上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。

2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。

3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。

2020-2021学年上海市重点高中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线∣∣∣x1y2∣∣∣=0的一个法向量是( ) A. n⃗ =(2,1) B. n⃗ =(1,2) C. n⃗ =(2,−1) D. n⃗ =(1,−2) 2. 已知a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2∈R ，直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0，则“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知△ABC ，点D 为边BC 上一点，且满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 如图所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，AB =BP =2，过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ，则△QAP 的面积的最大值为( )A. 83B. 8√33C. 163D. 16√33二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 关于x 、y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为______．6. 直线x −y +1=0的倾斜角大小为______．7. 已知圆C 的半径为2，直线l 与圆相交于A 、B 两点，且圆心C 到直线l 的距离为1，则线段AB 的长度为______．8. 已知矩阵A =(0210)，B =(12)，则AB =______．9. 直线l 的一个方向向量为d⃗ =(1,2)，则l 与直线x−12=y−21的夹角的大小为______.(结果用反三角表示)10. 在平面直角坐标系中，已知点P 1(−1,1)，P 2(1,3)，点P 满足P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P的坐标为______．11. 过点M(1,2)且与圆x 2+y 2=5相切的直线的一般式方程为______．12. 直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限，则l 1的斜率k 的取值范围是______．13. 在平面直角坐标系内，已知直线l 的一个方向向量为e ⃗ =(45,35)，点O(0,0)和M(−1,−2)在l 上的投影分别是点O 1和M 1，若O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ⃗ ，则实数λ的值为______． 14. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）15. 已知m ∈R ，利用行列式求关于x 、y 的方程组{mx +2y =m +42x +my =m有唯一解的充要条件，并在此条件下写出该方程组的解．16. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =2，点M为边BC 的中点，点N 在边CD 上．(1)若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求此时点N 的位置．17. 已知k ∈R ，向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)．(1)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，求k 的值；(2)若向量2a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为钝角，求k的取值范围．18.已知正方形的一条边AB所在直线为x−3y−1=0，正方形的中心为R(0,1).求：(1)该正方形的面积；(2)该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程．19.我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆C1：x2+y2=1，直线l：3x−4y+m=0．(1)若直线l关于圆C1的距离比λ=2，求实数m的值；(2)当m=0时，若圆C2与y轴相切于点A(0,3)，且直线l关于圆C2的距离比λ=6，5试判断圆C1与圆C2的位置关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线∣∣∣x1y 2∣∣∣=0，即2x −y =0，它的一个法向量是(2,−1)， 故选：C ．由题意利用行列式的运算法则求出直线的方程，再根据直线的法向量的定义，求出直线的一个法向量．本题主要考查行列式的运算法则，直线的法向量的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由“a 1a 2+b 1b 2=0”一定能推出“直线l 1与l 2垂直”，满足充分性， 由“直线l 1与l 2垂直”一定能推出“a 1a 2+b 1b 2=0”，满足必要性， 故“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的充要条件． 故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，∵AB =BP =2，∴P(3,0)， 设Q(x,y)，∵过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ， ∴PQ 2=4QR 2，即(x −3)2+y 2=4(x 2+y 2−1)， 整理得，(x +1)2+y 2=163，∴点Q 的轨迹方程是以(−1,0)为圆心，以r =4√33为半径的圆， ∴当点Q 在直线x =−1上时，△QAP 的面积的最大， ∴(S △PAQ )max =12×4×4√33=8√33． 故选：B ．以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得Q 到AB 距离的最大值，由此能求出△QAP 的面积的最大值．本题考查三角形面积的最大值的求法，注意两点间距离公式的合理运用，是中档题．5.【答案】(31124−3)【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为(31124−3)， 故答案为：(31124−3)．由增广矩阵的定义可求解； 考查增广矩阵的概念，属于基础题；6.【答案】45°【解析】解：由直线x −y +1=0变形得：y =x +1 所以该直线的斜率k =1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1， ∵α∈[0,180°)， ∴α=45°．故答案为：45°．把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．7.【答案】2√3【解析】解：如图，过O 作OD ⊥AB 于点D ，连结AO ，则D 为AB 的中点．Rt △AOD 中，AD =√AO 2−OD 2=√22−12=√3． 则AB =2AD =2√3． 故答案是：2√3．利用垂径定理和勾股定理解答．考查了直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】(41)【解析】解：∵矩阵A =(0210)，B =(12)，∴AB =(0210)(12)=(41)．故答案为：(41)．利用矩阵的乘法法则能求出AB ．本题考查矩阵乘积的求法，考查矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】arctan 34【解析】解：由于直线l 的一个方向向量为d ⃗ =(1,2)， 故直线l 的斜率为2，直线x−12=y−21，即y =12x +32，它的斜率为12．设两直线的夹角为θ，则tanθ=|2−121+2×12|=34，∴θ=arctan 34， 故答案为：arctan 34．先求出两条直线的斜率，再求出两直线的夹角的正切值tanθ，可得两直线的夹角θ的值． 本题主要考查两条直线的夹角公式、反三角函数的应用，属于中档题．10.【答案】(2,4)【解析】解：设点P 的坐标为(x,y)，由点P 1(−1,1)，P 2(1,3)， 所以P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −1)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,3−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{x +1=−3(1−x)y −1=−3(3−y)，解得{x =2y =4，所以点P 的坐标为(2,4)． 故答案为：(2,4)．设点P 的坐标为(x,y)，由平面向量的坐标表示，列方程组求出x 、y 的值即可． 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的问题，是基础题．11.【答案】x +2y −5=0【解析】解：圆x 2+y 2=5的圆心为O(0,0)，半径r =√5．根据题意，可得过P(1,2)的切线斜率存在，设其方程为y −2=k(x −1)，即kx −y +2−k =0．∵直线与圆x 2+y 2=5相切，∴圆心O 到直线的距离等于半径r ，即d =√k 2+1=√5，化简整理得：4k 2+4k −1=0，解之得k =−12， ∴直线方程为y −2=−12(x −1)，化简得x +2y −5=0． 故答案为：x +2y −5=0．求出圆的圆心为O(0,0)，半径r =√5.设过P 点的切线方程为y −2=k(x −1)，利用点到直线的距离建立关于k 的等式，解之得k =−12，即可得到所求圆的切线方程． 本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．12.【答案】−2<k <−13【解析】解：∵直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限， 由{y =k(x −1)−1y =12x +1，可得{x =2k+42k−1y =3k+12k−1，∴{2k+42k−1<03k+12k−1>0，求得−2<k <−13， 故答案为：−2<k <−13．联立方程组，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，求出k 的范围． 本题主要考查求直线的交点，属于基础题．13.【答案】−2【解析】解：由题意，画图如下：∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， ∴cos <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅e ⃗|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|e ⃗ |=−1×45−2×35√(−1)2+(−2)2⋅√(45)2+(35)2=−2√55，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >|=√(−1)2+(−2)2⋅2√55=2，∵|e ⃗ |=1，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，∵O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e ⃗ 方向相反， ∴λ=−2． 故答案为：−2．本题根据题意画出大致图象，然后根据向量内积公式计算出cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >的值，再根据投影的内积计算方法计算出|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，即可得到|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，最后根据O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e⃗ 方向相反可推导出λ的取值．本题主要考查向量的内积运用．考查了转化思想，数形结合法，定义法，向量的运算能力，直观想象能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】−7【解析】解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B(2,−2)，C(2,2)，∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,−2)+(1−λ)(2,2)=(2,2−4λ)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−2λ) 即P 点坐标为(1,1−2λ)，设M(a,−2)，则N(−a,2)，−2≤a ≤2， ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,2λ−3)，PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,2λ+1) ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1)(−a −1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a 2+4λ2−4λ−3， 当a =±2且λ=−−42×4=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−7． 故答案为：−7．建立坐标系，根据2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为(a,−2)，(−a,2)，将PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.【答案】解：由方程组{mx +2y =m +42x +my =m， 所以方程组的系数行列式为∣∣∣m 22m∣∣∣=m 2−4=(m +2)(m −2)， D x =∣∣∣m +42m m∣∣∣=m 2+4m −2m =m 2+2m =m(m +2)， D y =∣∣∣m m +42m∣∣∣=m 2−2m −8=(m −4)(m +2)； 当m 2−4≠0，即m ≠2且m ≠−2时，方程组有唯一的解；且该方程组的解为{x =m m−2y =m−4m−2．【解析】由题意写出方程组的系数行列式D 和D x ，D y ；当D ≠0时方程组有唯一解，再求出该方程组的解．本题考查了利用行列式求线性方程组的应用问题，是基础题．16.【答案】解：(1)由题意，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，M(3,1)，N(1,2)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1+1×2=5． (2)由题意，设N 点坐标为(a,2)，a ∈[0,3]，则∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×a +1×2=3a +2=8， 解得a =2，∴N 点坐标为(2,2)，故点N 的位置为线段CD 上靠近C 的三等分点．【解析】本题第(1)题根据题意可以建立以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴的平面直角坐标系，然后写出点M ，N 的坐标，计算出AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行计算即可得到结果；第(2)题可设N 点坐标为(a,2)，计算出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行代入计算即可得到a 的值，从而可判别出点N 的位置．本题主要考查运用向量解决集平面几何问题．考查了转化思想，向量的坐标运算，直观想象能力以及数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：(1)由向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)，所以2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，又2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以2(2−k)−2k 2=0，解得k =−2或k =1；(2)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则(2−k)k +4k <0，解得k <0或k >6；由(1)知，当k =−2时，2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以k 的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞)．【解析】(1)由平面向量的坐标表示和向量共线定理，列方程求出k 的值；(2)由平面向量的数量积与夹角的关系，列不等式求出k 的取值范围，要去掉共线反向情况．本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了向量共线与夹角问题，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，中心R(0,1)到直线AB ：x −3y −1=0的距离d =√10=2√105， ∴正方形的面积S =(2d)2=325，(2)设对角线所在直线的方程为a(x −0)+b(y −1)=0，边AB 所在的直线方程为x −3y −1=0，两直线的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，设两直线的夹角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10⋅√a 2+b 2=√22， ∴2a 2+3ab −2b 2=0，∴(2a−b)(a+2b)=0，∴b=2a或a+2b=0，两条对角线分别为x+2y−2=0或2x−y+1=0．【解析】(1)结合点到直线的距离公式可求d，然后代入正方形面积公式可求．(2)设对角线所在直线的方程为a(x−0)+b(y−1)=0，边AB所在的直线方程为x−3y−1=0，然后结合直线法向量与直线的夹角公式可求．本题主要考查了直线方程的求解，向量夹角公式及点到直线的距离公式的应用，属于基础试题．19.【答案】解：(1)由已知可得圆C1的圆心为原点，半径为1，则由已知定义可得：√32+42=2，解得m=±10，故实数m的值为±10；(2)当m=0时，直线l：3x−3y=0，圆C2与y轴相切于点A(0,3)，所以可设C2：(x−a)2+(y−3)2=a2，则根据定义可得：|3a−12|5|a|=65，解得a=−4或43，①当a=−4时，C2：(x+4)2+(y−3)2=16，两圆的圆心距d=5，半径之和为1+4=5，所以两圆外切，②当a=43时，C2：(x−43)2+(y−3)2=169，两圆的圆心距d大于半径之和，因此两圆外离．【解析】(1)根据新定义的要求即可求出m的值，(2)先设圆C2的方程，然后再根据新定义可求出a的值，再根据a的值判断两圆的位置关系．本题考查了新定义下直线与圆以及圆与圆的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．。

