2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷(解析版)

上海市控江中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位2． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >. 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 3． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-25． 在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）A ．251B ．253C ．255D ．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 6． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 7． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．8． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 9． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．123cmC ．243cmD ．26cm10．设a ，b 为正实数，1122a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A．四棱柱B．四棱锥C．三棱台D．三棱柱二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 15．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．三、解答题（本大共6小题，共70分。

控江中学高二期末数学试卷2020.01一.填空题1.经过点(1,0)，且以(2,5)d =u r 为一个方向向量的直线l 的方程为2.过点(4,3)，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为3.焦点为(22,0)-与(22,0)的等轴双曲线的方程为4.平面上到两定点(4,0)与(4,0)-的距离之和为8的动点的轨迹方程为5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25arccos5，则实数k 的值为6.已知t 是实数，设向量(3,4)a =r ，向量(2,1)b =r ，若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为7.直线25y x =+被圆22(1)(2)14x y -+-=所截得的弦AB 的长度为8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点(2,0)B 为定点，若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为9.椭圆222116x y b +=（04b <<）的左焦点为F ，以F 为一端点，该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m ，若7M m =，则b =10.设P 是双曲线22136x y -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点，若1212()()72F P F P F P F P +⋅-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，则1||F P =uuu r 11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足1()AA AB AC λ=+uuu r uuu r uuu r ，1()BB BC BA λ=+uuu r uuu r uur ，1()CC CA CB λ=+uuur uur uur ，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为(0,2)-、(2,2)、(5,2)-，该平面上的动点P 满足123||||||2019PF PF PF ++=，已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为（只需写出满足题意的一个方程）二.选择题13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(,20)-∞ B.(,5)-∞ C.(5,)+∞ D.(20,)+∞14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（） A.3510 B.355 C.9510 D.95515.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F处，从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到P 所经过的时间为T ，根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T 时间，行星的位置可能在（）A.A 点处B.B 点处C.C 点处D.D 点处16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点，设(2,0)A ，(0,1)B ，命题甲：若||||AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称；命题乙：若||||BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称；关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（）A.甲和乙都是真命题B.甲是真命题，乙是假命题C.甲是假命题，乙是真命题D.甲和乙都是假命题三.解答题17.已知向量1(1,2)e =u r 与2(4,2)e =ur 是平面上的一组基向量.（1）设向量(1,4)v =-r ，试用向量1e u r 与2e ur 表示v r ；（2）设t 是实数，向量(6,)b t =r ，设b r 与1e u r 的夹角为α，b r 与2e ur 的夹角为β，若αβ=，求t 的值.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-.（1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条直线上.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点(1,1)M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点，若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R ，试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由.20.已知抛物线P 的焦点为(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，若三角形ABC 的三个定点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=uur uur uuu r r ，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？说明理由；（2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，||AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形；（2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程；（3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.参考答案一.填空题1.5250x y --= 2.4325x y += 3.224x y -=4.0(44)y x =-≤≤ 5.34 6.27.68.222y x =-9.10.11.3512.210x y ++=二.选择题13.B 14.A 15.B 16.B三.解答题17.（1）123v e e =+r u r ur ；（2）6-.18.（1）4-；（2）21(,)44m A m m +-++，21x y -=.19.（1）1x =，5322y x =-，21y x =-，23y x =-+；（2）不可能.20.（1）不存在；（2）45y x =-；（3）证明略.21.（1）220y +=，直线；（2）3y x =±；（3）证明略.。

控江中学高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 设直线l ：20x y +-=的倾斜角为α，则α的大小为2. 已知复数z 满足(12i)(1)716i z +⋅+=-+，则z 的共轭复数z =3. 在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为 （用最简分数作答）4. 在正方体1111ABCD A B C D -，二面角1A BD A --的大小为5. 在半径为1的球面上，若A 、B 两点的球面距离为23π，则线段AB 的长||AB = 6. 双曲线H 的渐近线为20x y +=与20x y -=，若H 经过点(2,0)P ，则双曲线H 的方程为7. 设圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y +-=的距离为d ，则d 的最大值为8. 若一组数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为3，则另一组数据1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为9. 空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2,1,1)n =与2(0,2,1)n =为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）10. 四面体ABCD 中，2AB CD ==，4AC AD BC BD ====，则异面直线AB 与CD 的距离为11. 若复数z 满足|1||1|2z z -⋅+=，则||z 的最小值为12. 