上海市控江中学2021-2022学年高二上学期12月阶段检测数学试题(无答案)

2021年高二上学期12月第二次月考 数学理试题 含答案说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,,则B ．若,,,则C ．若,,,则D ．若,,,则2、若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比（ ）A ．B ．C ．D ． 3、已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则双曲线的 方程是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．5、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 8、设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或 9、已知圆,圆()()222:349C x y -+-=,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．10、已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为（ ）AD 1A 1D C BAB 1C 1E PA ．B ．C ．D ．11、已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．312、在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有,则（ ） A ．平面与平面垂直 B ．平面与平面所成的(锐)二面角为 C ．平面与平面平行D ．平面与平面所成的(锐)二面角为卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为, 三棱柱的体积为,则____________.14、设是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若且的最小内角为,则C 的离心率为_____ 15、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.16、如图,正方体的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当时,S 为四边形;②当时,S 为等腰梯形;③当时,S 与的交点R 满足;④当时,S 为六边形;⑤当时,S 的面积为.三．解答题：(17题10分，其它题目每小题12分) 17.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1, (1)证明:直线BC 1平行于平面D 1AC, (2)求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.18、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点.(I)求证:(II)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB －Ａ的 余弦值。

2021年高二12月阶段性检查数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不写解答过程，将答案写在答题纸的指定位置上.1、命题“，”的否定是▲2、直线的倾斜角是▲ .3、命题“若，则”的否命题是___▲ ___命题(填：真或假)。

4、已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的___ ▲___(选填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”中的一种)．5、已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是▲．6、已知正四棱柱的底面边长为2，高为1，则该正四棱柱的外接球的表面积为▲．7、已知函数的定义域为，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围▲ .8、圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A（5，2）和点B（3，2）的圆的标准方程是_ _▲_ ___．9、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是▲．10、下列命题结论中错误的有▲．①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②已知命题，命题，则命题是命题的必要不充分条件。

③直线与平行的充要条件是。

11、在平面直角坐标系中,设点为圆:上的任意一点,点 (),则线段长度的最大值为__ ▲____.12、已知点A（1，﹣2）关于直线x+ay﹣2=0的对称点为B（m，2），则实数a的值为▲．13.过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是▲ .14．在直角坐标系中，已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点分别为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围是▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分14分）已知命题：椭圆的焦点在轴上．命题：，不等式恒成立，（1）若命题为真命题，求实数的取值范围.（2）若或为真命题，“且为假命题，求实数的取值范围.16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．17. （本题满分14分）已知三个顶点坐标分别为：，且,直线经过点．(1) 求值；(2) 求外接圆的方程；(3) 若直线与相切，求直线的方程；18、（本题满分16分）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且过点．（1）求椭圆的标准方程；⑵若P是椭圆上一点且在x轴上方，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，求p点坐标。

2021年高二上学期12月月考数学理试题含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是▲．1．2．等差数列中，若, ，则 . 2. 1003．函数的导数▲ ．3．2．在中，，则= ．5．等差数列中，，，则其前n项和的最小值为___________.5. －45．在中，若，则▲．【答案】7．下列有关命题的说法中，错误．．的是▲(填所有错误答案的序号)．7．③①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若为假命题，则、均为假命题．8.函数y=的最小值是8。

7．若成等差数列，成等比数列，则(结果用区间形式表示)7.8．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲．8．8．（理科）若，满足约束条件2323xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则的最小值是▲．【答案】-39．已知{}是公差不为0的等差数列，不等式的解集是，则＝．9. 2n 12．设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为__ 12. 413．设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则a xx= 13. 402013．已知中,,若该三角形有两解,则的取值范围是13．12．如图，中，D是BC边上的中线，且，，则周长的最大值为▲．【答案】13．如图平面直角坐标系中，椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．则▲．13．14．对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列满足如下两个条件：（1）数列为上凸数列，且；（2）对正整数（），都有，其中.则数列中的第五项的取值范围为 . 14。

14．已知数列：11212312,,,,, 233444111nn n n+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++．设，则数列的前n项和为▲．【答案】二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)已知的三个内角所对的边分别为，是锐角，且. (1)求；(2)若，的面积为103，求的值．15. (本小题共14分) 解：（1） 由,又是锐角，所以………………………………………………6分（2）由面积公式13sin 1032S bc A bc ===， 又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………14分．15．（本题满分14分） （理科）已知命题p ：，命题q ：．若为假命题， 为真命题，求实数x 的取值范围．（理）解：解不等式，得，所以p ： (6分)由为假命题，为真命题，可得p ，q 一真一假． 当p 假q 真时， （10分） 当p 真q 假时，16.（本题满分14分）如图，在河对岸可以看到两个目标A ，B ，但不能到达，在岸边选取相距km 的C ，D 两点，并测得，，，。

2021-2022年高二数学上学期第三次联考（12月）试题 理（时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的。

1．已知命题: ，则（ ） A ．():0 sin 0p θπθ⌝∃∈>，，B ．C ．():0 sin 0p θπθ⌝∃∈≤，，D ．():0,sin 0p θπθ⌝∃∈<， 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ） A. B. C. D.3．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点， 则等 于（ ） A ．B ．C ．D ．4．墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．与a 的取值有关5.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( )A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 6．某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x （吨） 与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表所示，根据 右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为， 那么a 的值等于 （ ）A．0.35 B．3.15 C．3.5 D．0.47. 直线：y=kx+1与双曲线2x2-y2=1有且仅有一个公共点，则直线条数为（）A．2 B．4 C．6 D．38．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．19. 下列结论错误的．．．是（）A．命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题;B．命题，命题则为真;C．“若则”的逆命题为真命题;D．若为假命题，则、均为假命题．10．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝1320，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于（）A. B.或2 C.2 D.12.设表示不超过实数的最大整数，则在坐标平面上，满足的点所形成的图形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．某公司共有员工名，现须新设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取人，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是14．右图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为15．F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点。

2021年高二上学期12月月考数学（理）试卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．本试卷共2页，分为两部分。

第一部分选择题，8个小题（共40分）；第二部分非选择题，9个小题（共60分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可用2B 铅笔。

4．考试结束后，将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。

分．）1．条件：动点M到两定点距离之和等于定长；条件：动点M的轨迹是椭圆，是的 ( )A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件2．设三条不同直线，两个不同平面，,下列命题不成立的是（）A．若，则B．“若，则”的逆命题C．若是在的射影，，则 D．“若，则”的逆否命题3．正方体中，异面直线与所成角的正弦值为 ( )A． B． C． D．4．中，、，则 AB边的中线对应方程为 ( )A． B． C． D．5．已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC 的( )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心6．椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）A．或 B． C． D．7．圆O所在平面为，AB为直径，C是圆周上一点，且，平面平面，，，，设直线PC与平面所成的角为、二面角的大小为，则、分别为（）A．B． C D．8．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示.设=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，=（b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n ），规定向量与夹角θ的余弦为 ()()22221222212211cos n n n n b b b a a a b a b a b a +++++++++= θ．当=(1，1，1，1，…，1)，=(－1, －1, 1, 1,…,1)时， = ( ) ．A ．B ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：（共6道小题，每小题5分，共30分） 9．命题“”的否定是 ．（要求用数学符号表示）10．（1）已知直线,则该直线过定点 ；（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ．11．已知命题：, :,且“且”与“非”同时为假命题，则． 12．消去未知数“”，化（为已知常数）为只有“”的一元二次方程为．13．双曲线的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到轴的距离为_____________．14．有下列五个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题．②在平面内，F 1、F 2是定点，，动点M 满足，则点M 的轨迹是双曲线．③“在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件．④“若，则方程是椭圆” ．⑤已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．⑥椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为5．其中真命题的序号是 ．三、解答题：（共3道小题，每题10分）15．已知椭圆C 的焦点F 1（－，0）和F 2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C 于A B 两点，且线段AB 的中点坐标是P(-,)，求直线的方程．16．已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是、边长为的菱形，又，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB 平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．17．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.N M B DCA12月考答案一、选择题：二、填空题：9．； 10． （-2,1）；； 11．-2；12．；13．； 14．①③⑤⑥.三、解答题：（共3道小题，每题10分）15．已知椭圆C 的焦点F 1（－，0）和F 2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C 于A B 两点，且线段AB 的中点坐标是P(-,)，求直线的方程。