控江中学2020学年度第一学期期中考试高二数学一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线53:+=x y l 的斜率的大小为______ 【答案】32. 行列式794123151-中，元素4的代数余子式的值为______【解析】()31215113=-+3. 直线01:=++y x l 的一个法向量为_______ 【解析】()1,14. 直线1:1=y l 与直线02:2=+-y x l 的夹角大小为_______ 【解析】4π 5. 若直线062:1=-+ay x l 与直线()()051:2=++-+a y a x l 平行，则实数=a ______ 【解析】26. 已知向量3||=，且6=⋅b a ，则向量a 在向量b 的方向上的投影为______ 【解析】向量在向量的方向上的投影为2|cos ||===θ. 7. 线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211011t t ，解为⎩⎨⎧==53y x ， 则三阶行列式611101121----t t 的值为______【解析】我们按照第一列展开得()()07711116112112=-++-=-+=---+--y y x t t t t8. 设,是两个不平行的向量，若b k a AB +=2，b a BC 2+=，b a CD -=2，且D B A ,,三点共线，则实数k 的值为______【解析】b a BD +=3，由()k +=+32λ得λλ==k ,32，所以32=k9. 已知直线()22:-=-x k y l 与两点()()3,4,0,1B A 点，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是____________ 【解析】由条件得()()⎩⎨⎧≤≤-=-=-41122x x y x k y 有解，41321≤--=≤k k x ， 所以),2[]21,(+∞-∞∈ k .10. 若R ∈α，则直线01cos 32=+⋅+αy x 的倾斜角的范围是___________ 【解析】方向向量为)2,cos 3(-α，斜率存在时为αcos 32-，其值域为),32[]32,(+∞--∞ ，所以倾斜角范围为]32arctan ,32[arctan -π11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点()b a P ,到两直线4::21+-==x y l x y l 和的距离之和为23，则22b a +的最小值为______ 【解析】由条件得232|4|2||=-++-b a b a ，即6|4|||=-++-b a b a ， ()()222||||2||||4||||24||||6b a b a b a b a b a b a b a b a ++-≤++-≤⇒++-≤⇒+++-≤()224b a +=，故()时可取等号0,1122=-=≥+b a b a 12. 在ABC ∆中，EB AE DC BD ==,21，点F 为ADC ∆内（包括边界）任意一点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ2-的取值范围是____________【解析】法一：为了简化计算，令ABC ∆为直角三角形，且令4,3AB AC ==， 如图，(2,0),(4,0)E B ，由12BD DC =，得8,13D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,)F x y ，其中(,)x y 在ADC ∆内（包括边界）， 则(2,)EF x y =-，22(2,0),12,33λEB μED λμλμμ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2223x λμy μ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，解得11123λx y μy⎧=--⎪⎨⎪=⎩， 所以172123λμx y -=--，利用线性规划求得值域为[]8,1--. 法二：构造等和线解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2λEB μED λEB μED +=-， 所以2EF λEB μED λEB μED =+=-， 显然BG 对应的21λμ-=，作出一系列平行线，EH 对应的20λμ-=， AI 对应的21λμ-=-，过点D 对应的等和线22λμ-=-，过点C 对应的等和线28λμ-=-， 所以μλ2-的取值范围是[]8,1--. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）13.点(2,3)P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是（ B ）()()()().2,3.3,2.2,3.3,2 A B C D -----14.已知向量,a b ，则“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的（ A ）条件.A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既不充分又非必要15.已知,e f 是互相重直的单位向量，向量n a 满足: ,31n n e a n f a n ⋅=⋅=-，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ B ）A.单调递增数列且1lim 3n n b →∞=B.单调递减数列且1lim 3n n b →∞=C.单调递增数列且lim 3n n b →∞= D.单调递减数列且lim 3n n b →∞=【解析】设(0,1),(1,0)e f ==，(,)n a x y =，则,31n n e a y n f a x n ⋅==⋅==-，所以(31,)n a n n =-，所以11313n n b n n==--，所以数列{}n b 是单调递减数列且1lim 3n n b →∞=. 16. 已知点()0,0A ，点()36,15B ，点C 的横坐标、纵坐标都为整数，则ABC ∆的面积的最小值为（ C ）1.2A .1B 3.2C .3D 【解析】先证明一个结论，若),(),,(2211y x y x ==，则||211221y x y x S ABC -=△，下面对此作出证明： A AC AB AC AB A AC AB A AC AB S ABC 222222cos 21cos 121sin 21-=-⋅=⋅⋅=△2212122222121)())((21y y x x y x y x +-++== ||21)(21221122121221212121222221y x y x y x y x y y x x y x y x -=-=-+=， 在本题中，设(,)C x y ，则(36,15)AB =，(,)AC x y =，所以1221113|3615||32|222ABC S x y x y y x y x ∆-=-=-=， 因为,x y 都是整数，所以|32|1y x -≥，所以33|32|22ABC S y x ∆-≥=.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知关于x y 、的方程组23(2)1mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩，m 为常数，且m ∈R（1）写出此方程组的系数矩阵； （2）解此方程组. 【解析】（1）132m m ⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）2123(3)(1)32m D m m m m m ==--=-+-，21241312x D m m m m m ==--+=---，226(3)(2)31y m D m m m m m ==--=-+-，当1m =-时，0,0,0x y D D D =≠≠，原方程组无解，当3m =时，0x y D D D ===，原方程组有无数解，当31m m ≠≠-且时，原方程组有唯一解121x y D x m DD m y D m ⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪+⎩.18.（本题满分14分 第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知||2,||1a b == ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+ ，向量2n ta b =+ （1）求a b ⋅ 的值（2）设()f t m n =⋅，求()f x 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围. 【解析】（1）||||cos 12cos13πa b a b θ⋅=⋅⋅=⋅⋅=； （2）()(222()()(2)()2||2f t m n a tb ta b t a t b t a b =⋅=+⋅+=+++⋅⋅∣22422 62t t t t t =+++=++，因为m 与n 的夹角θ为锐角，所以0m n ⋅>，即2620t t ++>，解得33t t --+＜＞ 又由m 和n共线，解得t =，所以实数t的取值范围是33t t --+＜＞t ≠.19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点(1,0),(1,0)M N -距离的比||||PM PN = （1）若点PP 的横坐标（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程.【解析】（1）设(,)P x y，因为||||PM PN ==， 化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为36±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，||2MN =， 所以30PMN ︒∠=，33PM k =±， 所以直线PM 的方程为31)y x =+， 把31)y x =+代入22610x y x +-+=，得2410x x -+=， 解得1223,23x x =+=所以点P 的坐标为(23,13)+或(23,13)-+或(23,13)+-或(23,13)，所以直线PN 的方程为11y x y x =-=-+或，所以直线PM 的点法向式方程为3(1)0x y ++=， 直线PN 的点方向式方程为111x y-=±. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 已知直线l 过定点(2,1)P -，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点.（1）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程； （2）求||||OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程； （3）求||||PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程.【解析】（1）设:1x l a yb +=，因为过点(2,1)P -， 所以211a b-+=，所以1()42AOB S ab ∆=-=，由2118a b ab ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以直线l 的方程为142x y-+=，即240x y -+=； （2）||||OA OB b a +=-，所以()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2,1a b ==+所以直线l 的方程为20x ++=； （3）因为,,A P B 三点共线，所以||||(2,1)(2,1)25AP PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+- 212222(2)54154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当3,3a b =-=时取等号， 所以直线l 的方程为30x y -+=.21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知在平面直角坐标系中，点(,0)A a 、点(0,)B b （其中a b 、为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点.（1）设点P 为线段AB 靠近点A 的三等分点，(1)()OP OA OB λλλ=+-∈R ，求λ的值； （2）如图，设点121,,,,,k n P P P P -是线段AB 的n 等分点，(1)k OP OA OB μμ=+-，其中*11,,N ,2k n n k n ≤≤-∈≥，求μ（用含n 和k 的式子表示），并且当2020n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a b 、的式子表示）（3）若1,[0,1]a b t ==∈ ，求1||(1)3t AB AO OB t BA -++-的最小值 【解析】（1）因为(1)(1)(1)()(1)AP OP OA λOA λOB λOA OB λBA =-=-+-=--=-， 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，所以13AP AB =， 所以113λ-=-，所以23λ=； （2）由题意得120192019112019,2020202020202020OP OA OB OP OA OB =+=+，所以12019OP OP OA OB +=+，事实上，对任意正整数,m n ，且2020m n +=， 有20202020,2020202020202020m n m m n nOP OA OB OP OA OB --=+=+，所以m n OP OP OA OB +=+， 所以221212021202122n OA OP OP OP OB OA OB a b -+++++=+=+ （3）当1a b ==时，线段AB 上存在一点M ，使得,(1)t AB AM t BA BM =-=， 且存在点0,32N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =，则t AB AO AM AO OM -=-=，(1)31OB N t BA BM B NM +-=+=， 所以1||(1)3t AB AO OB t BA OM MN -++-=+， 即线段AB 上一点M ，到点O 和点N 的距离之和， 作点O 关于线段AB 的对称点(1,1)O '，则最小值为222103(0)11O N ⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭。

2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．45,75,15B．45,45,45C．45,60,30D．30,90,154．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．165．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80， 101i i y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i i x =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxyb x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．17．如图程序框图的输出结果是_________.18．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 23 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16 【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.17．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