关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin ）定理：“平面上一区域D 绕区域外一直线（区域D 的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D 的面积与D 的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”，利用这一定理，可求得半圆盘2210x y x ⎧+≤⎨≤⎩，绕直线23x π=旋转一周所形成的空间图形的体积为二. 选择题13. 若一圆柱的侧面积等于其表面积的23，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 4:114. 已知12,z z C ∈，“120z z ==”是“212||0z z +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件15. 参数方程2cos sin cos 2sin x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩()θ∈R 表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线16. 设12345(,,,,)x x x x x 是1，2，3，4，5的一个排列，若112()()0i i i i x x x x +++--<对一切{1,2,3}i ∈恒成立，就称该排列是“交替”的，“交替”的排列的数目是（ ）A. 8B. 16C. 24D. 32三. 解答题17. 已知m 是实数，关于x 的方程E ：2(21)0x mx m -++=.（1）若2m =，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根1x 、2x ，且满足12||2x x -=，求m 的值.18. 已知椭圆E 的方程为2214x y +=，其左焦点和右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆E 上位于第一象限的一点.（1）若三角形12PF F 的面积为32，求点P 的坐标； （2）设(1,0)A ，记线段PA 的长度为d ，求d 的最小值.19. 设λ是正实数，20(1)x λ+的二项展开式为22001220a a x a x a x +++⋅⋅⋅+，其中0120,,,a a a ⋅⋅⋅均为常数.（1）若3212a a =，求λ的值；（2）若5n a a ≥对一切{0,1,,20}n ∈⋅⋅⋅均成立，求λ的取值范围.20. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB m =，点M 是棱CD 的中点.（1）求异面直线1B C 与1AC 所成的角的大小；（2）是否存在实数m ，使得直线1AC 与平面1BMD 垂直？说明理由；（3）设P 是线段1AC 上的一点（不含端点），满足1AP PC λ=，求λ的值，使得三棱锥 111B CD C -与三棱锥11B CD P -的体积相等.21. 设抛物线Γ的方程为24y x =，点P 的坐标为(1,1).（1）过点P ，斜率为1-的直线l 交抛物线Γ于U 、V 两点，求线段UV 的长；（2）设Q 是抛物线Γ上的动点，R 是线段PQ 上的一点，满足2PR RQ =，求动点R 的轨迹方程；（3）设AB 、CD 是抛物线Γ的两条经过点P 的动弦，满足AB CD ⊥，点M 、N 分别是弦AB 与CD 的中点，是否存在一个定点T ，使得M 、N 、T 三点总是共线？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 34π 2. 46i - 3. 110 4.5. 6. 2214x y -= 7. 3 8. 12 9. 1(,1,2)2- 10. 2π11. 112. 2π二. 选择题13. B 14. A 15. A 16. D三. 解答题17.（1）12i +，12i -；（2）0或8.18.（1）；（2.19.（1）2；（2）56[,]1615.20.（1）2π；（2（3）12.21.（1）；（2）2(31)8(31)y x -=-；（3）(2,0).。

杨浦区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C． D．2． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 3． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．23 D ．112 4． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >5． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 6． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}7． 若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C.12 D ．138． 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ） A．B．C．D ．29． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ） A ．12 B ．34C. D10．如图，程序框图的运算结果为（ ）A．6 B．24 C．20 D．12011．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）12．下列判断正确的是（）A．①不是棱柱B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台二、填空题13．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.14．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 16．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．17．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ． 18．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．三、解答题19．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的离心率为2，A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的 动点，且PA PB 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名5595%的把握认为“歌迷”与性别有关？“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌3.841 6.635附：K2=．23．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．24．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.杨浦区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A ．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．2． 【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，化简得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B AA AB B A B =⇒=，即si n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2A B π+=是试题的一个难点，属于中档试题． 3． 【答案】C 【解析】试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 4． 【答案】D 【解析】考点：不等式的恒等变换.5．【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m的范围. 6． 【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．7． 【答案】B 【解析】考点：函数值的求解. 8． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线l ：x=﹣1．∵|AF|=3， ∴点A 到准线l ：x=﹣1的距离为3∴1+x A =3 ∴x A =2，∴y A =±2，∴△AOF 的面积为=．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A 的坐标是解题的关键．9． 【答案】B 【解析】试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x解得4x =，即菱形1BED F 44=，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为34，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 10．【答案】 B【解析】解：∵循环体中S=S ×n 可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n 的累乘值，∵循环变量n 的初值为1，终值为4，累乘器S 的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．11．【答案】D 【解析】考点：平面的基本公理与推论． 12．【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C ．二、填空题13．【答案】54【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.14．【答案】 [，﹣1] ．【解析】解：设点A （acos α，bsin α），则B （﹣acos α，﹣bsin α）（0≤α≤）；F （﹣c ，0）； ∵AF ⊥BF ，∴=0，即（﹣c ﹣acos α，﹣bsin α）（﹣c+acos α，bsin α）=0，故c 2﹣a 2cos 2α﹣b 2sin 2α=0，cos 2α==2﹣，故cos α=，而|AF|=，|AB|==2c ，而sin θ===，∵θ∈[，]，∴sin θ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e ≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．15．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】16．【答案】 ﹣1054 ．