2021-2022年高二上学期12月月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题只有一个正确答案）1、已知中，已知00===，则等于（）8,60,75a B CA． B． C． D．2、等差数列的前项和为，且,,则公差等于（）A． B． C． D．3、设，且，则 ( )A．B．C．D．4、若命题“”与命题“”都是真命题，则（）A．命题p与命题q的真假性相同B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题5、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的路程是（）A．20 B．18 C．2 D．以上均有可能6、若直线过点，则的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．08、过抛物线的焦点F，作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为，则等于（）A．B．C．D．9、设双曲线的两渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为，为区域内的动点，则目标函数的最大值为（）A．B．C．0 D．10、双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M点，若垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、已知命题，则命题为．12、已知为椭圆C ：(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且若，则b= 13、已知等差数列的公差，且成等比数列，则 ．14、不等式的解集为 ．15、如图分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为 的正三角形，则的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请写出详细解答过程）16、命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”；命题：对任意实数都有恒成立．若是假命题，是真命题，求实数的取值范围．17、在中，角、、所对的边分别是、、，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且，求的面积．18、已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列的前项和为。

2021年高二上学期12月月考试题数学含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2．双曲线的两条渐近线的方程为．3．“”是“直线和直线垂直的”条件．(填“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一)4．已知函数，则= ．5．若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则的值为．6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．7．若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线，离心率为，且过点，则曲线的方程为．9．在平面直角坐标系中，记曲线在处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为，则的值为．10．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．12．双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为.13．已知函数（为自然对数的底数）．．若存在实数，使得．且，则实数的取值范围是．14．设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知命题：函数在上有极值，命题：双曲线的离心率．若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分） 设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求面积的最大值．19．（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地，km ，=km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区，筝形的顶点为商业区的四个入口，其中入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，且满足点恰好关于直线对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口的选址范围；（2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，商业区的环境舒适度指数为，则入口如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？20．（本小题满分16分） 设函数.（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值； （3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假2.3. 充分不必要4.5. 16. 7. （0，2） 8． 9. -3或-4 10． 11．1－34，＋∞) 12. 13. 12，3]． 14.解：当x≥2a 时，f （x ）=|e x ﹣e 2a |=e x ﹣e 2a ，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（﹣e x2）=﹣e x1+x2=﹣1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．15.解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．16.所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.17.．（2）假设圆上存在点，设，则，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即，即， ………………………………10分 因为，……………………………………12分 所以圆与圆相交，所以点的个数为．…………………………………………………………14分 18. 解：（1）由题意得，，解得，所以，所以椭圆的标准方程为．………4分 （2）设，显然直线的斜率都存在，设为 ，则，，所以直线的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， 消去得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得， 故点在定直线上运动． ……10分 （3）由（2）得点的纵坐标为， 又，所以，则200000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点到直线的距离为，将代入得，所以面积2200112727442224y yy-+=≤⋅=，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为．……16分19．解：（1）以A为原点，AB所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设（），则AF的中点为，斜率为，而，故的斜率为，则的方程为，令，得；………2分令，得；……4分由，得，，即入口的选址需满足的长度范围是（单位：km）.……6分（2）因为()23111212AEGS S AE AG a a a aa a∆⎛⎫==⋅=++=++⎪⎝⎭，故该商业区的环境舒适度指数，……9分所以要使最大，只需最小.设……10分则()()())()2224222222111311132132aa aa af a aa a a a-++-++-'=+-===令，得或（舍），………12分的情况如下表：1减极小增故当，即入口满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大16分20．解：（1），,设切点横坐标为，则…………2分消去，得，故，得………4分（2）①当时，在上恒成立，在上单调递增，则，得,舍去; ……………5分 ②当时，在上恒成立，在上单调递减， 则，得,舍去; ………6分 ③当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，得, ……8分 设,则当时，,单调递减， 当时,单调递增， 故,的解为.综上①②③，. ……………10分 （3）方程可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-， 令，故原方程可化为，………12分由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根， 即方程（※）在上有且仅有唯一实数根， ……………13分 ①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意； ②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，记为不妨设 Ⅰ）若代入方程（※）得，得或， 当时方程（※）的两根为，符合题意； 当时方程（※）的两根为，不合题意，舍去； Ⅱ）若设，则，得；综合①②，实数的取值范围为或. …………16分。

精品文档实用文档（第11题图）2021年高二上学期12月月考试卷 数学 含答案（全卷满分160分，考试时间120分钟） xx ．12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是 ▲ ． 2．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．4．已知函数，则 ▲ ．5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为 ▲ ． 6．若双曲线的离心率为2，则的值为 ▲ ． 7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ▲ ． 8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ 9．已知椭圆的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为，则 ▲ 10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ▲ ． 11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是 ▲ ．12． 设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线， 则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行； （3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直； （4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是 ▲ ． 14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是▲ ．（第14题图）精品文档实用文档yxOABCD二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假． 其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线，垂足分别为D 、C ． （1）若，求矩形ABCD 面积；（2）若，求矩形ABCD 面积的最大值．18．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，已知平面， 且． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方， ．（1）求椭圆的离心率的取值范围；NMAPO· · N AD1C1A1B1BCD精品文档实用文档______ 姓名_____________ 学……封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数 (为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值； （2）当时，讨论方程根的个数． （3）若，且对任意的，都有， 求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学高二12月月考数学答题纸 xx.12.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15． 16.精品文档17.18.实用文档精品文档（19,20题请写在答题纸反面）高二数学月考试卷参考答案xx.12一、填空题：1 ．2 ．3．48 4．5．6．3 7．8．9．10．-1 11．3 12．（1）（2）13．14．4二、解答题：15．解：…………………5 分即…………………10 分①②…………………13分综上所述：…………………14分16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．又ED平面PBC，CF平面PBC，故DE∥平面PBC．（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．17．解：（1）时，（详细过程见第（2）问）--------6分（2）设切点为，则,因为，所以切线方程为, 即，因为切线过点，所以，即，于是．将代入得．(若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可．)实用文档精品文档实用文档所以， 所以矩形面积为， ．所以当时，；当时，；故当时，S 有最大值为． -------15分18．证明：（1）在四边形ABCD 中，因为BA=BC,DA=DC ，所以． 平面，且11,,ACC A ABCD AC BD ABCD =⊂平面平面平面所以．(2)点E 为BC 中点，即,下面给予证明：在三角形ABC 中，因为AB=AC ，却E 为BC 中点，所以, 又在四边形ABCD 中，AB=BC=CA=,DA=DC=1，所以 , 所以 ，即平面ABCD 中有， ．因为1111,DC DCC D AE DCC D ⊂⊄平面平面, 所以19．解： ， ∴，． (1) ，∴,在上单调递减．∴时，最小，时，最小，∴，∴． (2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又，∴．∴椭圆方程是 -------10分（3）由（2）得到，于是圆心,半径为3，圆的方程是．椭圆的右准线方程为，,∵直线AM,AN 是圆Q 的两条切线，∴切点M,N 在以AQ 为直径的圆上．设A 点坐标为，∴该圆方程为．∴直线MN 是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．该直线化为：10,(1)80,80,y y t y y -=⎧⎪-+--=∴⎨--=⎪⎩∴直线MN 必过定点． -------16分20． 解：（1），当时，．当时，，又，故，当时，取等号 -------4分（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数． 设=，当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知： 当时，即时，方程有2个相异的根；精品文档当或时，方程有1个根；当时，方程有0个根；-------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于即，故原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立．在时是减函数-------16分（其他解法酌情给分）实用文档精品文档34226 85B2 薲37882 93FA 鏺,32971 80CB 胋D21362 5372 卲$=33248 81E0 臠33333 8235 舵36012 8CAC 責38606 96CE 雎实用文档。