2022-2023学年上海市控江中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务、则不同的选择办法共有______种．【答案】24【分析】根据题意分两步，第一步先从4人中选出3人，第二步再安排到3个不同的社区，根据分步计数原理即可得到结果.【详解】由题意可分两步，第一步先从4名新冠疫情防控志愿者选出3人，共有种方法；34C 第二步选出的3人去3个不同的社区，共有种方法，根据分步计数原理可知，33A 不同的选择办法共有种，3343C A =46=24⨯故答案为：242．若平面截球O 所得圆的半径为，则球心O 到平面的距离为α2cm α___________.cm【分析】根据球的截面圆性质计算．【详解】．R =2r =由题意球心到截面的距离为d ===．3．在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______．ABCD A BCD【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，且，连接、B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=AO 、，先证明平面，则到平面的距离为的长度，在结合勾股定理求解AE AF AO ⊥BCD A BCD AO 即可.【详解】过点、分别作，，垂足分别为、，且，B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=连接、、，AO AE AF 在正四面体中，为等边三角形，ABCD BCD △所以、分别为、的中点，E F CD BD 所以，，AE CD ⊥AF BD ⊥又，面；，平面，AE BE E = AE BE ⊂、ABE AF CF F ⋂=AF CF ⊂、ACF 所以平面，平面，CD ⊥ABE BD ⊥ACF 又平面，平面，AO ⊂ABE AO ⊂ACF 所以，，CD AO ⊥BD AO ⊥又，平面，CD BD D = CD BD ⊂、BCD 所以平面，即到平面的距离为的长度，AO ⊥BCD A BCD AO由于，所以1BC CD ==BE ==AE =则，13OE BE =所以在中，.Rt AOE △AO =.4．设ABCD 是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，，则二面角的大小为______．PA AB =P BC A --【答案】45°【分析】连接，证明为二面角的平面角，根据求出即可.PB PBA ∠P BC A --PA AB =PBA ∠【详解】解：连接，因为平面，平面，所以，又在正方形PB PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥中，，，所以平面，ABCD AB BC ⊥PA AB A ⊥=BC ⊥PAB 平面，则 ，所以为二面角的平面角.PB ⊂PAB BC ⊥PB PBA ∠P BC A --在直角三角形中，，所以.PAB PA AB =45PBA ∠=故答案为：455．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为______．【答案】1【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，2πl =设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1.r 2π2πr =故答案为：16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.16π【答案】323π【解析】设球的半径为r ，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.2r =【详解】设球的半径为r ，则表面积，2416S r ππ==解得，2r =所以体积，3344322333V r πππ==⨯=故答案为：323π【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.7．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，5h '==因此，侧面积，28451002S +=⨯⨯=所以所求的侧面积为100.故答案为：1008．棱柱的底面是边长为的正方形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 11160A AD A AB ∠=∠=︒12AA =则此棱柱的体积为______．【分析】设和交于点，在中，求出；在中，求出；在中，AC BD O 1A AB △1A B 1A DB △1AO 1AAO 求出；过作底面，垂足在对角线上，在中，求出棱柱的高1A AO ∠1A 1A E ⊥ABCD E AC 1Rt A AE ，利用棱柱的体积公式求解即可．1A E 【详解】设和交于点，AC BD O 中，，，则1A AB △12,1AA AB ==160A AB ∠=︒1A B ===同理1A D =中，，，则1A DB△11A B A D ==BD=1A O ==中，，则，即1A AO12,AA AO ==1A O=2221111cos 2AA AO A O A AO AA AO +-∠==⨯⨯145A AO ∠=︒，过作底面，垂足在对角线上，11A AD A AB ∠=∠ ∴1A 1A E ⊥ABCD E AC 在中，，，则1Rt A AE 12AA =145A AO ∠=︒1AE =此棱柱的体积为21V Sh ===9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的一个正方形面积与该正四棱锥一个侧面三角形的面积相等，则此正四棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．【分析】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，则即为侧面P ABCD -AC BD O = M BC OMP ∠与底面所成角的平面角，再设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角PBC ABCD P ABCD -d a 形底边上的高为，根据题意求出的关系，从而可得出答案.h ,a h 【详解】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，P ABCD -AC BD O = M BC 则为正四棱锥的高，，OP P ABCD -,PM BC OM BC ⊥⊥则即为侧面与底面所成角的平面角，OMP ∠PBC ABCD 设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，P ABCD -d a h 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积，21S d =该四棱锥一个侧面三角形的面积，212S ah =又因，且，所以，即，12S S =2224a h d =+22142a h ah-=2211024h h a a -⋅-=因此，h a=112cos2aOM OMPMP h ∠====.10．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，n n !!n n ；对于是奇数时，.现有如下四个()()!!24642n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n ()()!!24531n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯命题：①；②；③的个位数是；④的个()()2021!!2022!!2022!⋅=10112022!!21011!=⋅2022!!02023!!位数是.正确的命题序号为______.5【答案】①②③④【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②n 2022!!2正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.2022!!102019!!【详解】对于①，()()()(2021!!2022!!20212019201731202220202018⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅，①正确；)422022202120203212022!⨯⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=对于②，，(10112022!!20222020201864221011101010093=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯)10112121011!⨯⨯=⋅②正确；对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；2022!! 10∴0对于④，，2019!!20192017201597531=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数与的个位数相同，个位数为；∴2019!!13579⨯⨯⨯⨯5又，的个位数与相同，个位数为，④正确.2023!!202320212019!!=⨯⨯2023!!∴315⨯⨯5故答案为：①②③④.11．在直三棱柱中，AB ⊥BC ，，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且111ABC A B C -12AB BC CC ===与AC 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.【答案】【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面AC 1MNB B //α，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．1MNB BP AC α【详解】取中点为，中点为，连接，，，AC M 11A C N BM 1B N MN 则有，且，BM AC ⊥1//BB MN 因为三棱柱是直三棱柱，故平面,111ABC A B C -1BB ⊥ABC 所以平面，即，，所以平面，MN ⊥ABC MN AC ⊥BM MN M = AC ⊥1MNB B 平面平面，∴//α1MNB B 因为点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，P BC ∴P B，此时12BM AC ==2MN =N N 2BM B S MB M =⋅==故答案为：12．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的ααα2倍，这样的平面的个数是___________个α【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：α（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，4832⨯=故答案为：32二、单选题13．在三棱锥中，若，，那么必有（ ）A BCD -AD BC ⊥AD BD ⊥A ．平面平面B ．平面平面ADC ⊥BCD ABC ⊥BCD C ．平面平面D ．平面平面ABD ⊥ADC ABD ⊥ABC【答案】A【解析】由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；利AD ⊥BCD 用面面垂直的性质定理可判断BCD 选项的正误.【详解】，，且，平面.AD BC ⊥ AD BD ⊥BC BD B = AD ∴⊥BCD 对于A 选项，平面，所以，平面平面，A 选项正确；AD ⊂ ADC ADC ⊥BCD 对于B 选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：ABC ⊥BCD A ABC AE BC ⊥由于平面平面，平面平面，，平面，ABC ⊥BCD ABC ⋂BCD BC =AE BC ⊥AE ⊂ABC 平面，AE ∴⊥BCD 又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B 选项错误；AD ⊥ BCD A BCD 对于C 选项，若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ADC ABD ⋂ADC AD =AD BD ⊥BD ⊂ABD 平面，BD ∴⊥ADC 平面，则，而与是否垂直未知，C 选项错误；CD ⊂ ADC BD CD ⊥BD CD 对于D 选项，过点在平面内作，垂足为点，D ABD DF AB ⊥F若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ABC ABD ⋂ABC AB =DF AB ⊥DF ⊂ABD 所以，平面，DF ⊥ABC 平面，，BC ⊂ ABC BC DF ∴⊥，，平面，BC AD ⊥ DF AD D ⋂=BC ∴⊥ABD 平面，，但与是否垂直未知，D 选项错误.BD ⊂ ABD BC BD ∴⊥BC BD 故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.14．下列命题中，正确的是（ ）A ．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交B ．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面C ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线D ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A 错误；一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a ∥b ，l 与a 确定一个平面，则l 与a 平行或相交，如下图l 与a 相交的情况，l 与b 异面，B 错误；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C 正确；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D 错误．故选：C 15．正方体的棱长为1，点P 在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是1111ABCD A B C D -（ ）A ．若点P 在线段上运动，则AP 与所成角的范围为1D C 1AB ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．若点P 在矩形内部及边界上运动，则AP 与平面所成角的取值范围是11BDD B 11BDD B ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若点P 在内部及边界上运动，则AP 11D B C △D ．若点P 满足，则点P 轨迹的面积为1AP =π2【答案】B【分析】根据线线角的定义可知：当点与重合时最小，点在的中点时最大即可确定P 1,C D P 1D C T 范围.当垂直时，线面角最大，当与重合时,线面角最小；当平面时，此时最P 11,D B AP ⊥11D B C AP 小;根据点的运动轨迹为球面的一部分即可求解.P 【详解】连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP 与所成角最小11,,AD AC D C 1ACD △P 1,C D 1A B 为，当点在的中点时，AP 与所成角最大为，故A 对.π3P 1D C T 1A B π2连接交于,故,则平面,故当与重合时，AC BD O 11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=AO ⊥11BDD B P O AP 与平面所成角最大为，当与重合时,此时长度最大，此时AP 与平面11BDD B π2P 11,D BAP 所成角最小，最小角为,故 AP 与平面所成角的取值范围是，故11BDD B 1π6AD O ∠=11BDD B ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B 错误.四面体，等边11111AC AD AC B D B C CD ======∴ 11A CB D -，当平面11D B C △AP ⊥时，此时故C 对.点P 满足时，此时在以为球心，半径为1的11D B C AP 1AP =P A 球面上，又因为点P 在正方体内部及表面上运动，故点在的球面上运动，故面积为P 18，故D 对.21π4π1=82⨯⨯故选:B16．空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（ ）1111ABCD A B C D -11A D AB 1CC A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，设1B D 1B D P ，其中，作平面，垂足为，再作，垂足为，即可得到点(,,)P a a a 01a ≤≤PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F 到直线的距离，同理得到点到直线的距离，即可判断.P 11A D P 1AB CC 、【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，1B D 1B D P 因为，所以设，其中.1(1,1,1)DB = (,,)P a a a 01a ≤≤作平面，垂足为，再作，垂足为，PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F则是点到直线的距离，所以PF P 11A D PF =同理点到直线P 1AB CC 、所以上任一点与正方体的三条棱、所在直线的距离都相等，1B D 1111ABCD A B C D -1AB CC 、11A D 所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个.1111ABCD A B C D -111AB CC A D 、、故选：D.三、解答题17．如图，梯形ABCD 满足AB//CD ，，现将梯形ABCD90,1,30ABC AB BC BAD ∠===∠= 绕AB 所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω(1)求的体积VΩ(2)求的表面积S Ω【答案】 (2)3π+【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V （2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应Ω公式可得结果试题解析：18．已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：1111ABCD A B C D -12AA =⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；BD 1AB ⑵四面体的体积．11AB D C 【答案】（1）（2）23【详解】解：⑴连，∵ ，1111,,,BD AB B D AD 1111//,BD B D AB AD =∴异面直线与所成角为，记，BD 1AB 11AB D ∠11AB D θ∠=2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线与所成角为BD 1AB ⑵连，则所求四面体的体积11,,AC CB CD ．11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=19．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．(1)证明：A 1、C 1、F 、E 四点共面；(2)求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC ，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．【详解】（1）连接AC ，∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，又∵AA 1∥CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥EF ，所以A 1，C 1，F 、E 四点共面；（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1（2，0，1），E （2，1，0），F （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1），则，()()()111,1,0,0,1,1,0,2,1EF A E CD =-=-=- 设平面A 1C 1FE 的法向量为，(),,n x y z = 故，取x ＝1，得，100n EF x y n A E y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()1,1,1n = 记直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为θ，则11sin n CD n CD θ⋅===⋅ 直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为．20．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1，(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值；(3)若BC ，点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）由题意可证AC ⊥DO ，又PO ⊥AC ，即可证明AC ⊥平面PDO .（2）当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB ＝2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，即可求得三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.（3）可求，即有PB ＝PC ＝BC ，由OP ＝OB ， ，可证E 为PBPB PC ===C P C B ''=中点，从而可求，从而得解.OC OE EC ='+'【详解】（1）在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为DO ∩PO ＝O ，平面，所以AC ⊥平面PDO .,DO PO ⊂PDO （2）因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，12112⨯⨯=故三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为：.111133⨯⨯=（3）在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB =同理PC PB ＝PC ＝BC ，在三棱锥P ﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面，BC P '使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，共线时，CE +OE 取得最小值，C '又因为OP ＝OB ，，所以垂直平分PB ，即E 为PB 中点.C P C B ''=OC '从而＝OE +亦即CE +OE OC 'EC '21．如图在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△DBC 为直角三角形，其中D 为直角顶点，．E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、AC 、CD 、DB 上的动点，且四边形EFGH 60DCB ∠=︒为平行四边形．(1)求证：BC ∥平面EFGH(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的A BC D --平面区域的面积；(3)设（），且△ACD 是以CD 为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGHAEAB λ=()0,1λ∈λ的体积恰好为?14【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）利用线面平行的性质和判定定理可证明；（2）找到在平面BCD 上的投影轨迹，即A 可求出面积；（3），用分别表示四棱锥、四面体A EFGH ADEFGH V V -=多面体A DGH V -+λA EFGH -与四面体的体积比，求解可得结果.A DGH -A BCD -λ【详解】（1）证明:四边形EFGH 为平行四边形，.//EF GH ∴而面面BCD ，面BCD .GH Ì,BCD EF ⊂///EF ∴而面ABC ，面面，.EF ⊂ABC ⋂BCD BC =//EF BC ∴而面面EFGHEF ⊂,EFGH BC ⊂面EFGH .//BC ∴（2）,AB AC =在平面BCD 上的投影满足，即在平面BCD 上的投影在线段BC 的中垂线上.A ∴AB AC =A 如图所示，将补成边长为2的正三角形，Rt BCD BCM当二面角为角时，即点在平面BCD 上，此时为，A BC D --0︒A A M 当二面角为角时，此时为BC 中点，A BC D --90︒A N 故DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为，DMN而14DMN MBC S S ==故线段DA 在平面BCD （3），且为等腰三角形，.2,1AC CD == ACD 2AD ∴=取BC 中点，由题意得:，O ,OA BC OA ⊥=12BC OD ==满足，根据勾股定理可知222OA OD AD +=OA OD⊥平面OA ∴⊥1111.3322A BCD BCD BCD V S OA CD BD OA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 而多面体ADEFGH 的体积恰好为，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半.14连接AH 、AG ，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，F ABD F h C ABD C h A-EFH A-EFH 22A EFGH A BCD A BCD C ABDV V V V V V ----==12313F AEH ABD C h S h S ⨯⨯=⨯⨯⨯ 22=2(1)S AEH AF S ABD ACλλ⋅=-⋅ 22(1)A EFGH A BCD V V λλ--∴=-⋅⋅设点到平面的距离为，A BCD A h A DGHA BCD V V --1313A A DGH BCD h h S S ⋅=⋅⋅⋅ 2DGH DBC S S λ== .2A DGH A BCD V V λ--∴=⋅A EFGH ADEFGH V V -∴=多面体2(32)A DGH A BCDV V λλ--+=-⋅12A BCD V -=，整理得21(32)2λλ∴-=，()2122102λλλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭解得舍去).12λλ⎛== ⎝。