【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ， ∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23π，1⋅=-a b ，∴|2|+=a b 2=．18．【答案】1－1，3]【解析】试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．三、解答题19．【答案】【解析】【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM ∥平面BEF ．…（12分）20．【答案】（1）22142x y +=；（2）22[2,7)F M F N ∈-. 【解析】试题解析：（1）根据题意知c a =，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，设(,)P x y ，∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，2222222221()222a x x a y x a x a =-+=-+-=-，∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2min ()22a PA PB =-=-， ∴24a =，则22b =.∴椭圆C 的方程为22142x y +=. 1111]设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则212212x x k+=-+，21224(1)12k x x k -=+，∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++2221212(1))22k x x x x k =+++++ 22222224(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k --=++-++++ 29712k=-+. ∵2121k +≥，∴210112k <≤+.∴297[2,7)12k -∈-+.综上知，22[2,7)F M F N ∈-.考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，等价于①的判别式△=，解得或．即k 的取值范围为．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，由方程①，． ②又． ③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k ．【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．22．【答案】100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K 2==≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成．∴P （A ）= (12)【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．23．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2+bx ， ∴f'（x ）=3x 2+6ax+b ，又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，解得：a=，b=1 经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x ）=3x 2+4x+1，令f'（x ）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f （﹣2）=﹣2，f （﹣）=﹣，f （﹣1）=0，f （﹣）=﹣，∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．24．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2）5，5.【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-．则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.。

2019-2020学年上海市控江中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.2．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ）A ．10B ．5C ．10D ．5【答案】C【解析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离.【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.3．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】B【解析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处. 【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分， 所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.4．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A ．甲和乙都是真命题 B ．甲是真命题，乙是假命题 C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲和乙都是假命题【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：AP ===同理可得AQ =AP AQ =Q ，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤Q ，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题5．经过点()1,0，且以()2,5d =u r为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】 直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 6．过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案为：43250x y +-=. 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.7．焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【解析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a -=>，==解得2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y-=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题. 8．平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____.【答案】()044y x =-≤≤【解析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程. 【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 9．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为，则实数k 的值为_____. 【答案】34【解析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值. 【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos β=sin β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知t 是实数，设向量()3,4a =r ，向量()2,1b =r，若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为_____.【答案】52【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a r 和a b ⋅r r的值，由()a a tb ⊥-r r r 得()0a a tb ⋅-=r r r，由此可计算出实数t 的值.【详解】()3,4a =r Q ，()2,1b =r ，则2223425a =+=r ，324110a b ⋅=⨯+⨯=r r ， ()a a tb ⊥-r r r Q ，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=r r r r r r ，解得52t =.故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.11．直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6【解析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB . 【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.12．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =-【解析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程. 【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-. 【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.13．椭圆()22210416x y b b+=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =Q ，即()7a c a c +=-， 可得334c a ==3=，解得b =. 【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.14．设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1F P =u u u r_____.