2021-2022年高二数学上学期12月联考试题理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.下列问题可以设计成循环语句计算的有① 求的和； ② 比较两个数的大小；③ 对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值； ④ 求平方值小于的最大整数．A ．个B ．个C ．个D ．个2. 若将两个数交换，使，下面语句正确的一组是A ．B ．C ．D ．3. 点在椭圆的内部，则的取值范围是A. B. 或C. D.4. 抛物线的焦点坐标是A ．B ．C ．D ．5. 如图所示的程序框图中，若输出的值是，则输入的取值范围是A. B. C. D. 6. 如图所示的程序框图中，若输入，则输出的A ．B ．C ．D ．7. 已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为A. B. C. D.8. 用秦九昭算法计算多项式6532()25238103f x x x x x x =++-+-，时，的值为A ．B ．C ．D ．9. 已知双曲线的渐近线方程为, 若顶点到渐近线的距离为, 则双曲线的方程为A. B. C. D.10. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的焦点到准线的距离为A. B. C. D.11. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是A. B.C. D.12.运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可以填A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题卡的相应位置）13. 若椭圆的离心率为，则实数的值为．14. 把八进制数转化为三进制数为．15. 分别写出下列程序的运行结果：（1）；（2） .（1）（2）16. 动点分别到两定点连线的斜率之乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线的焦点坐标为；（2）若，则；（3）当时，△的内切圆圆心在直线上；（4）设，则的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题: (本大题共6个小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. )17.（本小题满分10分）求下列各曲线的标准方程．（1）长轴长为，离心率为，焦点在轴上的椭圆；（2）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，求双曲线的标准方程．18.（本小题满分12分）如图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值, 输出相应的的值，（1）若视为自变量，为函数值，试写出函数的解析式；（2）若要使输入的的值与输出的的值相等, 则输入的值为多少？19. （本小题满分12分）如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是，，．（1）若该曲线为椭圆（中心为原点，对称轴为坐标轴）的一部分，设直线过点且斜率是，求直线与该段曲线的公共点的坐标．（2）若该曲线为抛物线的一部分，求原抛物线的方程．20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．21. （本小题满分12分）已知两点，直线相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于，求直线的斜率（其中点为坐标原点）．22. （本小题满分12分）如图，曲线由曲线22122:1(0,0)x yC a b ya b+=>>≤和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求△面积的最大值．参考答案（理科数学）一、选择题：BCDAC DCADB AB二、填空题：或 ； （1）（2）（3）（4）三、解答题：17、解：（1） ………………………………………4分（2）221944x y -=或221944y x -= ………………………………………10分 18、解：（1）2,2()23,251,5x x f x x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩ ………………………………………6分 （2）时，令，得或时，令，得时，令，得，不符题意，舍去综上所述，输入的值为或或 ………………………12分19、解：（1）若该曲线为椭圆的一部分，则原椭圆方程为， ………………………2分 ∵直线过且斜率为，∴直线的方程为：， …………………3分将，代入，得，化简得：，解得或， ………………………5分将代入，得．故直线与椭圆的公共点的坐标为，． ………………………7分（2）若该曲线抛物线的一部分，则可设抛物线方程为：，将代入得，解得：， ……………………………10分∴原抛物线的方程为，即． ………………………12分20、 解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以.所以抛物线的方程为. ……………………………………… 4分（2）证明：① 当直线的斜率不存在时，设. 因为直线的斜率之积为，所以221344t t t t -⋅=-，化简得. 所以，此时直线的方程为. ……………………6分②当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立方程组消去，得.根据根与系数的关系得，……………………………………… 8分因为直线的斜率之积为，所以，即. 即，解得 (舍去)或. 所以，即，所以，即．………………………………………11分综上所述，直线过定点．……………………………………… 12分21、 解：（1）设点，∵，∴，整理得点所在的曲线的方程：． ………………………… 4分（2）由题意可得点，直线与直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得：2222(43)(128)(4123)0k x k k x k k ++-+--=，……………………………………… 6分由于是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，…………… 8分故直线的斜率为： 2228633(2)(1)(1)1432224243R Q R Q RQ R Q R Q k k k x k x y y k k k x x x x k -----+----+====--+ ………… 12分 22、解：（1）∵，∴，解得，则曲线的方程为和． …………… 3分（2）证明：曲线的渐近线为，如图，设直线， 则2222:()1b l y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化为22222()0x mx m a -+-=，△， 解得．又由数形结合知． …………………………4分设点，，则，，∴，．∴，即点在直线上． ………………………………………6分（3）由（1）知，曲线，点． 设直线的方程为．22120166x y x ny ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化为22(54)48640n y ny +++=，△22(48)464(54)0n n =-⨯⨯+>，化为．设，∴，． ………… 8分∴342|54y y n -=+，114342211||||8225454CDF S F F y y n n =-=⨯⨯=++，………… 10分 令，∴，∴14CDF S t t ==≤=+，当且仅当，即时等号成立．∴时，． ……………………………………… 12分k34687 877F 蝿 20037 4E45 久24948 6174 慴32901 8085 肅(31477 7AF5 竵22100 5654 噔>DO|29329 7291 犑Z。

While <10End While开始n p <是输入p结束 输出S否12n S S =+ 1n n =+ 0,0n S ==2021年高二12月阶段测试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.命题“"xR ，sinx>0”的否定是___▲______2．复数(为虚数单位)的虚部是 ▲3.已知，若p 是q 的必要不充分条件，则的取值范围是 ▲4.执行右图语句后,打印纸上打印出的结果应是____▲______5.观察下列等式照此规律，第个等式为 ▲ 。

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……6．若双曲线的右焦点在抛物线的准线上，则实数的值为___▲． 7．执行右边的程序框图,若，,则输出的 ▲8．设定义在上的函数, 则不等式f (x −1)＋f (1−x 2)＜0的解集为 _ ▲____9．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则= ▲ . 10．命题：在上有意义，命题：函数 的定义域为．如果且为真命题，则的取值范围为 ▲ ．11. 已知函数在点处的切线为y =2x -1，则函数在点处的切线方程为 ▲ ． 12．对于函数，若存在区间，当时，的值域为(＞0），则称为倍值函数。