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知(4,6)A 、(3,1)B --、(5,5)C -三点，则经过点A 且与BC 平行的直线l 的点斜式方程为________2．已知1,2a b ==，且()()2a b a b λλ+⊥-，a 与b 的夹角60︒，则实数λ=____________3．直线320x y ++=与直线10x +=的夹角为______. 4．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．5．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________． 6．关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n =________ 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．在行列式274434651xx --中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是________.9．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.10．已知P 是△ABC 内的一点，且满足350PA PB PC ++=，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________11．若直线y x b=+与曲线3y =b 的取值范围是______．12．已知1a >，1x ≥，1y ≥，且224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，则log ()a xy 的取值范围是_______二、单选题13．已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．(2,3)-B ．(4,7)C ．(3,5)D ．1(,4)214．与直线2x +3y –6=0关于点（1，–1）对称的直线方程是（ ）A ．2x +3y +8=0B ．2x +3y +7=0C ．3x –2y –12=0D ．3x –2y +2=015．设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对 16．关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值的变化而变化三、解答题 17．利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩. 18．设两个向量a b ⋅，满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3π，若向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角，求实数t 的范围．19．已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：（1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；（2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程.20．已知(0,2)A 是定圆22:16C x y +=内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ；（2）过点A 且斜率为34-的直线与曲线E 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度. 21．平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，r (0)r >为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为k (0)k 的动直线交于P 、Q 两点，在x 轴正半轴上有一个定点(,0)R m ，P 、Q 、R 三点构成三角形，求：（1）△PQR 的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）△PQR 的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围.参考答案1．()1642y x -=-- 【分析】首先求得直线BC 的斜率，根据点斜式求得直线l 的方程.【详解】直线BC 的斜率为()15413582BC k ---==-=---，所以直线l 的点斜式方程为()1642y x -=--. 故答案为：()1642y x -=-- 【点睛】本小题主要考查已知直线上两点的坐标求斜率，考查直线的点斜式方程，属于基础题.2．-1±【分析】根据向量垂直得()()20a b a b λλ+⋅-=，结合数量积公式即可求出，【详解】 ()()2a b a b λλ+⊥-，所以()()20a b a b λλ+⋅-=即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴= -1±故答案为：-1±【点睛】本题考查向量的数量积及垂直关系，准确计算是关键，是基础题3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为3-，倾斜角为150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．6【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6．5．22(1)(2)4x y -+-=【分析】利用点到直线距离公式求出半径即可.【详解】因为圆与直线51270x y --=相切，所以圆心 (1,2)到直线51270x y --=的距离等于半径， 即511227213r d ⨯-⨯-===， 所以圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2)4x y -+-=【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.6．35【分析】先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n . 故答案为：35 【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1x =-【分析】根据余子式定义得到()4244x x f x =-⨯+⨯，换元()20xt t =>，得到方程2441t t -=-，计算得到答案.【详解】24()424444xx x x f x =-=-⨯+⨯，则1()y f x =+的零点等于与方程()1f x =-的解. 设()20x t t => 则214412t t t -=-∴= 故1x =- 故答案为1x =-【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键. 9．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10．5:1:3【分析】记ABC ∆的面积为S ，由已知可得123511,,993S S S S S S ===，从而求得123::S S S 的值. 【详解】记ABC ∆的面积为S ，因为350PA PB PC ++=，所以135888PA PB PC -=+，记3588PB PC PD +=，则,,B C D 三点共线，且18PA PD -=，即D 在BC 上，且:5:3BD CD =，:1:9PD AD =，即以BC 为底时，BCP ∆的高是ABC ∆的19，所以219S S =.同理可求得1351,93S S S S ==.所以123::5:1:3S S S =. 故答案为：5:1:3【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查三点共线，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．1⎡⎤-⎣⎦【分析】由曲线x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线y=3+2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．【详解】由曲线得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，即21b d =≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3，把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 1≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，]．故答案为1,1⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．12．[24++ 【分析】首先利用对数运算对已知条件进行化简，换元后转化为直线与圆的位置关系，来求得log ()a xy 的取值范围.【详解】依题意224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，化简得22log 4log log 4log 8a a a a x x y y -+-=，令log ,log a a m x n y ==，则有22448n m n m +--=，以及()log a xy n m =+.因为1a >，1x ≥，1y ≥，所以0,0n m ≥≥，则由22448n m n m +--=得()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥，表示以()2,2为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分（包括与,x y 轴正半轴的交点）.令()()log 0a xy n m z z =+=≥，则0n m z +-=.画出图像如下图所示.当直线0n m z +-=过,A B 两点时，z 取得最小值，当直线0n m z +-=与圆相切时，z 取得最大值.令0n =代入22448n m n m +--=，解得2m =+，所以min 2z =+当直线0n m z +-=与圆()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥相切时，圆心到直线的距离4d ==，解得4z =+max 4z =+.所以z 的取值范围，也即log ()a xy 的取值范围为[24++.故答案为：[24++【点睛】本小题主要考查对数运算，考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 13．B 【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果. 【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B 【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 14．A 【分析】在所求直线上取点（x ，y ），求出其关于点（1，–1）对称的点，代入到原直线方程，得到答案. 【详解】在所求直线上取点（x ，y ），则关于点（1，–1）对称的点的坐标为（2–x ，–2–y ）， 代入直线2x +3y –6=0，可得2（2–x ）+3（–2–y ）–6=0， 整理得2x +3y +8=0． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线关于点对称，属于简单题. 15．A 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．B 【分析】由根与系数的关系得到+a b 和ab ,根据两点的坐标求出直线方程,再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径,可得答案. 【详解】因为关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b , 所以ab ,1tan a b θ+=-,1sin ab θ=-, 因为过点()2,A a a，()2,B b b 的直线方程为222()a b y a x a a b--=--,化简得()0a b x y ab +--=,1==11==,所以过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221xy +=的位置关系是相切.故选B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,由两点坐标求直线方程,点到直线的距离,直线与圆相切,属于中档题.17．当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-. 【分析】先求出系数行列式,,x y D D D ，然后讨论m ，从而确定二元一次不等式组的解的情况. 【详解】 依题意()21333m D m m m m m m==--=-+-，11323x D m m m-==--+-，()212623323y m D m m m m m m -==+=++.（1）当0m ≠且3m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，11x x D D m=⨯=，12y y D D=⨯=-. （2）当0m =时，0,30x D D ==-≠，原方程组无解. （3）当3m =-时，0,0,0x y D D D ===，原方程组有无穷组解.综上所述，当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组的矩阵形式的解法以及应用，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用.18．17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先由已知条件求出向量a b ，的数量积，再由夹角为钝角即数量积小于零，求出t 的范围，再求出共线时t 的值，继而求出结果 【详解】12112a b ⋅=⨯⨯=， 由向量27ta b +与a tb+的夹角为钝角，得()()27027ta b a tb ta b a tb+⋅+<++ ，即()()270ta b a tb +⋅+<，化简即得221570t t ++<，解得172t <<－－ 又当27ta b +与a tb+共线时，满足271t t =，解得t 2=± ∴当t 2=-时两向量反向，不符合题意，故舍去则t 的范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，当遇到夹角为钝角时即转化为数量积小于零，还要注意舍去共线向量的情况19．（1）6min S =，:360l x y +-=；（2）min 4S =+1l =.【分析】（1）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程.（2）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程. 【详解】（1）设直线方程为()10,0x y a ba b +=>>，则131a b +=，所以131a b =+≥=12ab ≥≥，当且仅当131,2,62a b a b ====时等号成立，直线l 与坐标轴围成面积为111126222S ab ab ==≥⨯=，此时直线方程为126x y+=，即360x y +-=.（2）设直线方程为()10,0x ya b a b +=>>，则131a b+=，所以()1334b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭44≥+=+当且仅当3b a a b =，即13a b ==+1=.【点睛】本小题主要考查直线的截距式方程，考查基本不等式求最值，属于中档题.20．（1）22(1)4x y +-=；（2；【分析】（1）设出P 点坐标，利用中点坐标公式求得D 点坐标，将D 坐标代入圆的方程，化简后求得P 点所在的曲线方程. （2）求得过点A 且斜率为34-的直线方程，利用直线和圆相交的弦长公式，求得线段MN 的长度. 【详解】（1）设(),P x y ，由于P 是AD 的中点，所以()2,22D x y -，因为D 在圆2216x y +=上，所以()()2222216x y +-=，化简得22(1)4x y +-=.（2）过点A 且斜率为34-的直线方程为324y x -=-，化简得3480x y +-=，圆22(1)4x y +-=的圆心()0,1到直线3480x y +-=的距离为45，所以线段MN的长度为25=. 【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，属于基础题.21．（1）1S =,10S mr <<；（2）()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=， ()222224m r S mπ+⋅>.【分析】（1）求得R 到直线PQ 的距离，由此求得三角形PQR 的面积1S 的表达式，并由此求得1S 的取值范围.（2）设动直线的倾斜角为α，根据题意得到tan ,sin k αα==设出,P Q 的坐标，利用三角形外接圆半径公式求得三角形PQR 外接圆半径的表达式，由此求得2S ，并求得2S 的取值范围. 【详解】（1）(,0)R m 到直线(0)y kx k =≠，所以三角形PQR的面积为1122S r =⨯=mr =<.所以10S mr <<. （2）设动直线的倾斜角为α，0,,22ππαπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan ,sin k αα==画出图像如下图所示.设()()cos ,sin ,cos ,sin P r r Q r r αααα--，而(,0)R m .所以2PQ r =，PR =，QR =由（1）得1sin S mr α==⋅. 所以三角形PQR 的外接圆半径为14PQ PR QRS ⋅⋅====.所以()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=.由于2111k +>，所以()()22222222222444m r m r m r S m m ππ-++>⋅=⋅，即()222224m r S mπ+⋅>.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查三角形外接圆半径以及外接圆面积的计算，属于难题.。