【答案】【解析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P u u u r 和2F P u u u u r的方程组，即可解出1F P u u u r的值.【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ，则120F P F P ->u u u r u u u u r，由双曲线的定义可得12F P F P -=u u u r u u u u r又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，则12F P F P +=u u u r u u u u r ，所以，1212F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩u u u v u u u u vu u u vu u u u v1F P =u u u r.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 15．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1BB BC BA λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1CC CA CB λ=+u u u r u u u u u r ru u ，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 【答案】23【解析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=u u u r u u u r u u u r，()13AA AB AC AG λλ∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，则12AA AG =u u u r u u u r ，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23.【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.16．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-=【解析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解】Q 点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，Q 线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆Q 所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=. 【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.三、解答题17．已知向量()11,2e =u r 与()24,2e =u u r是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-r ，试用向量1e u r 与2e u u r 表示v r ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =r ，设b r 与1e u r 的夹角为α，b r 与2e uu r 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-r u r u u r ；（2）6t =.【解析】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值. 【详解】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r ，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-r u r u u r ；（2）根据题意，11cos b e b e α⋅==⋅r u r r u r22cos b e b e β⋅==⋅r u u r r u u rαβ=Q，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上.【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值；（2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l Q 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++Q ，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程； （2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由.【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析.【解析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论. 【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦，Q 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140k k k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，Q 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=； （2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P Q 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+， Q 点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又Q 点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠Q ，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=Q ，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程； （3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2. 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S . （1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【答案】（1）圆心C的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =；（3）证明见解析.【解析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+，联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <<由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为1233y x x ⎛=--<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得3AB ===， 可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得t =，因此，直线l 的方程为3y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎛⎫--=--+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()2222941312033333m m OS m --=+-=--≤⎪⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.直线x +2y +2=0与直线2x -y +1=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知向量，若且与不平行，则下列结论不正确的是（ ）⃗a、⃗b、⃗c ⃗a ⋅⃗b=1⃗a ⃗c A. B.⃗b ⋅⃗a =1(⃗a ⋅⃗b )⃗c=⃗a (⃗b ⋅⃗c)C. D.⃗a (⃗b+⃗c)=⃗a ⋅⃗b+⃗a ⋅⃗c(λ⃗a )⃗b=⃗a⋅(λ⃗b)3.如图已知A （4，0）、B （0，4）、O （0，0），若光线L 从点P （2，0）射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ）A. y =x ‒2B. y =2x ‒4C.y =13x ‒23D. y =3x ‒64.若数列{a n }满足且，则a 2018为（ ）a 1=12a n +1=a n +(2‒3)1‒(2‒3)a n A.B.C. 0D. 153‒631+325二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.写出直线2x +y +1=0的一个法向量=______．⃗n 6.二元一次方程的增广矩阵为______．{x +y =12x +y =07.若，则=______．⃗a=(1，‒1)，⃗b=(2，‒1)⃗a ⋅⃗b 8.行列式中，6的代数余子式的值是______．∣123456789∣9.若向量，且，则x =______．⃗a=(x ，1)，⃗b=(‒2x ，x +1)，x ∈R⃗a∥⃗b 10.若直线l 的一个方向向量，则l 与直线x -y +1=0的夹角为______．⃗d=(1，3)11.已知数列{a n }是以1首项的等比数列，其各项和S =2，则{a n }的公比q =______．12.已知P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），若P 在P 1P 2的长线上，且，则|⃗P 1P 2|=2|⃗P 2P|点P 的坐标为______．13.已知向量，且，则在投影为______．|⃗a|=3，|⃗b|=2(⃗a‒2⃗b)(⃗a+⃗b)=5⃗a ⃗a+⃗b 14.若直线l 经过点M （-2，1），且以A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．15.如图，在△OAB中，若点M 分所成⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b ⃗AB 的比为2：1，若点N 分所成的比为3：1，OM 和⃗OA BN 交于点P ，则可用表示为______．⃗OP ⃗a 、⃗b 16.