若是倍值函数，则实数的取值范围是 ▲ 13.已知椭圆：，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点 是圆上的动点.若是常数，则椭圆的离心率是 ▲14．已知函数23221()1(0)()31,()2(3)1(0)x x f x x x g x x x ⎧-+>⎪=-+=⎨⎪-++≤⎩，则方程（为正实数）的实数根最多有 ▲ 个二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（文）已知.22:,0)6)(2(:,0m x m q x x p m +≤≤-≤-+> （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若或为真命题，“且为假命题，求实数的取值范围.15.（理）如图，在棱长为3的正方体中，. ⑴求两条异面直线与所成角的余弦值； ⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.16.已知在处都取得极值． （1）求、的值；（2）若对时，恒成立，求实数的取值范围．17.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若工厂每生产一吨产品必须赔付农场元（以下称为赔付价格）．（1）将工厂的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量； （2）若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额（元），在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格是多少？18.已知椭圆的左,右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且 （1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上一点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，探求直线的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，若分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值；（3）求四边形面积的最大值．20.若函数在处的导数为，则称点为函数的驻点，若点(1,1)为函数f (x )的驻点，则称f (x )具有“1—1驻点性”.（1）设函数f (x )=，其中.①求证：函数f (x )不具有“1—1驻点性”；②求函数f (x )的单调区间.（2）已知函数g (x )=bx 3+3x 2+cx +2具有“1—1驻点性”，给定x 1，x 2 R ，x 1＜x 2，设λ为实数，且λ≠，α=x 1+λx 21+λ，β=x 2+λx 11+λ，若|g (α)g (β)|＞|g (x 1)g (x 2)|，求λ的取值范围.江苏省盐城中学高二年级第二次随堂测验数 学 试 题（xx.12）（答案）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1. 2．1 3. 4. 28_．5. 2)12()23()2()1(-=-++++++n n n n n6． _-4_． 7． 8． 9． -3. 10．．11.． 12． 13. 14． 6 个二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（文）已知.22:,0)6)(2(:,0m x m q x x p m +≤≤-≤-+> （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若或为真命题，“且为假命题，求实数的取值范围. 解：(I)∵是的充分条件，∴[-2，6]是的子集 ∴ ∴实数的取值范围是 (Ⅱ)当时，. 据题意有,与一真一假.真假时,由假真时,由.76237362≤<-<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤->-<x x x x x 或或∴实数的取值范围为15.（理）如图，在棱长为3的正方体中，. ⑴求两条异面直线与所成角的余弦值； ⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. （1）以为原点，建立空间直角坐标系， 如图所示,则,所以111111230cos ,,3310AC D E AC D E AC D E⋅<>===-⨯即两条异面直线与所成角的余弦值为(2) ()()()13,3,0,0,3,2,3,0,1.B BE D E =-=- 设平面的一个法向量为由得，所以，则不妨取 则16.已知在处都取得极值．（1）求、的值；（2）若对时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）在处都取得极值，即经检验符合（2）由（1）可知，由，得的单调增区间为，由，得的单调减区间为和，当时，，而所以，即在上的最小值为，要使对时，恒成立，必须17.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若工厂每生产一吨产品必须赔付农场元（以下称为赔付价格）．（1）将工厂的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；（2）若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额（元），在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格是多少？解：（Ⅰ）工厂的实际年利润为：()．ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=，当时，取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量 (吨)． （Ⅱ）设农场净收入为元，则．将代入上式，得：． 又令，得． 当时，；当时，， 所以时，取得最大值．18.已知椭圆的左,右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且 （1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上一点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，直线的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由. 解：（I ）设由抛物线定义， M 点C 1上，舍去.椭圆C 1的方程为 （II ）设直线的方程为代人椭圆方程得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=设 ，可得 ，故5325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='19.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点，若分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）求四边形面积的最大值．19.解：（1），（2）直线的方程分别为，.如图，设，其中，且满足方程，故………①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（32h==又，所以四边形的面积为，当且仅当即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．20.若函数在处的导数为，则称点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.（1）设函数f(x)=，其中.①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间.（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2∈R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠，α=x1+λx21+λ，β=x2+λx11+λ，若|g(α)g(β)|＞|g(x1)g(x2)|，求λ的取值范围.解：（Ⅰ）①=-1+1x +ax∵=-1+1+a≠0， ∴函数f (x )不具有“1—1驻点性” ②由=-x+x+a x = -(x-12)2+a+14x(ⅰ)当a+14＜0,即a ＜-14时，＜0.∴f (x )是(0,+∞)上的减函数； (ⅱ)当a+14=0,即a =-14时，显然≤0.∴f (x )是(0,+∞)上的减函数； (ⅲ)当a+14＞0，即a ＞-14时，由=0得x=12±a+14 当-14＜a ＜0时，12-a+14＞0∴x ∈(0, a+12-a+14)时，＜0;x ∈( a+12-a+14, a+12+a+14)时，＞0; x ∈( a+12+a+14, +∞)时，＜0;综上所述：当a ≤-14时，函数f (x )的单调递减区间为(0,+∞)； 当-14＜a ＜0时，函数f (x )的单调递减区间为(0, a+12-a+14)和( a+12+a+14,+∞)，函数f (x )的单调递增区间为( a+12-a+14, a+12+a+14)；（Ⅱ）由题设得：=3bx 2+6x+c,∵g (x )具有“1—1驻点性”∴且即⎩⎨⎧b+3+c+2=13b+6+c=0解得⎩⎨⎧b=-1c=-3∴=-3x 2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g (x )在定义域R 上单调递减. ①当λ≥0时，α=x 1+λx 21+λ≥x 1+λx 11+λ=x 1，α=x 1+λx 21+λ＜x 2+λx 21+λ=x 2，即α∈[x 1,x 2),同理β∈(x 1,x 2] 11分 由g (x )的单调性可知：g (α)，g (β)∈[ g (x 2),g (x 1)]∴|g (α)-g (β)|≤|g (x 1)-g (x 2)|与题设|g (α)-g (β)|＞|g (x 1)-g (x 2)|不符.②当-1＜λ＜0时，α=x 1+λx 21+λ＜x 1+λx 11+λ=x 1，β=x 2+λx 11+λ＞x 2+λx 21+λ=x 2即α＜x 1＜x 2＜β∴g (β)＜g (x 2)＜g (x 1)＜g (α)∴|g (α)-g (β)|＞|g (x 1)-g (x 2)|，符合题设 ③当λ＜-1时，α=x 1+λx 21+λ＞x 2+λx 21+λ=x 2, β=x 2+λx 11+λ＜x 1+λx 11+λ=x 1，即β＜x 1＜x 2＜α ∴g (α)＜g (x 2)＜g (x 1)＜g (β)∴|g (α)-g (β)|＞|g (x 1)-g (x 2)|也符合题设由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-10eM36511 8E9F 躟23031 59F7 姷s30344 7688 皈27219 6A53 橓28558 6F8E 澎%40360 9DA8 鶨$M。