控江中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．经过点(1,0)，且以(2,5)d =r为一个方向向量的直线l 的方程为 ．2．过点(4,3)，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为 ．3．焦点为(-与的等轴双曲线的方程为 ．4．平面上到两定点(4,0)与(4,0)-的距离之和为8的动点的轨迹方程为 ．5．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为实数k 的值为 ．6．已知t 是实数．设向量(3,4)a =r，向量(2,1)b =r ．若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为 ． 7．直线25y x =+被圆22(1)(2)14x y -+-=所截得的弦AB 的长度为 ．8．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点(2,0)B 为定点．若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为 ．9．椭圆2221(04)16x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m ．若7M m =，则b = ．10．设P 是双曲线22136x y -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点．若1212()()72F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1||F P =u u u r__________．11．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点111,,A B C 满足：1()A A A B A C λ=+u u u u r u u u r u u u r，1()BB BC BA λ=+u u u u r u u u r u u u r ，1()CC CA CB λ=+u u u u r u u u r u u u r．若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为__________．12．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为(0,2)-、(2,2)、(5,2)-．该平面上的动点P 满足123||||||2019PF PF PF ++=．已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为__________（只需写出满足题意的一个方程）．二、选择题13．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）． （A ）(,20)-∞（B ）(,5)-∞（C ）(5,)+∞（D ）(20,)+∞14．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ）． （A ）35（B ）35（C ）95（D ）9515．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”．如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处．从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T ．根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）． （A ）A 点处 （B ）B 点处 （C ）C 点处 （D ）D 点处16．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点．设(2,0)A ，(0,1)B ．命题甲：若||||A P A Q =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若||||BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称．关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）． （A ）甲和乙都是真命题（B ）甲是真命题，乙是假命题 （C ）甲是假命题，乙是真命题（D ）甲和乙都是假命题三、解答题17．已知向量1(1,2)e =r 与2(4,2)e =r是平面上的一组基向量．（1）设向量(1,4)v =-r ，试用向量1e r 与2e r表示v r ；（2）设t 是实数，向量(6,)b t =r ．设b r 与1e r 的夹角为α， b r 与2e r的夹角为β．若αβ=，求t 的值．18．已知m 为实数．设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-． （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上．19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=．（1）设l 是经过点(1,1)M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点．若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R ．试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由．20．已知抛物线P 的焦点为(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-．若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”．（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．21．设椭圆E 的方程为2212x y +=．斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，||A B 为直径作圆S ．（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=．参考答案一、填空题1．5250x y --= 2．43250x y +-= 3．22144x y -= 4．0,(44)y x =-≤≤5．34 6．52 7．6 8．222y x =- 9．7 10．73 11．2312．210x y +-=【第9题解析】由椭圆“近日、远日”的相关知识，得4M a c c =+=+，4m a c c =-=-， 由7M m =，解得3c =，∴227b a c =-=． 【第10题解析】221212121212()()72||||(||||)(||||)72F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=⇒-=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r， 由双曲线定义知12||||223F P F P a -==u u u r u u u u r ，∴12||||123F P F P +=u u u r u u u u r ，于是可得1||73F P =u u u r．【第11题解析】记A BC △的重心为G ， 则由题意，A BC △与111A B C △关于G 中心对称， 即11112()()2323A G A A AB AC A B A C λλ=⇒+=+⇒=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．【第12题解析】易得1323||||5F F F F ==，∴123F F F △为等腰三角形， 于是由动点P 的轨迹是轴对称图形，猜测对称轴为123F F F △ 底边12F F 上的高所在直线，其方程为210x y +-=．二、选择题13．B 14．C 15．A 16．B【第16题解析】乙的反例：||||5BP BQ ==，(2,0)P ，252(,)3Q -．三、解答题17．（1）设(1,2)(4,2)(1,4)x y +=-，即41,22 4.x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得3x =，1y =-． 故123v e e =-r r r．（4分）（注：直接写出答案建议给满分）（2）11cos ||||e b e b α⋅==r r r r （7分）22cos ||||e b e b β⋅=r r r r（9分）因,[0,]αβπ∈，故题意即242622tt ++=， （11分） 解得t 的值为6．（14分）18．（1）1l 与2l 平行的一个必要条件为系数行列式221608mD m m==-=， 解得4m =±．（2分） 当4m =时，两直线重合，不合题意． （4分） 当4m =-时，两直线的确平行，因此m 的值为4-． （6分）（2）212828x m D m m m ==-++-，2142y D m mm ==--, 因此两直线的交点为21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭．（10分）因此，点A 在直线210x y --=上． （14分） 19．（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，和双曲线Γ的确有且仅有一个公共点． （1分） 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1(1)y k x -=-，与Γ的方程联立，得到224(1)40x kx k --+-=．整理得222(4)2(1)((1)4)0k x k k x k +-+---=． （3分） 因此2k =±满足题意．（4分）而当2k ≠±时，题意即判别式22224((1)(4)((1)4))0k k k k ∆=-+--+=，解得52k =． 因此l 的方程为1x =，或210x y --=，或230x y +-=，或5230x y --=． （6分） （2）（解法一） 由双曲线及其渐近线关于一坐标轴的对称性，不妨设,A B 均在渐近线2y x=上．进而设(,2)A u u ，(,2)B v v ．设点P 的坐标为00(,)x y ，其中22014y x -=．这样，点Q 的坐标为00(2,4)u x u y --，点R 的坐标为00(22,44)v u x v u y -+-+．（10分） 而220011(22)(44)4v u x v u y -+-+--222222000000(22)2(22)(22)(22)44y y v u x v u x v u v u y x ⎛⎫=-++------- ⎪⎝⎭-00(22)(2)v u x y =--，注意到v u ≠，故若点R 在Γ上，则002y x =．（12分）但此时22004y x -=，矛盾，因此点R 不在Γ上．（14分） （解法二）由于2QP QA =u u u r u u u u r ，2QR QB =u u u r u u u r，故2PR A B =u u u r u u u r ，因此直线PR 平行于直线AB ．（10分）根据双曲线的性质，平行于渐近线的直线与双曲线的交点不超过一个，而P 已经是Γ上的点，故点R 不在Γ上． （14分）20．（1）抛物线P 的方程为24y x =．（1分）假设这样的“向心三角形”存在，则其第三个顶点的坐标应为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．（3分）但是点(2,2)-不在抛物线P 上，矛盾． 因此这样的“向心三角形”不存在．（4分）（2）设直线AB 的方程为4y x m =+，与24y x =联立，整理得20y y m -+=．因此121y y +=，121211(44)22mx x y m y +=+=--．（6分） 由123123(,)(3,0)x x x y y y ++++=得31124m x =+，31y =-．（8分）代入方程24y x =，得1211m =+，解得5m =-，因此直线AB 的方程为45y x =-．（10分）（3）（解法一）设直线BC 的方程为x ny m =+．将该方程与24y x =联立，得2440y ny m --=．由与直线BC 和抛物线P 相交，故判别式216()0n m ∆=+>．（12分）故234y y n +=，从而22342x x n m +=+，因此点A 的坐标为2(423,4)n m n --+-． 因点A 在抛物线P 上，故221616812n n m =--+，故2342m n =-+． （14分）结合20n m +>，得212n <． 故点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<．（16分）（解法二）设,,A B C 三点的坐标分别为2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4c c ⎛⎫⎪⎝⎭．由题意，22212a b c ++=，且0a b c ++=． 因此222222(12)2()()a b c b c a -=++=≥．（13分） 故28a ≤，而当28a =时，b c =，与,B C 不重合相矛盾,（14分） 因此点A 的横坐标24a 小于2．（16分）21．（1） 设直线l 的方程为y x m =+，与方程2212x y +=联立，得222()20x x m ++-=，整理得2234(22)0x mx m ++-=．判别式221624240m m ∆=-+>当且仅当(m ∈． （2分） 此时，12223x x m+=-，因而1223y y m +=．因此，圆心C的轨迹方程为20,x y x ⎛+=<< ⎝⎭．其轨迹为一直线在椭圆E 内的部分．（5分） （2）在(m ∈的前提下，圆S 经过原点当且仅当12120x x y y +=． （7分）而2121212122()x x y y x x m x x m +=+++ 22244433m m m -=-+243m =-，（9分）故S经过原点当且仅当m =． 因此直线l的方程为y x =，或y x =-．（11分）（3）在(m ∈的前提下，原点O 到圆心C的距离为|||OC m ，而圆S的半径为1||2A B == （14分）因此，圆上任一点P 到圆心的距离不大于|||||OC CP m += 设||,0,2m πθθ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，则2|arccos3m θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因此||OPS 内含或内切于圆223x y +=．（18分）。

2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0， 即1<2x <2，可得0<x <1， 则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]， 由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32， 则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12， 则a 的取值范围是[−52, 12]． 【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。