平面向量满足，则的最小值为⃗a，⃗b，⃗e |⃗e|=1，⃗a ⋅⃗e=1，⃗b ⋅⃗e=2，|⃗a‒⃗b|=2⃗a⋅⃗b ______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.设常数m ∈R ，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：{2x +(m +1)y =mmx +y =218.已知，是与方向相同的单位向量，是与垂直的单位向量．⃗a=(3，‒4)⃗b ⃗a ⃗c ⃗a （1）求；⃗b （2）求与的夹角大小．⃗a (⃗b‒⃗c)19.已知直线l 上两个点A （0，3）、C （3，0），其中O 为坐标原点．（1）若，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；⃗OD=13⃗OA +43⃗OC （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量，则m +n =1．⃗OB=m ⃗OA+n ⃗OC20.已知且a 1=2．a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n+1，b n =3+(‒1)n ‒12，n ∈N ∗（1）求a 2：a 3；（2）求{a n }的通项公式；（3）设{a n }的前n 项和为S n ，求{S n +1-S n }的前n 项和．21.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =BO =1，AB ⊥BO ，点P是三角(12，14)板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形锯成△AMN ，设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程；（2）若△OMP 的面积为S △OMP ，求f （k ）=S △OMP 的表达式；（3）若S 为△AMN 的面积，问是否存在实数m ，使得关于S 的不等式S 2≥m （1-2S ）有解，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】(111 210)【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】12【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q ），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n }的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n 项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（）72，4【解析】解：由于P 在P 1P 2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），则：设P （x ，y ），则：x=，y=，故：P （）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】5【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA =，k MB =，∵直线l 与A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，∴直线l 的斜率k 满足-2≤k≤3．∴直线l 的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】+310⃗a 35⃗b【解析】解：根据题意得，O ，P ，M 三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】5 4【解析】解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D ==2×1-m （m +1）=（m +2）（1-m ），∣2m +1m1∣D x ==-m -2，∣m m +121∣D y==（2+m ）（2-m ），∣2m m 2∣（1）当m ≠-2，m ≠1时，D ≠0，原方程组有唯一组解，即，{x =1m ‒1y =m ‒2m ‒1（2）当m =1时，D =0，D x =-3≠0，原方程组无解；（3）当m =-2时，D =0，D x =0，D y =0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知，⃗a=(3，‒4)则：，|⃗a |=5是与方向相同的单位向量，⃗b ⃗a 则：=（），⃗b =⃗a |⃗a |35，‒45（2）是与垂直的单位向量．⃗c ⃗a 故：，⃗c =(45，35)或(‒45，‒35)所以：当时，=，⃗c =(45，35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：θ=π4当时，=，⃗c =(‒45，‒35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：，θ=π4故：．θ=π4【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）=（0，3）+（3，0）=（0，1）+（4，0）⃗OD 1343=（4，1）∴点D 的坐标为（4，1）又∵+≠11343∴点D 不在直线l 上；（2）∵点B 是直线l上的一点=λ=λ（-）⃗AB ⃗AC ⃗OC ⃗OA ∴-=λ-λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ⃗OA ∴=+（1-λ）⃗OB λ⃗OC ⃗OA∴由=m +n 得m =1-λ；n =λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ∴m +n =1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果．本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于，b n =3+(‒1)n ‒12可得，b n ={2(n 为奇数)1(n 为偶数)由于，a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n +1所以当n =1时，a 1+2a 2=-1，由于a 1=2，解得，a 2=‒32当n =2时，2a 2+a 3=5，解得a 3=8；（2）当n 为奇数时，，a n +2a n +1=‒2n +1当n 为偶数时，，2a n +a n +1=2n +1可得n 为奇数时，a n +1+2n +1-a n +2=1-2n ，即有a n +2-a n =3•2n ，由a 3-a 1=3•2，a 5-a 3=3•23，…，a n -a n -2=3•2n -2，累加可得a n -a 1=3（2+23+…+2n -2）=3•=2n -2，2(1‒4n ‒12)1‒4即有a n =2n （n 为奇数），当n 为偶数时，a n =（1+2n ）-2n =-2n -1，1212综上可得a n =；{2n ，n 为奇数12‒2n ‒1，n 为偶数（3）{a n }的前n 项和为S n ，当n 为偶数时S n =（2+23+…+2n -1）+•-（2+23++…+2n -1）=，12n 2n 4当n 为奇数时，S n =S n -1+a n =+2n ，n ‒14当n 为偶数时，S n +1-S n =a n +1=2n +1，{S n +1-S n }的前n项和=a 2+a 3+…+a n +1=-（2+23++…+2n -1）+（23+25+…+2n +1）n 4=-2+2n +1；n 4当n 为奇数时，{S n +1-S n }的前n项和=-2+2n +2n =-2+2n +1．n ‒14n ‒14综上可得，当n为奇数时，所求和为-2+2n +1，n ‒14当n 为偶数时，所求和为-2+2n +1．n 4【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN的方程为：y -14=k (x ‒12)（2）∵AB ⊥OB ，AB =OB =1∴直线OA 方程为：y =x∴直线AB 方程为：x =1由得M （，）{y ‒14=k (x ‒12}y =x 2k ‒14k ‒42k ‒14k ‒4∵2k ‒14k ‒4≥0∴k 或k ＞1≤12又由得N （1，）{y ‒14=k (x ‒12)x =12k +14∵2k +14≥0∴k ≥‒12即-12≤k ≤12由弦长公式可得OM =1+k 22k ‒14k ‒4点P 到直线OM 的距离为d =141+k 2= （-）∴S △OPM =12OM ⋅d 2k ‒132(k ‒1)12≤k ≤12（3）易得S △AMN =132[4(1‒k )+11‒k +4]设t =4（1-k ）+ （-）11‒k 12≤k ≤12由“对勾”函数性质可得4≤t ≤203∴14≤S △AMN ≤13又S 2≥m （1-2S ）且13≤1‒2S ≤12m ∴=，S ≤S 21‒2S 1(1S ‒1)2‒1∈[14，13]∵1(1s ‒1)2‒1的最小值为18∴m ≤18【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M 点坐标，再用S△OPM=，（3）有解问题最值法，先分离变量m，S，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。

杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）2． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）A ．0＜B ．0C ．0D ．03． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）4． 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥5． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣36． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣6D ．67． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．209． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.11．如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（ ）A ．②④B ．③④C ．①②D ．①③12．若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）13．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（，]C ．（） D ．（]14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]二、填空题16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．17．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．18．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是 ．三、解答题20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b+=相切，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.21．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．22．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．23．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．24．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围； （2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．25．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．杨浦区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．2．【答案】D【解析】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．故选：D．3．【答案】C【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；故排除A，D；若公比q≠1，则A=S n =，B=S 2n =，C=S 3n =，B （B ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）A （C ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n）；故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．4． 【答案】D 【解析】试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ． 考点：集合的包含关系． 5． 【答案】B【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数， 则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f （x ）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B ， 故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．6．【答案】B【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．7．【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．8． 【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B ．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．9． 【答案】B【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 10．【答案】B11．【答案】 A【解析】解：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． 在①中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP ∥BD ，因此不正确； 在②中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ， ∴SO ⊥AC ．∵SO ∩BD=O ，∴AC ⊥平面SBD ， ∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴EM ∥BD ，MN ∥SD ，而EM ∩MN=M ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC ⊥EP ．故正确．在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．【答案】A【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）故选：A．13．【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．14．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B15．【答案】B【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，∴f（x1）=f（f（x1））=0，∴f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，当n=0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，故△=n2﹣4n＜0，故0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选B．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．二、填空题16．【答案】【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）＝－2t ，即直线PQ 的斜率为－2t .（2）由y ＝x 22p 得y ′＝xp，∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2ptp ＝2t .其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p2）． ∴－p2－2pt 2＝2t （－2pt ）．解得t ＝±12，即t 的值为±12.17．【答案】[2e,)-+∞【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2e 1xx ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e xx h x x+-=，()()()211e 'xx x h x x-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,xk x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()211e '0x x x h x x-+-=>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．18．【答案】(1,2【解析】19．【答案】 4 ．【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，∵c=2a ，可得：b=a ，∴cosB===，可得：sinB==，∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S△ABC =acsinB==4．故答案为：4．三、解答题20．【答案】（1）22143x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上. 【解析】试题解析：（1）由12e =，∴2214e a =，∴2234a b =7=，解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，解得1121221212011224424()41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，212223224()883434k x x k k -++=+=++，从而121201224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．【答案】【解析】解：（1）f （α）===﹣tan α；…5（分） （2）∵f （α）=﹣2， ∴tan α=2，…6（分）∴sin αcos α+cos 2α====．…10（分）22．【答案】【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，所以f （0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f （x ）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； … （3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式 f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ）， 即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； … 又因f （x ）是R 上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x ，… 解得x ∈R ．…23．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，．【解析】试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x -=-+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a=<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]①若1e a≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减， 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立． ②若10e <<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 24．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f （x ）=﹣1＜0恒成立，当m ≠0时，若f （x ）＜0恒成立，则解得﹣4＜m ＜0综上所述m 的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m ＞0时，g （x ）是增函数， 所以g （x ）max =g （3）=7m ﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m ＜0时，g （x ）是减函数． 所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，解得m ＜6． 所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．25．【答案】【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，①cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，∴cosθ﹣sinθ=﹣，②联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，∴====．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．。