2021-2022年高二上学期12月月考数学（文）试题含答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1 .已知集合的三个元素是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形2．若，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是（）（A）甲：乙：（B）甲：乙：（C）甲：乙：至少有一个为零（D）甲：乙：3．如果函数在区间上是减函数，那么a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4 . 的一个充分条件是（）（A）（B）（C）（D）5．设命题，则命题的否定为（）（A）（B）（C）（D）6．平行于直线且与圆相切的直线方程是（）（A）05252=-+=++yxyx或（B）05252=-+=++yxyx或（C）05252=--=+-yxyx或（D）05252=--=+-yxyx或7 .与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（）（A）（B）（C）（D）8.一质点按规律运动，则时的瞬时速度为（）（A）（B）（C）（D）9．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）（A）（B）（C）（D）10．已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）二填空题 :(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中答题卷横线上).11.若"tan,3,0"mxx≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈π任意是真命题，则实数的最小值为 .12.命题的逆否命题为 .13.抛物线的焦点的坐标为 .14.函数的图像与轴所围成图形的面积是 .15. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则椭圆的离心率为____ .三简答题：(本大题共4个小题,每小题10分，共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).16 .（本小题满分10分）已知双曲线的方程为.（1）求该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距长，离心率;（2）求该双曲线的焦点坐标，顶点坐标，渐进线方程.17.（本小题满分10分）已知抛物线,过其焦点的直线与抛物线相交于两点，设两点的坐标分别为.求证：（1）；（2）.18.（本小题满分10分）已知椭圆的弦的中点为.坐标原点为.（1）求直线的方程；（2）求的面积．19．（本小题满分10分）已知命题函数在上单调递增，命题函数大于零恒成立.若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.20．附加题（本小题满分10分，不计入总分）已知椭圆2222:1(0,0)x yC a ba b+=>>，点的坐标为.（1）如为椭圆内一点，直线与相交于两点，且为线段的中点，求直线方程；（2）如为椭圆上一点，求过点的切线方程，并比较此方程与（1）问中直线方程的表达式有何关系；（3）如为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求过的直线方程.西安市第一中学xx第一学期第二次月考高二数学（文科）试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.题号12345678910答案D B A C C A B A C D 二填空题 :(本大题共5个小题,每小题4分,共20分).11. 12.13. 14. 15.三简答题：(本大题共4个小题,每小题10分，共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).16 .（本小题满分10分）已知双曲线的方程为.（1）求该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距长，离心率;（2）求该双曲线的焦点坐标，顶点坐标，渐进线方程.解（1）双曲线的方程可化为可得，所以，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距长为，离心率;（2）双曲线的焦点坐标为，顶点坐标为，渐进线方程为.17.（本小题满分10分）已知抛物线,过其焦点的直线与抛物线相交于两点，设两点的坐标分别为.求证：（1）；（2）.证明（1）设直线，联立方程组，，因为直线与抛物线相交于两点，所以，是方程的两个根，故；（2）18.（本小题满分10分）已知椭圆的弦的中点为.坐标原点为.（1）求直线的方程；（2）求的面积．解（1）设，则，可得：，变形得，因为，弦的中点为，所以，直线；（2）联立，代入化简得：，，原点到直线的距离为，故.(注意：)19．（本小题满分10分）已知命题函数在上单调递增，命题函数大于零恒成立.若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.解命题函数在上单调递增，所以，，故.命题函数大于零恒成立，所以，，故.而命题“”为真，命题“”为假，故命题必一真一假.1若时，，解得：2若时，，解得：故实数的取值范围为.20．附加题（本小题满分10分，不计入总分）已知椭圆，点的坐标为.（1）如为椭圆内一点，直线与相交于两点，且为线段的中点，求直线方程；（2）如为椭圆上一点，求过点的切线方程，并比较此方程与（1）问中直线方程的表达式有何关系；（3）如为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求过的直线方程.解：1)设直线与相交于两点的坐标分别为，由条件知由（2）-（1）得：所以，过两点的直线的斜率为：直线方程为：2) 椭圆的切线方程为由直线方程（3）可整理为：，当点在椭圆上时，有。

精品文档实用文档2021-2022年高二数学上学期12月阶段性检测试题理一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一个正确答案） 1.直线通过第二、三、四象限，则有 ( )A ．B ．C ．D ．2.设直线的倾斜角为α，且，则满足（ ） A ． B. C ． D.3. 毛泽东同志在《清平乐•六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的 （ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如果、、在同一直线上，则的值是（ ）A ．-6 B.-7 C ．-8 D. -9 5. 下列说法正确的是 （ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题B. 命题“若 ，则 或 ”的否命题是：“若 ，则 或 ”C. 命题“，使得 ”的否定是：“，”D. 直线 ：，：， 的充要条件是6. 与 轴相切且与圆 相外切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A. B. C.D.7. 已知,若p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. . C. D.( 8. 圆 与圆 的公共弦所对的圆心角为（ ） A.B.C. D.9. 方程所表示的曲线是（ ）A ．一个圆 B. 两个圆 C ．半个圆 D. 两个半圆10. 已知实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，若目标函数 取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数的取值范围为（ ）A. （-∞，-1）B. （0，1）C.（1，+∞）D. [1，+∞）精品文档实用文档11. 直线 与圆：的交点个数是（ ）A ．2 B. 1 C ．0 D . 不确定12.在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分）13. 两条直线与之间的距离是 ．14. 为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A 、B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为 箱．（每种药品均只能整箱捐献）15. 经过点 且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的 倍的直线方程为 ．16. 若对任意直线与圆均无公共点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（共48分）17. （本小题满分12分）已知直线 与圆C ：交于A 、B 两点，求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．18. （本小题满分12分）设为实数，给出命题p ：关于x 的不等式的解集为，命题q ：函数的定义域为R ，若命题“”为真，“”为假，求 的取值范围．19. （本小题满分12分）已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为，边上的高 所在直线的方程为 ．（1）求直线 的方程；（2）求直线 关于 对称的直线方程．精品文档实用文档20. （本小题满分12分）圆E 是以A(3,2)，B(-1,0)，C(1,0)为顶点的三角形的外接圆．（1）过点A 的直线 被圆E 截得的弦长为2，求直线的方程；（2）线段CE 上任取一点D ，在以A 为圆心的圆上都存在不同的两点P ，Q ，使得点P 为线段DQ 的中点，求圆A 的半径的取值范围．选择题DDBDA ACDDC AA 填空题：13. 14.444 15. 012或52=++-=y x x y 16. )2223,2223(+-17.（本小题满分12分）解：设圆系方程：，面积最小的圆即线段AB 为直径，所以圆心在直线上，代入解得.所以满足条件的圆方程为： 18. （本小题满分12分）p ：>1.q ：恒成立.成立；，解得.综上，q ：“”为真，“”为假，利用集合关系解得：19. （本小题满分12分）解：（1）直线AC 方程：，与直线CM 联立解得点C 坐标（6，）.设B （），则AB 中点M （，），分别代入直线BH ，CM 方程解得：B （1，-3）.所以直线 方程：（2）求点B 关于直线 的对称点（）.列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+-=⋅-+0523221121131111y x x y 解得： 所以直线 关于 对称的直线为：20. （本小题满分12分） 40171 9CEB 鳫39725 9B2D 鬭[20441 4FD9 俙Fg132412 7E9C 纜Bc31072 7960 祠427669 6C15 氕a。

2021-2022年高二上学期12月月考数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是．2．抛物线的焦点坐标为．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．4．已知函数，则．【答案】.试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填.正弦函数的导数是余弦函数.考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为．6．若双曲线的离心率为2，则的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.3y=xx考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则9．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是 ．12． 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）．考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是．14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ． 【答案】4. 【解析】试题分析：由题意得椭圆的半焦距为.i)当直线AB 与x 轴垂直的时候ABCD 为矩形面积为.ii)当直线AB 不垂直x 轴时假设直线:(3).:(3)AB CD l y k x l y k x ==.A （），B （）.所以直线AB 与直线CD 的距离d=.又有.消去y 可得：2222(41)831240x k k x k +-+-=.2212122834(31)41k k x x x x k -+==+.所以2222222834(31)4(1)()4414141k k k AB k k k -+=-⨯=+++.所以平行四边形的面积S=令.所以221383641681169(81)1081t tS t t t t +==++--++-因为时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假． 其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根．,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即…………………10 分①② …………………13分综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．（1）若，求矩形ABCD面积；（2）若，求矩形ABCD面积的最大值．（2）设切点为，则, 因为，所以切线方程为, 即，18．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，已知平面，且31AB BC CA AD CD =====，． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E ，使得∥平面，求的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD对称.所以可得.再由面面垂直即可得直线BD垂直于平面.从而可得.19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴,在上单调递减． ∴时，最小，时，最大，∴，∴．(2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴．∴椭圆方程是 -------10分20．（本小题满分16分）已知函数(为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）.；（2）时，方程有2个相异的根. 或时，方程有1个根. 时，方程有0个根.（3）.（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数． 设=， x x x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知： 当时，即时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根； -------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等34900 8854 衔28564 6F94 澔32945 80B1 肱34815 87FF 蟿G26778 689A 梚32221 7DDD 緝*23653 5C65 履24992 61A0 憠37048 90B8 邸31243 7A0B 程x23206 5AA6 媦20974 51EE 凮。