控江中学2020学年度第一学期期中考试高二数学一､填空题1. 直线:35l y x =+的斜率的大小为______． 3直接根据斜率的定义求解即可. 由直线:35l y x =+， 得其斜率为3， 故答案为：3.2. 行列式151321497-中，元素4的代数余子式的值为______． 3根据代数余子式的定义，直接计算，即可求解.根据代数余子式的计算，可得行列式151321497-中，元素4的代数余子式()31511321+-=.故答案为：33. 直线:10l x y ++=的一个法向量为______．()1,1根据法向量的概念判断．直线:10l x y ++=的一个法向量为(1,1)． 故答案为：(1,1)．4. 直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为______．4π 根据题意，得到直线的倾斜角，进而得到两直线的夹角，得到答案. 由题意，直线2:20l x y -+=的斜率为1k =，可得直线2l 的倾斜角为4πα=，所以直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为244πππ-=.故答案为：4π.5. 若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =______． 2由2(1)0a a --=求得a ，然后检验是否平行即可得． 由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为：2260x y +-=和70x y ++=，平行． 故答案为：26. 已知向量3b =，且6a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为______．2根据数量积的定义和投影的计算公式即可求解. 因为6a b ⋅=，所以cos ,6a b a b ⨯=， 又因为3b =，所以向量a 在向量b 的方向上的投影为6cos ,2a a b b⨯==， 故答案为：2.7. 线性方程组的增广矩阵为121101t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解为35x y =⎧⎨=⎩，则三阶行列式121101116t t ----值为______． 0由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，代入即可求得1t ，2t 的值，代入行列式，按第一列展开即可求得行列式的值.由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，所以12355t t -+=⎧⎨=⎩，解得1225t t =⎧⎨=⎩我们按照第一列展开得()()()()1112161511205611--+-=---⨯+--=--，故答案为：08. 设a ，b 是两个不平行的向量，若2AB a kb =+，2BC a b =+，2CD a b =-，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为______．23由,AB BD 共线即可得．由题意3BD a b =+，因为,,A B D 三点共线，所以,AB BD 共线， 所以存在实数λ，使得()23a kb a b λ+=+， 所以23λ=，k λ=，所以23k =． 故答案为：23． 9. 已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围．由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．10. 若α∈R ，则直线23cos 10x y α+⋅+=的倾斜角的范围是______．22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据直线方程求出方向向量和斜率，再根据三角函数的性质求出倾斜角的取值范围即可.直线23cos 10x y α+⋅+=方向向量为()3cos ,2α-， 斜率存在时为223cos 3cos k αα-==-，又[)(]cos 1,00,1α∈-，所以(][)1,11,cos α∈-∞-+∞，所以22,,33k ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭∈， 所以倾斜角范围为22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为22a b +的最小值为______．1利用点到直线的距离公式可得：46a b a b -++-=，通过分类讨论可知：点(,)a b 是如图所示的正方形的4动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为∴+=46a b a b -++-=，分为以下4种情况：0405a b a b a -≥⎧⎪+-≥⎨⎪=⎩或0401a b a b b -≥⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩或0405a b a b b -≤⎧⎪+->⎨⎪=⎩或0401a b a b a -≤⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩．可知点(,)a b 是如图所示的正方形的4(,)a b 的距离， 结合图像可知：当取点(1,0)A -或(0,1)B -1．22a b ∴+的最小值为1.故答案为：1．本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式，解题的关键是通过分类讨论，可得到点(,)a b 22a b +思想，及数形结合思想，属于中档题． 12. 在ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，其中λ，R μ∈，则2λμ-的取值范围是______．[]8,1--构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-，BG 对应的21λμ-=，作与BG 平行的直线，点在同一直线上时，2λμ-相等，求出过A 和C 的直线对应的“和”，即可得所求范围．构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-， 所以2EF EB ED EB ED λμλμ=+=-， 显然BG 对应的21λμ-=，作出的一系列平行线，EH 对应的20λμ-=AI 对应的21λμ-=-，过点D 对应的等和线22λμ-=-，过点C 对应的“等和线：28λμ-=-， 所以2λμ-的取值范围是[]8,1--. 故答案为：[8,1]--．关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若,OA OB 是不共线向量，OC xOA yOB =+，则,,C A B 共线1x y ⇔+=，由此可得，当C 点在与AB 平行的直线上时，对应的x y +相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 二､选择题13. 点()2,3P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是（ ） A. ()2,3-- B. ()3,2-- C. ()2,3- D. ()3,2B设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．设对称点为(,)x y ，则31223022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩．即对称点为(3,2)--．故选：B ．14. 已知向量a ，b ，则“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又非必要A利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 若“0a =或0b =”则0a b ⋅=， 若0a b ⋅=，则“0a =或0b =”或,2a b π=，所以“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的充分不必要条件，故选：A15. 已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，31n f a n ⋅=-，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）A. 单调递增数列且1lim 3n n b →∞=B. 单调递减数列且1lim 3n n b →∞=C. 单调递增数列且lim 3n x b →∞=D. 单调递减数列且lim 3n n b →∞= B设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，由垂直求出n a ，再计算出n b ，然后判断数列的单调性，并计算极限．【详解】设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =， 则 n e a y n ⋅==，31n f a x n ⋅==-， 所以()31,n a n n =-， 所以11313n n b n n==--，所以数列{}n b 是单调递减数列且1lim 3n n b →∞=．故选：B ． 关键点点睛：本题考查向量的垂直，数列的单调性与极限．解题关键是引入坐标，设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，把向量的数量积转化为坐标运算，求出n a ，从而计算出n b ，而数列单调性珠判断可结合函数的单调性的性质判断．16. 已知点()0,0A ，点()3615B ,，点C 的横坐标、纵坐标都为整数，则ABC 的面积的最小值为（ ）A. 12B. 1C. 32D. 3C利用结论()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）． 先证明一个结论，若()11,AB x y =，()22,AC x y =， 则122112ABCSx y x y =-，下面对此作出证明： 222222111sin 1cos cos 222ABC S AB AC A AB A AB AC AB AC A =⋅⋅=⋅-=-△2==122112x y x y ===- 在本题中，设(),C x y ， 则()36,15AB =，(),AC x y =， 所以1221113361532222ABC S x y x y y x y x =-=-=-△， 因为x ，y 都是整数，所以321y x -≥， 所以333222ABC S y x -≥=△．故选：C ． 结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，此时有结论：()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-． 三､解答题．17. 已知关于x ､y 的方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩，m 为常数，且m R ∈．（1）写出此方程组的系数矩阵； （2）解此方程组．（1）132m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）见详解. 【分析】（1）根据方程组，直接得出对应的系数矩阵；（2）讨论1m =-，3m =，3m ≠且1m ≠-三种情况，分别求解，即可得出结果.（1）方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩的系数矩阵为132m m ⎛⎫⎪-⎝⎭； （2）因为()()21233132m D m m m m m ==--=-+-，21241312x D m m m m m ==--+=---，()()2263231y m D m m m m m ==--=-+-，当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，原方程组无解， 当3m =时，0x y D D D ===，原方程组有无数解，当3m ≠且1m ≠-时，原方程组有唯一解121x y D x m DD m y D m ⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪+⎩. 18. 已知2=a ，1=b ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+，向量2n ta b =+． （1）求a b ⋅的值；（2）设()f t m n =⋅，求()f t 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围． （1）1；（2）2()62f t t t =++，3t <-3t >-t ≠. （1）由数量积的定义计算；（2）由数量积的运算法则计算出m n ⋅，解不等式0m n ⋅>，并去除掉向量共线的取值即可得． （1）||||cos 12cos13a b a b πθ⋅=⋅⋅=⋅⋅=；（2）()()()()()(22222||2f t m n a tb ta b t a t b t a b =⋅=+⋅+=+++⋅⋅2242262t t t t t =+++=++，因为m 与n 的夹角θ为锐角， 所以0m n ⋅>，即2620t t ++>，解得3t <-3t >-又由m 和n共线，解得t =，所以实数t的取值范围是3t <--3t >-+t ≠.、本题考查向量的数量积．向量,m n 夹角为锐角是0m n ⋅>的充分不必要条件，,m n 夹角为0（即同向时）也有0m n ⋅>，同样向量,m n 夹角为钝角是0m n ⋅<的充分不必要条件． 19. 已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N距离的比PMPN= （1）若点P，求点P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．（1）3±；（2）)10x y ++=；111x y-=±.（1）根据直接法，利用PMPN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P 的，代入即可得解；（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解.（1）设(),P x y ，因为PM PN==化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为3±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，3PM k =±，所以直线PM 的方程为)1y x =+把)1y x =+代入22610x y x +-+=， 得2410x x -+=，解得12x =，22x =所以点P 的坐标为(2+或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM 的点法向式方程为)10x y ++=直线PN 的点方向式方程为111x y -=±. 本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程； （2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.20. 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B .点O 为坐标原点．（1）若AOB 的面积为4，求直线l 的方程；（2）求OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）求PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程．（1）240x y -+=；（2）322+2220x +=；（3）4；30x y -+=.（1）设:1x y l a b +=，代入点坐标，得到211a b -+=，再利用面积公式得到()142ab -=，两式联立求解,a b ，即可得出结果；（2）||||OA OB b a +=-，得到()2123a b b a a b b a -⎛⎫--+=++ ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求解即可；（3）利用A ，P ，B 三点共线，可得AP PB AP PB ⋅=⋅，利用平面向量的数量积公式以及基本不等式即可求解.（1）设:1x y l a b+=， 因为过点()2,1P -，所以211a b-+=，所以()142AOB S ab =-=△， 由2118a b ab ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩解得42a b =-⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y -+=， 即240x y -+=；（2）||||OA OB b a +=-，所以()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2a =，1b =所以直线l的方程为20x +=；（3）因为A ，P ，B 三点共线， 所以()()2,12,125AP PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+-()212222254154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当3a =-，3b =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=.关键点睛：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是基本不等式的应用.21. 已知在平面直角坐标系中，点(),0A a ､点()0,B b （其中a ､b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 靠近点A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R ，求λ的值； （2）如图，设点121,,,,,k n P P P P -是线段AB 的n 等分点，()1k OP OA OB μμ=+-，其中11k n ≤≤-，n ，*k N ∈，2n ≥，求当2020n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ､b 的式子表示）（3）若1a b ==，[]0,1t ∈，求()113t AB AO OB t BA -++-的最小值． （1）23λ=；（2）221011+a b （3）103. （1）利用向量的线性运算AP OP OA =-，将()1OP OA OB λλ=+-代入，再由13AP AB =求解. （2）易得对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+，202020202020n n n OP OA OB -=+，从而m n OP OP OA OB +=+求解. （3）当1a b ==时，设线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =，然后转化()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+，利用线段和最小求解.（1）因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=-, 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，所以13AP AB =， 所以113λ-=-，所以23λ=. （2）由题意得12019120202020OP OA OB =+， 20191201920202020OP OA OB =+， 所以12019OP OP OA OB +=+，事实上，对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+， 202020202020n n n OP OA OB -=+， 所以m n OP OP OA OB +=+所以221212*********n OA OP OP OP OB OA OB a b -+++++=+=+， （3）当1a b ==时，线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =， 则t AB AO AM AO OM -=-=，()113OB t BA NB BM NM +-=+=， 所以()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+， 即线段AB 上存在一点M ，到点O 和点N 的距离之和，如图所示：作点O 关于线段AB 的对称点()1,1O '，则最小值为3O N =='. 方法点睛：在直线l 上存在点P,使得PA PB +最小和PA PB -最大问题：当点A ，B 在直线l 的异侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 当点A ，B 在直线l 的同侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小；。

上海高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角 为__ ____．(用弧度制表示)7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈， 定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a bb bc c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】 (A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ； (2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=， 当P 变化时，求||OT 的取值范围．x参考答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33.. 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15. B 16. B 17.18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。

2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=()A. (0,3]B. (0,3)C. [0,3]D. [3,+∞)2.已知曲线C的方程为x2a −y2b=1，则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，那么直线AB和CD一定是()A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 以上都有可能4.随着社会的繁荣与发展，人口结构与社会经济、自然资源分配间的矛盾日趋尖锐.把握人口发展的变化情况，将为政府机构制定和完善未来收入、消费、教育、就业、养老、医疗社会保障等相关政策提供决策依据.某市为更好地了解该市近30年来，人口年龄结构的变化情况，统计了该市2000年，2010年，2019年各年龄段人口数量的比例，得到如图所示的柱形图，根据图示信息，得出下列推断，其中不正确的推断是()A. .该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少B. 该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加C. .该市2000年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加D. 该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.如果复数1+ai2−i的实部和虚部相等，则实数a等于______ ：6.已知a，b∈R，a+bi=(1+2i)(1−i)(i为虚数单位)，则a+b的值为______ ．7.已知抛物线y2=−8x的准线过双曲线x2m −y23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______ ．8.坐标系与参数方程选做题极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为____________；9.已知直线l1：2x−y+3=0和l2：x=−1，抛物线y2=2x上的动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是______．10.已知复数(i为虚数单位)，则|z|=；11.如图，棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值为；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为．12.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线所成角的正切值是_________________．13.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为(ρ∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|=_______________．14.下列结论中正确的是______ ．①命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4“；②从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为48；③已知|a⃗|=|b⃗ |=1，向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+t b⃗ )，则实数t的值为−1；④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．15.若复数z=1+i，则|z|=______．i16.已知恒过定点(1,1)的圆C截直线x=−1所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z=(1+i)2+3(1−i)(i是虚数单位)．2+i(1)求复数z的模|z|；(2)若z2+az+b=1+i(a,b∈R)，求a+b的值．18.如图，已知AB⊥平面BCE，CD//AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF//平面ADE？(2)求证：平面ABE⊥平面ADE；(3)求二面角B−DE−A的余弦值．19. 已知平面内动点C 到点F(1,0)的距离比到直线x =−12的距离长12．(1)求动点C 的轨迹方程E ；(2)已知点A(4,0)，过点A 的直线l 与曲线E 交于不同的两点P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过原点．20. 在棱长为a 的正方体ABCD −A′B′C′D′中，如图E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF ∩BD =H ；(Ⅰ)求二面角B′−EF −B 的正切值；(Ⅱ)试在棱B′B 上找一点M ，使D′M ⊥面EFB′，并证明你的结论．21. 已知动点P 到直线l ：x =−1的距离等于它到圆C ：x 2+y 2−4x +1=0的切线长(P 到切点的距离)，记动点P 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数λ使得|AC|⋅|BC|=λ|OC|2？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A={x|x2−2x−3≤0}=[−1,3]，B={y|y=2x}=(0,+∞)，则A∩B=(0,3]，故选：A．分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．本题考查了二次不等式以及指数的运算，考查交集的定义以及运算，是一道基础题．2.答案：B解析：解：若a>b>0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a>−b>0，即a>0，b<0，满足a>b，即必要性成立，即“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：由已知可得A，B，C，D四点不在任何同一平面上，进而根据异面直线的定义可得答案．本题考查的知识点是异面直线的判定，其中根据已知分析出A，B，C，D四点不在任何同一平面上是解答的关键．解：∵直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，则A，B，C，D四点不在任何同一平面上，故直线AC、BD一定是异面直线，故选C．4.答案：D解析：解：对于A，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少，选项A正确；对于B，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加，选项B正确；对于C，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在大于20岁的人口比例增加，所以人口的平均年龄不断增加，选项C正确；对于D，根据柱形图，不能得出该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数是增加还是减少，所以选项D错误．故选：D．根据柱形图，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．本题考查了柱形图的分析与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.答案：13解析：解：1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=(2−a)+(2a+1)i5，∵复数1+ai2−i的实部和虚部相等，∴2−a=2a+1，即a=13．故答案为：13．由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于虚部求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：4解析：解：∵(1+2i)(1−i)=1−i+2i−2i2=3+i，∴a+bi=3+i，由复数相等的定义可得a=3，b=1，∴a+b=3+1=4故答案为：4由复数的乘法运算，化简已知式子的右边，由复数相等可得a、b的值，进而可得答案．本题考查复数相等的定义，涉及复数的乘法运算，属基础题．7.答案：2解析：解：抛物线的焦点坐标为(−2,0))，准线方程为x=2．则c=2.所以c2=m+3=4，解得m=1，所以双曲线的离心率为e=ca=2，故答案为：2．抛物线y2=−8x的准线为x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解题的关键．8.答案：解析：试题分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出圆心距即可解：将极坐标方程C1：ρ=2cosθ和C2：ρ=sinθ，分别化为普通方程C1：ρ=2cosθ⇒ρ2= 2ρcosθ⇒x2+y2=2x⇒(x−1)2+y2=1，C2：ρ=sinθ⇒ρ2=ρsinθ⇒x2+y2=y⇒x2+ (y−)2=()2，然后就可解得两个圆的圆心距为d=考点：极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得9.答案：4√55+12解析：解：抛物线y 2=2x 的准线为直线l ：x =−12，焦点为F(12,0)，如下图所示：过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线，垂足分别为点D 、A ，设PA 交直线l 于点B ，过点F 作直线l 1的垂线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知，|PB|=|PF|，则抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和为|PA|+|PD|=|PB|+|PD|+12=|PF|+|PD|+12， 当且仅当P 、D 、F 三点共线时，|PF|+|PD|取最小值|FM|=|2×12−0+3|√22+(−1)2=4√55， 所以，|PA|+|PD|≥4√55+12． 故答案为：4√55+12． 过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线段PD 、PA ，假设线段PA 交抛物线的准线于点B ，利用抛物线定义得|PF|=|PB|，将抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和转化为|PF|+|PD|+12，利用P 、D 、F 三点共线取得最小值，即可求出答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键就是利用抛物线的定义进行转化，属于中等题． 10.答案： 10解析：试题分析：因为复数=9−1+6i =8+6i ，那么可知|z|=，故可知答案为10．考点：复数的概念点评：复数的模的求解是解题的关键，属于基础题。

