎛ ⎝⎭，故1125116216AB =++=，故B 正确.直线:AO y x =，由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得11,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C B y y =，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确.因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，故=ABP APB ∠∠，而12//l l ，故=PBQ APB ∠∠即=ABP PBQ ∠∠，故PB 平分ABQ ∠，故C 正确.故选：BCD.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC 【解析】由题意知，12p=，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，对于A ，当PQ x ⊥轴时，PQ 取得最小值为24p =，所以A 正确；对于B ，曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，所以点S ，T 的横坐标之和为1028-=，则线段ST 的中点横坐标为4，所以B 正确；对于C ，设(0,1)M ，则1PM PP PM PF FM +=+≥=,,M P F 三点共线时取等号，所以C正确；对于D ，当直线过点(0,1)M 且与x 轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点(0,1)M 且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点(0,1)M 与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D 错误，故选：ABC6．已知点M 为圆()()221:21x O y -+-='上的动点，过圆心作直线l 垂直于x 轴交点为A ，点B 为A 关于y 轴的对称轴，动点N 满足到点B 与l 到的距离始终相等，记动点N 到y 轴距离为m ，则m MN +的最小值为__________．【答案】2-【解析】如图所示：，由抛物线的定义可知，动点N 的轨迹为开口向左的抛物线，其焦点坐标为(10)B -，，准线方程为1x =，所以抛物线方程为24y x =-．圆()()221:21x O y -+-='的圆心为()1,2O '，半径为1R =，连接O B '交圆O '于M 点，交抛物线于N 点，此时||MN m +最小，利用两点距离公式得||O B '=所以||MN m +的最小值为22pO B R '--=．故答案为：27．已知抛物线：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=︒，6PF =，则抛物线C 的方程为________________________.【答案】26x y =【解析】设准线与x 轴的交点为H ，准线为2p x =-，焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义知PE PF =，又60PFE ∠=︒，所以PFE △为等边三角形，且30FEH ∠=︒，所以6EF PF ==,则132HF EF ==，又因为HF p =，因此3p =，故抛物线C 的方程为26x y =；故答案为：26x y =.8．已知抛物线C ：()220y px p =>，其焦点F 到其准线的距离为12，过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，求：（1）抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）AB .【解析】（1）∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为12，即12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 的方程为14y x =-，联立214y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2162410x x -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12243162x x +==，∴1231222AB x x p =++=+=.题组C 培优拔尖练1．已知抛物线216y x =，过点(2,0)M 的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若||12AF =，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】抛物线216y x =的准线方程为4x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线的定义可知，2111412,8,168x x y +===⨯，由抛物线的对称性，不妨令1y =，设直线AB 的方程为2x my =+，由22,16,x my y x =+⎧⎨=⎩得216320y my --=，1232y y =-，∴2y =-，四边形OAFB的面积1211||422S OF y y =⋅-=⨯⨯=A ．2．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A （1，0）和定直线l ：2x=的距离之比为12的点的轨迹方程是22143x y +=；②点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是()3,6A ，则PA PM +的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数λ（0λ>）的点的轨迹是圆；④若动点(),M x y24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线；⑤若过点()1,1C 的直线l 交椭圆22143x y+=于不同的两点A ，B ，且C 是AB 的中点，则直线l 的方程是3470x y +-=．其中真命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①：设动点(),P x y ，由题意可得：12PA d =12=，整理化简得：223440x x y -+=，即求出的轨迹方程为：223440x x y -+=.故①错误；对于②：设P 到抛物线的准线的距离为d ，则12d PM =+，由抛物线的定义得，d PF =,所以1122PM d PF =-=-，所以12PA PM PA PF +=+-，如图示，当P 运动到Q 点时，P 、A 、F 三点共线，12PA PM PA PF +=+-最小，此时1113162222PA PM FA +=-==-=，故②正确；对于③：当1λ=时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；对于④：“若动点(),M x y 24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；对于⑤：当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =1，AB 的中点为（1,0），不符合题意；设直线l 的斜率为k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x -=-.