2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，4分）两个平面最多可以将空间分成___ 部分．2.（填空题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线的共有___ 条．3.（填空题，4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ___ ．4.（填空题，4分）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为___ ．5.（填空题，4分）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 ___ ．6.（填空题，4分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 ___ ．7.（填空题，5分）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___ ．8.（填空题，5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是 ___ ．9.（填空题，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，BC=2√2，AA1=4，则球O的体积是 ___ ．10.（填空题，5分）异面直线a、b所成角为π，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、3D分别在直线a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，则CD=___ ．11.（填空题，5分）已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D内（包括边界）的动点，且满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ___ ．12.（填空题，5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F分别为边BC，AD上的定点，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分别将△ABE，△CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至△AB'E与△CD'F处，且满足B'D'⊥AB，分别将锐二面角B'-AE-D与锐二面角D'-FC-B记为θ1与θ2，则cos2θ1+cos2θ2的最小值为___ ．13.（单选题，5分）直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能14.（单选题，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8πB.8 √2πC.12πD.10 √2π15.（单选题，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，AA1=√3，E为线段AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A. 2√2B. 2+√2C. √5+1D. √1016.（单选题，5分）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（）A. √612B. 15C. √24D. 1317.（问答题，0分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB || CD，AB=2，PA=2．DC=CB= 12（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；18.（问答题，0分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN || 平面PAB；（2）求三棱锥A-CMN的侧面积．19.（问答题，0分）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；的值及球冠所在球（2）已知球冠表面积公式为S=2πRh，当S=65000π，C=500π时，求rR的表面积．20.（问答题，0分）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，F为BC的中√2，四棱锥B-ACED的体积为12点．求：（Ⅰ）CE的长度；（Ⅱ）求证：AF || 平面BDE；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．21.（问答题，0分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF || AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC= √17．（1）求二面角A-EF-C的大小；（2）求三棱锥A-BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN=mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF || 平面BDM？若存在，求出CM的值；若不存在，请说明理由．MF2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，4分）两个平面最多可以将空间分成___ 部分．【正确答案】：[1]4【解析】：对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分【解答】：解：两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分，故答案为：4．【点评】：本题考查平面的基本性质及推论，解答本题，关键是了解两个平面的位置关系，根据每种情况下的位置进行讨论，得出最多可分成几部分．2.（填空题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线的共有___ 条．【正确答案】：[1]6【解析】：由异面直线的定义可以直接得到结果．【解答】：解：正方体ABCD-A1B1C1D1的共有12条棱中，BA1成异面直线的有：AD，DC，B1C1，C1D1，CC1，DD1，共6条．故答案为：6．【点评】：在本题考查异面直线的条数的求法，考查异面直线的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 ___ ．【正确答案】：[1]矩形【解析】：利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形．根据AC⊥BD，可得EF⊥EH．即可判断出四边形EFGH的形状是矩形．【解答】：解：如图所示，∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF ∥=12AC，HG ∥=12AC，∴EF ∥=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又AC⊥BD，∴EF⊥EH．则四边形EFGH的形状是矩形．故答案为：矩形．【点评】：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、矩形，考查了空间想象能力与计算能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：先确定旋转得到的几何体为圆柱，由圆柱的体积公式求解即可．【解答】：解：由题意，该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体为圆柱，其中圆柱的底面半径r=1，高为1，所以圆柱的体积公式为V=π×12×1=π．故答案为：π．【点评】：本题考查了空间旋转体的理解与应用，圆柱的体积公式的应用，解题的关键是确定旋转所得到的几何体是圆柱，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 ___ ．【正确答案】：[1]2π【解析】：利用圆锥的侧面积即为侧面展开图的扇形的面积，求解即可．【解答】：解：因为圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，×π×22=2π．所以该圆锥的侧面积为12故答案为：2π．【点评】：本题考查了圆锥的侧面积的求解，解题的关键是掌握圆锥的侧面积即为侧面展开图的扇形的面积，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．6.（填空题，4分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 710【解析】：基本事件总数n= C52 =10，取出的两个球中至少有1个黑球包含的基本事件个数m= C22+C21C31 =7，由此能求出取出的两个球中至少有1个黑球的概率．【解答】：解：袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，基本事件总数n= C52 =10，取出的两个球中至少有1个黑球包含的基本事件个数m= C22+C21C31 =7，∴取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P= mn = 710．故答案为：710．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___ ．【正确答案】：[1]100【解析】：利用高、斜高、两个对应的边心距构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出斜高，代入侧面积公式运算．【解答】：解：∵上底的边心距为1，下底的边心距为4，高是4，∴斜高为√42+32 = √25 =5，故侧面积等于4× 2+82×5=100．故答案为：100．【点评】：本题考查正棱台的侧面积求法，是基础题．解题时要认真审题，构造直角三角形利用勾股定理求出斜高是解题的关键．8.（填空题，5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] 812【解析】：过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形，结合图中数据，求出截面图形的面积．【解答】：解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形DEFC1，如图所示：其中F是BB1的中点，EF= 12 DC1= 12×6 √2 =3 √2，DE=FC1= √62+32 =3 √5；所以梯形底面上的高为h= √(3√5)2−(3√22)2= 9√22，则该截面的面积是S= 12 ×（6 √2 +3 √2）× 9√22= 812．故答案为：812．【点评】：本题考查了正方体截面面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.（填空题，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，BC=2√2，AA1=4，则球O的体积是 ___ ．【正确答案】：[1] 1256π【解析】：把直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的体积公式得答案．【解答】：解：由题意可知，三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，半径R满足2R=√12+(2√2)2+42=5，则R= 52，故球O的体积V=43πR3=1256π．故答案为：125π6．【点评】：本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．10.（填空题，5分）异面直线a、b所成角为π3，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，则CD=___ ．【正确答案】：[1] √11或√17【解析】：首先作出图形，转化异面直线a，b所成的角为∠CAE= π3或2π3，再利用余弦定理和勾股定理求CD．【解答】：解：过点A作AE || BD，且AE=BD，连结ED，CE，因为异面直线a，b所成角为π3，所以∠CAE= π3或2π3，AC=1，AE=3，当∠CAE= π3时，CE2=12+32−2×1×3cosπ3=7，解得：CE= √7，当∠CAE=2π3时，CE2=12+32−2×1×3cos2π3=13，解得：CE= √13，因为AE || BD，且AE=BD，所以四边形AEDB是平行四边形，即：DE=2，又因为c⊥a，c⊥b，即DE⊥AE，且DE⊥CE，AC∩AE=A，所以DE⊥平面ACE，所以DE⊥CE，当CE= √7，DE=2时，CD= √(√7)2+22=√11，当CE= √13，DE=2时，CD= √(√13)2+22=√17，故答案为：√11或√17．【点评】：本题考查了异面直线所成角的作法以及利用余弦定理进行简单运算，属于基础题．11.（填空题，5分）已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P 是△A1C1D内（包括边界）的动点，且满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ___ ．【正确答案】：[1] √14【解析】：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A1C1D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST，T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．【解答】：解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，因为P是△A1C1D内（包括边界）的动点，所以点P的轨迹是两平面的交线ST，T为DC1中点，S在4等分点时，SD=3 √2，SM= √42+2 =3 √2，满足SD=SM，所以SD=3 √2，TD=2 √2，所以ST2=（3 √2）2+（2 √2）2-2× 3√2×2√2cos60° =14，所以ST= √14，故答案为：√14．【点评】：本题考查正方体的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属中档题．12.（填空题，5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F分别为边BC，AD上的定点，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分别将△ABE，△CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至△AB'E与△CD'F处，且满足B'D'⊥AB，分别将锐二面角B'-AE-D与锐二面角D'-FC-B记为θ1与θ2，则cos2θ1+cos2θ2的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 15【解析】：根据题意，作B′在底面的射影O，D′在底面的射影Q，找到两个锐二面角的平面角，从而得到cosθ1=HOB′H =HOBH，cosθ2=QMB′H=HOBH，∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，设BL=y，将所求式子表示成y的二次函数，求二次函数的最小值，即可求得答案．