2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知命题，下列命题中正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．考点：特称命题的否定．2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线，开口向右且焦点在轴上，坐标为.故选A.3.“a>1”是“<1”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：由已知中△ABC三个顶点为A（3，3，2），B （4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.考点：空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．5.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选：C．【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题．6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.详解】.【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.7.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A. （x≠0）B. （x≠0）C. （x≠0）D. （x≠0）【答案】B【解析】由于，所以到的距离之和为，满足椭圆的定义，其中，由于焦点在轴上，故选.点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10.试在抛物线上求一点，使其到焦点距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．11.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD．因为，，所以，，根据等面积可得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．.12.已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在方程中，令，可得，∴．∵△ABF2为正三角形，∴，即，∴，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．选D．点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，由直接求．(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．第Ⅱ卷(主观题共90分)二、填空题(每题5分，共20分，将答案写在答题纸上)13. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．考点：空间三点共线．14.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面宽是____________米（精确到米）．【答案】【解析】试题分析：设抛物线方程为，当x=0时 c=2，当x=-4和x=4时y=0，求得， b=0，则，令y=1，得，所以水面宽.考点：抛物线方程.15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件；④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.【答案】③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若，则，有，则三个角成等差数列，反之若三个角成等差数列，有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.已知命题有两个不相等的负根，命题无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题和的真假性，逐个判断.【详解】因为假，并且为真，故假，而真即不存在两个不等的负根，且无实根.所以，即，当时，不存在两个不等的负根，当时，存在两个不等的负根.所以的取值范围是【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.18.已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（4分）设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是．（只需填写一个）2．（4分）直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是．3．（4分）若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为．4．（4分）已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为．5．（4分）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．6．（4分）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝．7．（5分）已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝．8．（5分）已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A 在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．9．（5分）若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为．10．（5分）已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为．11．（5分）已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OP A是等腰三角形的点P的个数是．12．（5分）在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y ﹣1）2＝2，⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k的值的集合为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上15．（5分）已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．16．（5分）已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若P A、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线P A垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（4分）设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是（）．（只需填写一个）【分析】直接利用直线的斜率和向量的关系的应用求出结果．【解答】解：直线的整理得：3x﹣2y﹣3＝0，则k＝故非零向量为（），故答案为：（）【点评】本题考查的知识要点：直线我的方程的应用，直线的斜率和向量的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．（4分）直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是相交．【分析】求出圆心点到直线的距离小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：根据圆心（0，0）到直线y＝2x+1的距离为＝，小于半径1，可得直线和圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．（4分）若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为﹣2．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程是（t∈R），其普通方程为y+1＝﹣2（x﹣2），其斜率k＝﹣2；故答案为：﹣2【点评】本题考查直线的参数方程，注意将直线的方程变形为普通方程，属于基础题．4．（4分）已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离公式求出A与圆心的距离，则线段AB的长的最大值可求．【解答】解：如图，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（1，2），半径为1，则线段AB的长的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5．（4分）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【分析】先根据题意a＝2b，c＝并且a2＝b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案．【解答】解：根据题意知a＝2b，c＝又∵a2＝b2+c2∴a2＝4 b2＝1∴＝1故答案为：∴＝1．