2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，4分）两个平面最多可以将空间分成___ 部分．2.（填空题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线的共有___ 条．3.（填空题，4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ___ ．4.（填空题，4分）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为___ ．5.（填空题，4分）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 ___ ．6.（填空题，4分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 ___ ．7.（填空题，5分）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___ ．8.（填空题，5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是 ___ ．9.（填空题，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，BC=2√2，AA1=4，则球O的体积是 ___ ．10.（填空题，5分）异面直线a、b所成角为π，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、3D分别在直线a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，则CD=___ ．11.（填空题，5分）已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D内（包括边界）的动点，且满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ___ ．12.（填空题，5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F分别为边BC，AD上的定点，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分别将△ABE，△CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至△AB'E与△CD'F处，且满足B'D'⊥AB，分别将锐二面角B'-AE-D与锐二面角D'-FC-B记为θ1与θ2，则cos2θ1+cos2θ2的最小值为___ ．13.（单选题，5分）直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能14.（单选题，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8πB.8 √2πC.12πD.10 √2π15.（单选题，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，AA1=√3，E为线段AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A. 2√2B. 2+√2C. √5+1D. √1016.（单选题，5分）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（）A. √612B. 15C. √24D. 1317.（问答题，0分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB || CD，AB=2，PA=2．DC=CB= 12（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；18.（问答题，0分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN || 平面PAB；（2）求三棱锥A-CMN的侧面积．19.（问答题，0分）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；的值及球冠所在球（2）已知球冠表面积公式为S=2πRh，当S=65000π，C=500π时，求rR的表面积．20.（问答题，0分）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，F为BC的中√2，四棱锥B-ACED的体积为12点．求：（Ⅰ）CE的长度；（Ⅱ）求证：AF || 平面BDE；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．21.（问答题，0分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF || AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC= √17．（1）求二面角A-EF-C的大小；（2）求三棱锥A-BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN=mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF || 平面BDM？若存在，求出CM的值；若不存在，请说明理由．MF2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，4分）两个平面最多可以将空间分成___ 部分．【正确答案】：[1]4【解析】：对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分【解答】：解：两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分，故答案为：4．【点评】：本题考查平面的基本性质及推论，解答本题，关键是了解两个平面的位置关系，根据每种情况下的位置进行讨论，得出最多可分成几部分．2.（填空题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线的共有___ 条．【正确答案】：[1]6【解析】：由异面直线的定义可以直接得到结果．【解答】：解：正方体ABCD-A1B1C1D1的共有12条棱中，BA1成异面直线的有：AD，DC，B1C1，C1D1，CC1，DD1，共6条．故答案为：6．【点评】：在本题考查异面直线的条数的求法，考查异面直线的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ___ ．【正确答案】：[1]矩形【解析】：利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形．根据AC⊥BD，可得EF⊥EH．即可判断出四边形EFGH的形状是矩形．【解答】：解：如图所示，∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF ∥=12AC，HG ∥=12AC，∴EF ∥=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又AC⊥BD，∴EF⊥EH．则四边形EFGH的形状是矩形．故答案为：矩形．【点评】：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、矩形，考查了空间想象能力与计算能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：先确定旋转得到的几何体为圆柱，由圆柱的体积公式求解即可．【解答】：解：由题意，该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体为圆柱，其中圆柱的底面半径r=1，高为1，所以圆柱的体积公式为V=π×12×1=π．故答案为：π．【点评】：本题考查了空间旋转体的理解与应用，圆柱的体积公式的应用，解题的关键是确定旋转所得到的几何体是圆柱，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 ___ ．【正确答案】：[1]2π【解析】：利用圆锥的侧面积即为侧面展开图的扇形的面积，求解即可．【解答】：解：因为圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，×π×22=2π．所以该圆锥的侧面积为12故答案为：2π．【点评】：本题考查了圆锥的侧面积的求解，解题的关键是掌握圆锥的侧面积即为侧面展开图的扇形的面积，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．6.（填空题，4分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 710【解析】：基本事件总数n= C52 =10，取出的两个球中至少有1个黑球包含的基本事件个数m= C22+C21C31 =7，由此能求出取出的两个球中至少有1个黑球的概率．【解答】：解：袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，基本事件总数n= C52 =10，取出的两个球中至少有1个黑球包含的基本事件个数m= C22+C21C31 =7，∴取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P= mn = 710．故答案为：710．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___ ．【正确答案】：[1]100【解析】：利用高、斜高、两个对应的边心距构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出斜高，代入侧面积公式运算．【解答】：解：∵上底的边心距为1，下底的边心距为4，高是4，∴斜高为√42+32 = √25 =5，故侧面积等于4× 2+82×5=100．故答案为：100．【点评】：本题考查正棱台的侧面积求法，是基础题．解题时要认真审题，构造直角三角形利用勾股定理求出斜高是解题的关键．8.（填空题，5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] 812【解析】：过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形，结合图中数据，求出截面图形的面积．【解答】：解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形DEFC1，如图所示：其中F是BB1的中点，EF= 12 DC1= 12×6 √2 =3 √2，DE=FC1= √62+32 =3 √5；所以梯形底面上的高为h= √(3√5)2−(3√22)2= 9√22，则该截面的面积是S= 12 ×（6 √2 +3 √2）× 9√22= 812．故答案为：812．【点评】：本题考查了正方体截面面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.（填空题，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，BC=2√2，AA1=4，则球O的体积是 ___ ．【正确答案】：[1] 1256π【解析】：把直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的体积公式得答案．【解答】：解：由题意可知，三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，半径R满足2R=√12+(2√2)2+42=5，则R= 52，故球O的体积V=43πR3=1256π．故答案为：125π6．【点评】：本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．10.（填空题，5分）异面直线a、b所成角为π3，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，则CD=___ ．【正确答案】：[1] √11或√17【解析】：首先作出图形，转化异面直线a，b所成的角为∠CAE= π3或2π3，再利用余弦定理和勾股定理求CD．【解答】：解：过点A作AE || BD，且AE=BD，连结ED，CE，因为异面直线a，b所成角为π3，所以∠CAE= π3或2π3，AC=1，AE=3，当∠CAE= π3时，CE2=12+32−2×1×3cosπ3=7，解得：CE= √7，当∠CAE=2π3时，CE2=12+32−2×1×3cos2π3=13，解得：CE= √13，因为AE || BD，且AE=BD，所以四边形AEDB是平行四边形，即：DE=2，又因为c⊥a，c⊥b，即DE⊥AE，且DE⊥CE，AC∩AE=A，所以DE⊥平面ACE，所以DE⊥CE，当CE= √7，DE=2时，CD= √(√7)2+22=√11，当CE= √13，DE=2时，CD= √(√13)2+22=√17，故答案为：√11或√17．【点评】：本题考查了异面直线所成角的作法以及利用余弦定理进行简单运算，属于基础题．11.（填空题，5分）已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P 是△A1C1D内（包括边界）的动点，且满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ___ ．【正确答案】：[1] √14【解析】：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A1C1D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST，T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．【解答】：解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，因为P是△A1C1D内（包括边界）的动点，所以点P的轨迹是两平面的交线ST，T为DC1中点，S在4等分点时，SD=3 √2，SM= √42+2 =3 √2，满足SD=SM，所以SD=3 √2，TD=2 √2，所以ST2=（3 √2）2+（2 √2）2-2× 3√2×2√2cos60° =14，所以ST= √14，故答案为：√14．【点评】：本题考查正方体的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属中档题．12.（填空题，5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F分别为边BC，AD上的定点，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分别将△ABE，△CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至△AB'E与△CD'F处，且满足B'D'⊥AB，分别将锐二面角B'-AE-D与锐二面角D'-FC-B记为θ1与θ2，则cos2θ1+cos2θ2的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 15【解析】：根据题意，作B′在底面的射影O，D′在底面的射影Q，找到两个锐二面角的平面角，从而得到cosθ1=HOB′H =HOBH，cosθ2=QMB′H=HOBH，∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，设BL=y，将所求式子表示成y的二次函数，求二次函数的最小值，即可求得答案．【解答】：解：如图① 作BH⊥AH，B′在底面投影为O，∴ cosθ1=HOB′H =HOBH，同理，D′Q⊥面 ABCD，DM⊥CF，cosθ2=QMD′M =QMDM又∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，还原到平面图形如图② HK、OL⊥AB、QJ、MI⊥CD，可求得 BK=1，设 BL=y∴ HO BH =KLBK=y−11，同理可求得DI=12，QM MD =IJDI=2−y−1212=2(32−y)，∴ cos2θ1+cos2θ2=(y−1)2+4(32−y)2=5y2−14y+10，当且仅当y=75取得最小值15，故答案为：15．【点评】：本题考查立体几何中的翻折问题、二面角的概念、函数的最值，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是利用平行条件进行问题的转化，属于难题．13.（单选题，5分）直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能【正确答案】：D【解析】：根据题意，由空间直线间的位置关系，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，直线a与b相交，b与c相交，直线a与直线c可能相交、平行、异面，故选：D．【点评】：本题考查空间直线间的关系，涉及直线位置关系的定义，属于基础题．14.（单选题，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8πB.8 √2πC.12πD.10 √2π【正确答案】：A【解析】：由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，可得圆柱的高和底面圆的直径，根据圆柱的侧面是以圆柱的高为宽，底面圆的周长为长的矩形，即可得解．【解答】：解：由题意知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为2 √2，圆柱底面圆的直径为2 √2，∴底面圆的周长为2 √2π，∴侧面积S=2 √2 ×2 √2π=8π．故选：A．【点评】：本题考查圆柱中的简单计算，熟练掌握圆柱的结构特征是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．15.（单选题，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，AA1=√3，E为线段AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A. 2√2B. 2+√2C. √5+1D. √10【正确答案】：D【解析】：作出几何体的图形，连接D1A，并延长至点G，使得AG=AD，连接C1B，并延长至点F，使得BF=BC，连接GF，连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，利用勾股定理求解即可．【解答】：解：作出几何体的图形如图所示，连接D1A，并延长至点G，使得AG=AD，连接C1B，并延长至点F，使得BF=BC，连接GF，则四边形ABFG为正方形，连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，所以D1E+CE的最小值为D1F= √12+(√1+√AA12+1)2= √1+(√1+3+1)2=√10．故选：D．【点评】：本题考查了两条线段之和最小值的求法，考查了空间中线线、线面、面面间位置关系的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于中档题．16.（单选题，5分）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（）A. √612B. 15C. √24D. 13【正确答案】：A【解析】：过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，由已知证明∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，再证明PA⊥PH，可得点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外），设OA=a（a＞0），由已知可得AB=a，AH= a2，PE= a4，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，再由tanθ= PEOP求得tanθ的最大值．【解答】：解：如图，过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴PA⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，∴PA⊥平面PBH，则PA⊥PH．∴点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外）．∵OA=AB，且∠OAB=120°，∴∠BAH=60°，设OA=a（a＞0），则AB=a，从而AH=AB•cos60°=a2．∴PE= 12AH=a4，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值．tanθ的最大值为PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．17.（问答题，0分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB || CD，DC=CB= 12AB=2，PA=2．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；【正确答案】：【解析】：（1）求出线面垂直的判断定理所需的条件即可；（2）异面直线中作其中一条直线的平行线，转化为相交直线，利用余弦定理求出相交直线的余弦值，进而得到异面直线的余弦值．【解答】：（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD=D，∴PA⊥平面ABCD，（2）∵AB || CD，∴∠PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角，∵PA⊥平面ABCD，∴在Rt△PAD中，PD=2√3，AC=2√5，∴ PC=2√6，∴ cos∠PDC=4+12−248√3=−√33，∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：√33．【点评】：本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.（问答题，0分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN || 平面PAB；（2）求三棱锥A-CMN的侧面积．【正确答案】：【解析】：（1）先利用平面几何性质证明CN || AB，MN || PA，从而利用线面平行判定定理证明线面平行，再证明面面平行，（2）分别求三个三角形的面积即可．【解答】：证明：（1）∵∠ACD=90°，N为AD的中点，∴AN=CN，又∵∠CAD=60°，∴△ACN为等边三角形，∴∠ACN=60°，∴∠BCN=∠BCA+∠ACN=30°+60°=90°，即CN⊥BC，又∵AB⊥BC，∴CN || AB，∴CN || 平面PAB，∵M、N分别为PD、AD的中点，∴MN || PA，∴MN || 平面PAB，又∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，∴平面CMN || 平面PAB．（2）∵PA⊥平面ABCD，MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，且MN= 12PA=1，AN=NC=NC=2，CM= √12+22 = √5，AM= √12+22 = √5，∴S△AMN= 12 ×1×2=1，S△ACN= √34×22= √3，S△ACM= 12×2× √√52−12 =2，故三棱锥A-CMN的侧面积为1+ √3 +2=3+ √3．【点评】：本题考查了立体几何中平行与垂直的判断与应用，同时考查了侧面积，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；（2）已知球冠表面积公式为S=2πRh，当S=65000π，C=500π时，求rR的值及球冠所在球的表面积．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用勾股定理的应用求出结果；（2）利用球冠的表面积公式和球的表面积公式的应用求出结果．【解答】：解：（1）如图所示：依题意：设OB垂直于球冠的底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，利用在Rt△OO1A中，OA2=OO12+O1A2，整理得：R2=（R-h）2+r2，解得R=ℎ2+r22ℎ．（2）由于球冠的底面圆的周长为500π，所以r= 500π2π=250，球冠的表面积为S=2πRh，且S=65000π，所以h= S2πR =32500R，由R=ℎ2+r22ℎ，即65000=325002R2+2502，解得R=650．所以rR =250650=513，球的表面积为S球=4π•6502=1690000π，所以rR =513，S球=1690000π．【点评】：本题考查的知识要点：球冠的表面积和球的表面积公式，勾股定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，0分）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC= √2，四棱锥B-ACED的体积为12，F为BC的中点．求：（Ⅰ）CE的长度；（Ⅱ）求证：AF || 平面BDE；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．【正确答案】：【解析】：（I）证明AB⊥平面ACED，可得AB为四棱锥B-ACED的高，利用四棱锥B-ACED的体积为12，即可求出CE的长度；（Ⅱ）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF || GD，再由线面平行的判定定理得到AF || 平面BDE；（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．【解答】：（Ⅲ）解：四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC．∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，…2分即AB为四棱锥B-ACED的高，∵ V B−ACED=13S ACED•AB=13×12(AD+CE)×AC×AB=13×12×(1+CE)×1×1=12，∴CE=2．…4分（Ⅱ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线，∴GF || EC || DA，GF=12CE=DA，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF || GD．又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF || 平面BDE．…8分（Ⅲ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF || GD，∴GD⊥平面BCE．又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．…12分【点评】：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定．是中等题．21.（问答题，0分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF || AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC= √17．（1）求二面角A-EF-C的大小；（2）求三棱锥A-BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN=mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF || 平面BDM？若存在，求出CM的值；若不存在，请说明理由．MF【正确答案】：【解析】：（1）根据二面角的定义即可求解；（2）可将三棱锥A-BDF的体积转化为求三棱锥F-ABD体积；的值即可．（3）可利用反证法，先假设存在点M，根据题意证明假设成立，进而求出CMMF【解答】：解：（1）过点E分别作EG⊥EF，EH⊥EF，分别交AB，CD于G，H，连接GH，则∠GEH为二面角A-EF-C的平面角，因为四边形ABCD为正方形，EF || AB，所以EG⊥AB，EH⊥CD，由已知得EG=GH=EH=4，所以∠GEH=60°．（2）过点E作EO⊥GH，垂足为O．因为EF || AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF || 平面ABCD．因为AB || CD，EH⊥CD，所以AB⊥EH．因为EG∩EH=E，所以AB⊥平面EGH．因为EO⊂平面EGH，所以AB⊥EO．因为AB∩GH=G，AB，GH⊂平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO为三棱锥F-ABD的高，EO=2√3．因为S△ABD=8，所以V A−BDF=V F−ABD=13S△ABD⋅EO=13×8×2√3=16√33．（3）方法一：假设存在点M．① 当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R，则△DNR∽△BC R，所以CRRN =BCDN=11−m．因为FN || 平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MR，所以FN || MR，所以CMMF =CRRN=11−m．② 当点N在DA延长线上时，连接CN交BD于S，则△DNS∽△BCS，所以CSSN =BCDN=11+m．因为FN || 平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MS，所以FN || MS，所以CMMF =CSSN=11+m．综上，在直线CF上存在点M，使NF || 平面BDM，CMMF 的值为11−m或11+m．方法二：当点N在线段AD上时，过点N作NT || BD交CD于T，连接TF，过点D作TF || DM交CF 于点M，因为TF∩TN=T，所以平面FTN || 平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF || 平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MR，所以FN || MR．因为NT || BD，DT || AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN =ABDT=11−m，所以CDDT =11−m，所以CMMF =CDDT=11−m．当点N在线段DA延长线上时，过点N作NT || BD交CD于T，连接TF，过点D作TF || DM 交CF于点M．因为TF∩TN=T，所以平面FTN || 平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF || 平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MS，所以FN || MS．因为NT || BD，DT || AB，所以△ABD∽△D TN，所以ADDN =ABDT=11+m，所以CDDT =11+m．所以CMMF =CDDT=11+m．综上，在CF上存在点M使得NF || 平面BDM，此时CMMF =11−m或11+m．【点评】：本题考查了二面角平面角及其求法，考查了空间几何体的体积，以及反证法证明存在问题．。