【解答】：解：如图① 作BH⊥AH，B′在底面投影为O，∴ cosθ1=HOB′H =HOBH，同理，D′Q⊥面 ABCD，DM⊥CF，cosθ2=QMD′M =QMDM又∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，还原到平面图形如图② HK、OL⊥AB、QJ、MI⊥CD，可求得 BK=1，设 BL=y∴ HO BH =KLBK=y−11，同理可求得DI=12，QM MD =IJDI=2−y−1212=2(32−y)，∴ cos2θ1+cos2θ2=(y−1)2+4(32−y)2=5y2−14y+10，当且仅当y=75取得最小值15，故答案为：15．【点评】：本题考查立体几何中的翻折问题、二面角的概念、函数的最值，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是利用平行条件进行问题的转化，属于难题．13.（单选题，5分）直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能【正确答案】：D【解析】：根据题意，由空间直线间的位置关系，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，直线a与b相交，b与c相交，直线a与直线c可能相交、平行、异面，故选：D．【点评】：本题考查空间直线间的关系，涉及直线位置关系的定义，属于基础题．14.（单选题，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8πB.8 √2πC.12πD.10 √2π【正确答案】：A【解析】：由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，可得圆柱的高和底面圆的直径，根据圆柱的侧面是以圆柱的高为宽，底面圆的周长为长的矩形，即可得解．【解答】：解：由题意知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为2 √2，圆柱底面圆的直径为2 √2，∴底面圆的周长为2 √2π，∴侧面积S=2 √2 ×2 √2π=8π．故选：A．【点评】：本题考查圆柱中的简单计算，熟练掌握圆柱的结构特征是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．15.（单选题，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，AA1=√3，E为线段AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A. 2√2B. 2+√2C. √5+1D. √10【正确答案】：D【解析】：作出几何体的图形，连接D1A，并延长至点G，使得AG=AD，连接C1B，并延长至点F，使得BF=BC，连接GF，连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，利用勾股定理求解即可．【解答】：解：作出几何体的图形如图所示，连接D1A，并延长至点G，使得AG=AD，连接C1B，并延长至点F，使得BF=BC，连接GF，则四边形ABFG为正方形，连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，所以D1E+CE的最小值为D1F= √12+(√1+√AA12+1)2= √1+(√1+3+1)2=√10．故选：D．【点评】：本题考查了两条线段之和最小值的求法，考查了空间中线线、线面、面面间位置关系的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于中档题．16.（单选题，5分）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（）A. √612B. 15C. √24D. 13【正确答案】：A【解析】：过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，由已知证明∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，再证明PA⊥PH，可得点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外），设OA=a（a＞0），由已知可得AB=a，AH= a2，PE= a4，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，再由tanθ= PEOP求得tanθ的最大值．【解答】：解：如图，过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴PA⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，∴PA⊥平面PBH，则PA⊥PH．∴点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外）．∵OA=AB，且∠OAB=120°，∴∠BAH=60°，设OA=a（a＞0），则AB=a，从而AH=AB•cos60°=a2．∴PE= 12AH=a4，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值．tanθ的最大值为PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．17.（问答题，0分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB || CD，DC=CB= 12AB=2，PA=2．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；【正确答案】：【解析】：（1）求出线面垂直的判断定理所需的条件即可；（2）异面直线中作其中一条直线的平行线，转化为相交直线，利用余弦定理求出相交直线的余弦值，进而得到异面直线的余弦值．【解答】：（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD=D，∴PA⊥平面ABCD，（2）∵AB || CD，∴∠PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角，∵PA⊥平面ABCD，∴在Rt△PAD中，PD=2√3，AC=2√5，∴ PC=2√6，∴ cos∠PDC=4+12−248√3=−√33，∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：√33．【点评】：本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.（问答题，0分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN || 平面PAB；（2）求三棱锥A-CMN的侧面积．【正确答案】：【解析】：（1）先利用平面几何性质证明CN || AB，MN || PA，从而利用线面平行判定定理证明线面平行，再证明面面平行，（2）分别求三个三角形的面积即可．【解答】：证明：（1）∵∠ACD=90°，N为AD的中点，∴AN=CN，又∵∠CAD=60°，∴△ACN为等边三角形，∴∠ACN=60°，∴∠BCN=∠BCA+∠ACN=30°+60°=90°，即CN⊥BC，又∵AB⊥BC，∴CN || AB，∴CN || 平面PAB，∵M、N分别为PD、AD的中点，∴MN || PA，∴MN || 平面PAB，又∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，∴平面CMN || 平面PAB．（2）∵PA⊥平面ABCD，MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，且MN= 12PA=1，AN=NC=NC=2，CM= √12+22 = √5，AM= √12+22 = √5，∴S△AMN= 12 ×1×2=1，S△ACN= √34×22= √3，S△ACM= 12×2× √√52−12 =2，故三棱锥A-CMN的侧面积为1+ √3 +2=3+ √3．【点评】：本题考查了立体几何中平行与垂直的判断与应用，同时考查了侧面积，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；（2）已知球冠表面积公式为S=2πRh，当S=65000π，C=500π时，求rR的值及球冠所在球的表面积．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用勾股定理的应用求出结果；（2）利用球冠的表面积公式和球的表面积公式的应用求出结果．【解答】：解：（1）如图所示：依题意：设OB垂直于球冠的底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，利用在Rt△OO1A中，OA2=OO12+O1A2，整理得：R2=（R-h）2+r2，解得R=ℎ2+r22ℎ．（2）由于球冠的底面圆的周长为500π，所以r= 500π2π=250，球冠的表面积为S=2πRh，且S=65000π，所以h= S2πR =32500R，由R=ℎ2+r22ℎ，即65000=325002R2+2502，解得R=650．所以rR =250650=513，球的表面积为S球=4π•6502=1690000π，所以rR =513，S球=1690000π．【点评】：本题考查的知识要点：球冠的表面积和球的表面积公式，勾股定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，0分）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC= √2，四棱锥B-ACED的体积为12，F为BC的中点．求：（Ⅰ）CE的长度；（Ⅱ）求证：AF || 平面BDE；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．【正确答案】：【解析】：（I）证明AB⊥平面ACED，可得AB为四棱锥B-ACED的高，利用四棱锥B-ACED的体积为12，即可求出CE的长度；（Ⅱ）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF || GD，再由线面平行的判定定理得到AF || 平面BDE；（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．【解答】：（Ⅲ）解：四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC．∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，…2分即AB为四棱锥B-ACED的高，∵ V B−ACED=13S ACED•AB=13×12(AD+CE)×AC×AB=13×12×(1+CE)×1×1=12，∴CE=2．…4分（Ⅱ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线，∴GF || EC || DA，GF=12CE=DA，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF || GD．又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF || 平面BDE．…8分（Ⅲ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF || GD，∴GD⊥平面BCE．又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．…12分【点评】：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定．是中等题．21.（问答题，0分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF || AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC= √17．（1）求二面角A-EF-C的大小；（2）求三棱锥A-BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN=mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF || 平面BDM？若存在，求出CM的值；若不存在，请说明理由．MF【正确答案】：【解析】：（1）根据二面角的定义即可求解；（2）可将三棱锥A-BDF的体积转化为求三棱锥F-ABD体积；的值即可．（3）可利用反证法，先假设存在点M，根据题意证明假设成立，进而求出CMMF【解答】：解：（1）过点E分别作EG⊥EF，EH⊥EF，分别交AB，CD于G，H，连接GH，则∠GEH为二面角A-EF-C的平面角，因为四边形ABCD为正方形，EF || AB，所以EG⊥AB，EH⊥CD，由已知得EG=GH=EH=4，所以∠GEH=60°．（2）过点E作EO⊥GH，垂足为O．因为EF || AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF || 平面ABCD．因为AB || CD，EH⊥CD，所以AB⊥EH．因为EG∩EH=E，所以AB⊥平面EGH．因为EO⊂平面EGH，所以AB⊥EO．因为AB∩GH=G，AB，GH⊂平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO为三棱锥F-ABD的高，EO=2√3．因为S△ABD=8，所以V A−BDF=V F−ABD=13S△ABD⋅EO=13×8×2√3=16√33．（3）方法一：假设存在点M．① 当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R，则△DNR∽△BC R，所以CRRN =BCDN=11−m．因为FN || 平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MR，所以FN || MR，所以CMMF =CRRN=11−m．② 当点N在DA延长线上时，连接CN交BD于S，则△DNS∽△BCS，所以CSSN =BCDN=11+m．因为FN || 平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MS，所以FN || MS，所以CMMF =CSSN=11+m．综上，在直线CF上存在点M，使NF || 平面BDM，CMMF 的值为11−m或11+m．方法二：当点N在线段AD上时，过点N作NT || BD交CD于T，连接TF，过点D作TF || DM交CF 于点M，因为TF∩TN=T，所以平面FTN || 平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF || 平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MR，所以FN || MR．因为NT || BD，DT || AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN =ABDT=11−m，所以CDDT =11−m，所以CMMF =CDDT=11−m．当点N在线段DA延长线上时，过点N作NT || BD交CD于T，连接TF，过点D作TF || DM 交CF于点M．因为TF∩TN=T，所以平面FTN || 平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF || 平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM=MS，所以FN || MS．因为NT || BD，DT || AB，所以△ABD∽△D TN，所以ADDN =ABDT=11+m，所以CDDT =11+m．所以CMMF =CDDT=11+m．综上，在CF上存在点M使得NF || 平面BDM，此时CMMF =11−m或11+m．【点评】：本题考查了二面角平面角及其求法，考查了空间几何体的体积，以及反证法证明存在问题．。