因为A B 、在椭圆22143x y +=上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：2222121243x x y y =---，所以2121212134y y x x k x x y y -+==--- 因为()1,1C 是AB 的中点，所以21211,122x x y y++==，所以21213344x x k y y +=-=--，所以直线l 的方程是3470x y +-=.故⑤正确.故选：B3．已知F 是抛物线C ：22y px =()0p >的焦点，直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，满足23PFQ π∠=，记线段PQ 的中点A 到抛物线C 的准线的距离为d ，则dPQ的最大值为（）A ．3BCD ．13【答案】C【解析】设||,||PF m QF n ==，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为','P Q ，则','PP m QQ n ==，因为点A 为线段PQ 的中点，所以根据梯形中位线定理得点A 到抛物线C 的准线的距离为|'|'22PP QQ m nd ++==，因为23PFQ π∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222||2cos3PQ m n mn m n mn π=+-=++，所以22222222()()1||4()4()41()d m n m n PQ m n mn mn m n mn m n ++===++⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦-⎢⎥+⎣⎦，又因为2()4m n mn +≥，所以21()4mn m n ≤+，当且仅当m n =时等号成立，所以22111||34(1)4d PQ ≤=⨯-，故3d PQ ≤.所以d PQ故选：C4．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，2BF =，则（）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916【答案】BCD【解析】1:(122)l x y =--≤≤为线段SQ ，2l ：120()x y =-≤≤为线段FR ，又12(,)(,)d P l d P l =，①当20-≤≤y 时，由题意可得，点P 在y 轴上；②当2y <-时，1(),d P l PQ =，()2,d P l PR =，此时点P 在y 轴上；③当02y ≤≤时，1(),d P l 为点P 到1x =-的距离，2(),d P l PF =，此时点P 的轨迹是一条抛物线，准线方程为1x =-，所以2p =，故抛物线的标准方程为24y x =；④当2y >时，1(),d P l PS =，2(),d P l PF =，此时点P 在SF 的中垂线上，而2()1,S -，(1,0)F ，中点坐标为(0,1)，所以2111SF k ==---，所以点P 在直线1y x =+上，故选项A 错误；又54AF =，所以514A x +=，解得14A x =，故点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确；因为2BF FT =>，又点B 在1y x =+上，联立方程组2221(1)y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎝⎭⎩，可得35,22x y ==，所以点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选项C 正确；516231524ABk -==-，故直线AB 的方程为61154y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线AB 与1x =的交点坐标为191,10G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以119119319112104210216FAB FGA FGB S S S ⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△，故选项D 正确.故选：BCD.5．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过点()0,1P -斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，若M 是直线l 上的一个动点，()3,0E ，则MF ME -的最大值为________．【答案】1【解析】设直线l 的方程为1y kx =-（0k >），()11,A x y ，()22,B x y 联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，得2880x kx -+=，所以128x x k +=，所以1242Q x x x k +==，所以2141Q Q y kx k =-=-，因为AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，所以2413k -=，0k >，所以1k =，则直线l 的方程为1y x =-，设点F 关于直线l 的对称点为(,)F a b '，所以2122b a+=-，且21b a-=-，解得3a =，1b =-，所以点F 关于直线l 的对称点为(3,1)F '-，所以||||||||||||||1MF ME MF ME EF -='-'= ，当M 在射线F E '与直线l 的交点时，取等号，故答案为：1．6．已知圆C :()2234x y -+=，点M 在抛物线T ：24y x =上运动，过点M 引直线1l ，2l 与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣【解析】如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，,CP MP CQ MQ ⊥⊥，而||||2CP CQ ==，而||||MP MQ =，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt CPM 面积的2倍，从而得11||||2||||22PQ CM CP MP ⋅=⋅⋅，即2||||||||CP MP PQ CM ⋅===设点(,)M t s ，而(3,0)C ，()240s t t =≥，则22222||(3)29(1)88CM t s t t t =-+=-+=-+≥，当且仅当t =1时取“=”，20,||[8,)t CM ∀≥∈+∞，因此得2410||2CM <≤，即214112||CM ≤-<，得||4PQ ≤<，所以PQ 的取值范围为4).故答案为：)4⎡⎣。