数学模型习题参考解答
综合题目参考答案
1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D题)
(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.
(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次nr
的上界”(如=5时
上界为1)是n
23n
,如:
设赛程中某场比赛是,ij
两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠iikkj
),要使各队每
两场比赛最小相隔场次为r
,则上述两场比赛之间必须有除i
,j
,以外的2kr
支球队参赛,于
是,注意到32rnr为整数即得
23n
r
.
(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的
赛程.如对于n
=8, =9可以得到: n
n
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8A
每两场比
赛相隔场
次数 相隔
场次
总数
1A
× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18
2A
1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 19
3A
5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19
4A
9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19
5A
13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18
6A
17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 17
7A
21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 17
8A
25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17
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1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8A
9A
每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数
1A
× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28
2A
36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27
专题22解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1图2图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共
边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例
1．（
2023年四川省中考数学真题）
“科技改变生活
”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航
拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机
A看建筑物顶部
B的仰角为45，看底部
C的俯角为60，无人机
A到该建筑物BC的水平距离
AD为
10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：
21.41
，
31.73）
【答案】该建筑物BC的高度约为27.3米
【分析】由题意可知，45BAD，60CAD，ADBC
，根据三角形内角和定理和等角对等边的性
质，得到
10BDAD米，再利用锐角三角函数，求出
103CD米，即可得到该建筑物BC的高度．
【详解】解：由题意可知，45BAD，60CAD，ADBC
，90ADB，
18045ABDADBBADBAD，==10BDAD米，
在RtACD中，
tantan60103CDADCADAD米，
1010327.3BCBDCD米，答：该建筑物
BC的高度约为27.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形
文本解读新课程NEWCURRICULUM数学模型与数学分析———怎样解答“盈亏问题”邓忠洪（四川省资阳市雁江区第七小学）平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了规范的数学模型，就能正确地进行数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题。笔者以“盈亏问题”的解题方法为例，谈谈怎样建立数学模型和进行数学分析。一、他人的经验及方法把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。盈亏问题的基本解法是：份数越（盈垣亏）衣两次分配数的差；物品总数越每份个数伊份数依盈亏数。解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。趣味数学之《木长几何》———《孙子算经》里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。4.5尺1尺解答：绳子的长度：（4.5垣1）伊2越11（尺）木料的长度：11原4.5越6.5（尺）答：（略）分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。”这里用到了一点点“盈亏问题”。为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。二、建立数学模型他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点———它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各部分间的关系，建立“盈亏问题”总的数学模型：被除数？除数1除数2小差伊商？越总差余数1余数2“盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数———被除数是一定（不变）的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数———商也是一定（不变）的，分得的结果中的余数———盈亏数则不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数则会变小，反之。两次分得的余数之间的差，我们把它定义为“总差”，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”，即“小差伊商越总差”。于是，关键问题“商”就得到解决：商越总差衣小差。如“幼儿园买来一些玩具，如果每班分7个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？”的数学模型：共（）个7个/班10个/班小差伊共（）班越总差余2个差13个三、进行数学分析根据建好的数学模型，我们进行“盈亏问题”的数学分析：从上面的模型中可以看出：第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多（2垣13）个为“总差”，第二种分法比第一种分法每班多分（10原7）个为“小差”，每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。这个幼儿园有（2垣13）衣（10原7）越5（班）求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数越商伊除数垣余数”就可求出这批玩具共有多少个了。这批玩具有7伊5垣2越37（个）或10伊5原13越37（个）答：（略）四、适时推广应用我们通过建立数学模型和进行数学分析，掌握了“盈亏问题”的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。1.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。）54--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.文本解读新课程NEWCURRICULUM
圆锥曲线中的定点问题
思路引导
处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条
件建立,km等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
母题呈现
考法1参数法求证定点
【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)
的离心率为3
2，其左、右焦点分别为
F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|OP→|＝3
2，PF1→·PF2→
＝－3
4，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α＋β
＝π
2.证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解题指导】
【解析】(1)设P点坐标为(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
则PF1→
＝(－c－x0，－y0)，PF2→
＝(c－x0，－y0)．
由题意得x20＋y20＝9
4，
x0＋cx0－c＋y20＝－3
4，
解得c2＝3，∴c＝3.
又e＝c
a
＝3
2，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝1.∴所求椭圆C的方程为x2
4＋y2＝1.(2)设直线AB方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程x2
4＋y2＝1，
y＝kx＋m，消去y得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴x1＋x2＝－8km
4k2＋1，x1x2＝4m2－4
4k2＋1.
又由α＋β＝π
2，∴tanα·tanβ＝1，
设直线MA，MB斜率分别为k1，k2，则k1k2＝1，∴y1
x1＋2·y2
x2＋2＝1，
即(x1＋2)(x2＋2)＝y1y2.
∴(x1＋2)(x2＋2)＝(kx1＋m)(kx2＋m)，
∴(k2－1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2－4＝0，
∴(k2－1)4m2－4
4k2＋1＋(km－2)
28()
41km
k
＋m2－4＝0，
化简得20k2－16km＋3m2＝0，