2021-2022年高二数学上学期第二次段考12月试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.点关于平面的对称点为，则点关于轴的对称点的坐标是( )A.（1,1，-1）B.（-1，-1，-1）C.（-1，-1，1）D.（1，-1,1）2.已知命题:圆的面积是；命题:若平面平面,直线,则；则（ ）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为假命题3.直线 与直线 ，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.5.设入射光线沿直线 射向直线 ，则被 反射后，反射光线所在的直线方程是 （ ）A. B. C. D.6. 命题“，”的否定是 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，7.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线为，且双曲线过点，则双曲线的方程为（ ） A. B.C. D. 8. 设圆()()22253r y x =++-上有且仅有两点到直线的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，长方体长AB=5㎝，宽BC=4㎝，高=3㎝，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点处觅食，则最短路径为（ ）A. B. C. D.10.已知、分别是椭圆的左、右焦点,在直线上有一点,使且,则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.11.已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离是A. B. C. D.12.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知条件,条件,且是的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是___________.14.直线与直线分别交于两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率为_________．15.已知是直线上的动点，是圆的切线，为切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为__________．16.如图，椭圆，圆 ，椭圆的左、右焦点分别为 ，，过椭圆上一点 和原点 作直线 交圆 于 ， 两点，若 ，则的值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)已知直线，为坐标原点.（1）求经过定点的坐标；（2）设与两坐标轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值，并求此时m 的值.18.(12分)如图所示，正三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点．（1）证明：平面 平面 ；（2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥的体积．19.(12分)已知命题:方程01)45(22=-+-+x a a x的一个根大于1，一个根小于1；命题:函数)(log )(2222+-=--x y a a 在上是减函数，若为真，为假，求 的取值范围.20.(12分)已知圆C=0（1）已知不过原点的直线与圆C 相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程.21.(12分)已知是椭圆两个焦点,且椭圆经过点.（1）求此椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且, 求的面积；（3）若四边形是椭圆的内接矩形，求矩形面积的最大值.22. (12分)已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 ．（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 交于 ， 两点的直线 ： ，使得成立?若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由．佛山一中xx ——xx 上学期第二次段考()()124921221491221491221)23)(32(21=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--=--=∆m m m m mm m m S OMN 高二级数学（文）科答案一、选择题（每小题5分，共60分）BCAB ACBA CBAB二、填空题（每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 6三、解答题（共6小题，共70分）17. （本题10分）解：（1）法一：直线方程可化为....................2分故直线恒过定点 ....................................3分法二：当时，直线方程可化为当时，直线方程为故直线恒过定点（2）解法一：依题意得，直线斜率存在且m<0，则有....................8分当且仅当，即时取等号，此时面积有最小值为12. .............10分解法二：设直线的方程为则，由此可得，，当且仅当，即时取等号，所以，此时18. （本题12分）解：（1） 因为三棱柱 是正三棱柱，所以 面 ， ................1分又 ，所以 ， ................2分又 是正三角形 的边 的中点，所以 ， ................3分又因为 ， ................4分因此 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ． ................................6分（2） ，，，................10分由第（1）问，可知 平面 ，所以． ................................12分19. （本题12分）解：设14522-+-+x a a x)(， 方程01)45(22=-+-+x a a x 的一个根大于1，一个根小于1，， （2分 ） 即014512<-+-+a a ，， ……………………4分又函数)(log )(2222+-=--x y a a 在上是减函数，…………（6分） 解得或，…………（8分）又因为为真，为假，所以p,q 必有一真一假， …………（10分）（1） 当p 真，q 假时，的取值范围为； …………（11分）（2） 当p 假，q 真时，的取值范围为或. …………（12分）20. （本题12分）（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.............1分∴圆心C （-1,2）到切线的距离等于圆半径，..............3分即= ...................4分∴或..................5分所求切线方程为：或 ………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y 轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合故直线.................8分当直线斜率存在时，设直线方程为，即由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分则，.................11分直线方程为综上，直线方程为，. ................12分21. （本题12分）解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=22222192542cb a b ac ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===459222c b a ................2分 所以椭圆方程为 ................3分 （2）设42,,2121====c F F n PF m PF ，由椭圆定义知m+n=6 ..............4分 在中由余弦定理的 ，由得........6分3353sin 2121==∴∆πmn S PF F ................7分 （3）如图，由对称性知，，设令，则................10分562534=⋅≤∴ABCD S 矩形，当时，即时取得最大值为 ..............12分22. （本题12分）解：（1） 设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ．依题意 ，由右焦点到右顶点的距离为 ，得 ．解得所以 ．所以椭圆 的标准方程是 ． ................................3分（2） 存在直线 ，使得成立．.............................4分理由如下： 由 得................................5分化简得 ．设 ，，则...................7分 若成立，即，等价于 ．所以即............................9分亦即化简得............................10分将代入中，得解得...............................11分又由，，从而，或．所以实数的取值范围是................................12分OhG; 38004 9474 鑴GF21121 5281 劁o20228 4F04 伄20506 501A 倚 34432 8680 蚀38281 9589 閉。

2021-2022年高二数学上学期12月月考试题理(V)一、选择题（题型注释）1．直线的斜率为（）A． B． C． D．2．过点且与直线平行的直线方程是（）．A． B．C． D．3．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）。

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与304．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，305．已知x与y之间的一组数据：x0123y m35．57已求得关于y与x的线性回归方程＝2．1x＋0．85，则m的值为（）A．0．85 B．0．75 C．0．6 D．0．56．抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（）A． B． C． D．7．以为圆心的圆与直线相切于点，则圆的方程是（）A． B．C． D．8．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）（A）（B）（C）（D）9．执行如图的程序框图，则输出的结果是A． B． C． D．10．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（）.A. B.C. D.11．从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有个红球D．恰有个黒球与恰有个黒球12．在长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB 1D 1的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 .14．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。