2020-2021上海控江初级中学高二数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．33B ．3 C ．13D ．232．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 3．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C．12D．234．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．635．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．116．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A ．2B ．3C ．4D ．57．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.58．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C．2 7D．3 89．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S=（单位：升），则输入的k=（）A．9B．10C．11D．1210．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（）A．38B．34C．35D．4511．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以,OA OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．21π-B．122π-C．2πD．1π12．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A ．48B ．60C ．64D ．72二、填空题13．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______14．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．15．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．16．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．17．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.18．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．19．执行如图所示的程序框图，若1ln2a=，22be=，ln22c=（其中e是自然对数的底），则输出的结果是__________．20．已知由样本数据点集合(){},|1,2,3,,i ix y i n =L L ，求得的回归直线方程为1.230.08y x Λ=+ ，且4x =。

上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为．如图，在正方体1ABCD A B -．如图，在正四棱锥P ABCD -四棱锥的高是．若球的体积是9π2，则球的表面积是．在正四面体ABCD中，棱AB ．如图，PA^平面ABCD.正方形二、单选题13．若l 是平面a 与平面b 的交线，直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面a 内，2l 在平面b 内，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l 、2l 中的一条相交B ．l 与1l 、2l 都相交C ．l 至多与1l 、2l 中的一条相交D ．l 与1l 、2l 都不相交14．如图，在三棱锥A BCD -中，棱AB 的中点为E ，棱AC 的中点为F ，棱BD 的中点为G ，经过E 、F 、G 的截面一定是（ ）A ．三角形B ．矩形C ．梯形D ．平行四边形15．定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）来判断降雨程度；其中小雨（0mm 10mm -），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨16．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点，4AB BC ==，13AA =.(1)求直线1AC 与平面ABCD 所成的角的大小；(2)求直线EF 与直线1AC 所成的角的大小.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PD ^平面ABCD ，60PAD DAB ÐÐ==o ，E 为AD 的中点.(1)证明：平面PBE ^平面PAD ；(2)求二面角B PA D --的大小.19．如图，AB 是圆柱下底面的直径且长度为2，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点.取BD 中点E ，连接1,AE A E ，设正方体棱长为则112,A D A B BD AB AD ====由三线合一可知1,AE BD A E ^平面ABD Ç平面1A BD BD =，所以二面角而在直角三角形1AEA 中，tan Ð故答案为：6．9π【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果【详解】设该球的半径为r，则球的体积为因此，该球的表面积为24π9πr=故答案为：) 2,5éë11．12【分析】根据正方体的对称性，可知球【详解】不妨设正方体棱长为【分析】作出辅助线，得到//,//EF，所以四边形EFPG为平行四边形，求出经GP EG FP过E、F、G的截面为平行四边形EFPG.【详解】取CD的中点P，连接,,,PF PG EF EG，因为棱AB的中点为E，棱AC的中点为F，棱BD的中点为G，所以//,//AD FP ADEG，BC GP BCEF，//,//故//,//GP EG FPEF，所以四边形EFPG为平行四边形，故经过E、F、G的截面为平行四边形EFPG.故选：D15．B【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】做出容器的轴截面，如图所示，【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的。

上海市控江中学2020-2021学年高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若函数1()21xf x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值2．“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的 （）条件． A ．必要非充分B ．充分非必要C ．充分必要D ．非充分非必要3．设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为（ ） A ．M N ⋃； B ．M N ⋂； C ．R C M N ⋂； D ．R M C N ⋂4．已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是（ ）A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形二、填空题5．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =__________．6．方程4220x x +-=的解是7．若()()23f x log x =+，则它的反函数是()1fx -=______．8．设12e e 、为单位向量，且12e e 、互相垂直，若1213,2a e e b e =-+=，则向量a 在b 方向上的投影为______．9．已知某圆锥体的底面半径为3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为23π的扇形，则该圆锥体的母线长是______． 10．设函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若a R ∈，且()2f a =，则实数a 构成的集合为______．11．在无穷等比数列{}n a 中，121a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 12．设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足121235PF PF F F -=，则该双曲线的渐近线方程为 ． 13．函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是__________14．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人。