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，要注意双曲线与椭圆a、b、c三者关系的不同．属基础题．6．（4分）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以＝1，所以p＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝4．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的一条渐近线方程为：，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y＝2x，又λ＞0，可以得出λ＝4．故答案为：4．【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．8．（5分）已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A 在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．【分析】求出椭圆的右焦点的坐标，利用三角形的面积，转化求解A的纵坐标即可．【解答】解：椭圆的右焦点为F（3，0），过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，设A的纵坐标为q，可得，解得q＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．9．（5分）若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．【分析】把已知方程变形，令t＝y﹣2x，得y＝2x+t，联立后求出曲线与直线相切时的t 值，画出图形，数形结合即可求得t的范围．【解答】解：由，得（y≥0）．令t＝y﹣2x，得y＝2x+t．联立，得8x2+4tx+t2﹣4＝0．由△＝16t2﹣32（t2﹣4）＝128﹣16t2＝0，得t＝．如图，又当直线t＝y﹣2x过（1，0）时t＝﹣2，∴y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用待定系数法求最值，是中档题．10．（5分）已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为0．【分析】求得双曲线的焦点坐标，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的定义和勾股定理的逆定理可得PF1⊥PF2，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得所求值．【解答】解：F1（﹣，0），F2（，0）是Γ的左右焦点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a＝2，又mn＝4，可得m2+n2＝12+2mn＝12+8＝20，而|F1F2|2＝4c2＝20，即有|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，可得PF1⊥PF2，即＝0．故答案为：0．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OP A是等腰三角形的点P的个数是6．【分析】抛物线上的点设出，由等腰三角形分3种情况讨论可得，由6个符合条件的点．【解答】解：如图所示：由题意设P坐标（x，4x2），△OP A是等腰三角形分3种情况：①OP＝OA时：x2+16x4＝4，即：16x2+x2﹣4＝0，x2有一个值，所以x有2个值，即有2个p点符合条件；②OP＝AP，x2+16x4＝x2+（4x2﹣2）2，解得：x2＝，同①符合条件的P有2个；③OA＝AP：4＝x2+（4x2﹣2）2解得：x2＝，也有2个点，综上符合条件的P点共有6个；故答案为：6．【点评】考查抛物线的性质，属于中档题．12．（5分）在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y ﹣1）2＝2，⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k的值的集合为（﹣∞，]∪{2}∪[，+∞）．【分析】根据题意，分析直线l的方程以及两个圆的圆心，分析可得两圆的圆心不会同时在直线l上，结合直线与圆的位置关系可得两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且两圆圆心到直线l的距离相等或两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且直线l与两圆都相离或相切，据此分析可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l为过原点且斜率为k的直线，则直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0；⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（2，2），⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，其圆心为（﹣3，﹣3）；两圆的圆心不会同时在直线l上，若两张纸上阴影部分的面积相等，则有2种情况：①、两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且两圆圆心到直线l的距离相等，则有，解可得k＝2；②、两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且直线l与两圆都相离或相切，则有，解可得：k≤或k≥，故k的值的集合为（﹣∞，]∪{2}∪[，+∞）；故答案为：（﹣∞，]∪{2}∪[，+∞）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，注意分析阴影部分的面积相等的条件，属于综合题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用圆的一般方程，结合配方法求出圆的标准方程形式，求出圆的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：x2+y2+Dx+Ey+F＝0等价为（x+）2+（y+）2＝，若方程表示圆，则D2+E2﹣4F＞0，即“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合圆的一般方程和标准方程的关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上【分析】利用抛物线的性质以及抛物线的图形，判断选项的正误即可．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，图形是抛物线开口向右，顶点在坐标原点，对称轴为x轴，所以G中的点都落在曲线y2＝|x|上．故选：B．【点评】本题考查曲线与方程的关系，是基本知识的考查，基础题．15．（5分）已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，结合椭圆的标准方程以及参数的取值范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π），变形可得+y2＝1，（0≤x≤2，﹣1≤y≤1），其图形为椭圆+y2＝1的右半部分；故选：B．【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意参数的取值范围，属于基础题．16．（5分）已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若P A、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．【分析】求得双曲线的顶点坐标，设P（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，计算斜率乘积可得所求定值．【解答】解：A（﹣2，0）、B（2，0）是双曲线的左、右顶点，设P（m，n），可得﹣＝1，即有＝，k1k2＝•＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，化简运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．【分析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得m+3（m﹣2）＝0，解可得m 的值；（2）根据题意，由直线平行的性质可得m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得m的值，验证直线是否重合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．若l1与l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0，解可得m＝；（2）直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，若l1与l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得：m＝﹣1或3，当m＝﹣1时，直线l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，两条直线重合，不合题意；当m＝3时，直线l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，两条直线平行，符合题意；故m＝3．【点评】本题考查直线的一般式方程以及直线平行、垂直的判断，属于基础题．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．【分析】（1）根据题意，分析可得P在x轴上，设P的坐标为（x，0），且﹣1≤x≤1，进而分析可得（x+1）＝2（1﹣x），解可得x的值，即可得答案；（2）根据题意，设P的坐标为（x，y），由分析可得（x+1）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得方程x2+y2﹣x+1＝0，由圆的一般方程形式分析可得结论．【解答】解：（1）根据题意，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），若P在线段AB上，则P在x轴上，设P的坐标为（x，0），且﹣1≤x≤1，又由，即|P A|＝2|PB|，则有（x+1）＝2（1﹣x），解可得：x＝，故P的坐标为（，0）；（2）证明：根据题意，设P的坐标为（x，y）；若，即|P A|＝2|PB|，则有（x+1）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得：x2+y2﹣x+1＝0，其表示一个圆；故点P总落在一个定圆上，且该圆的方程为x2+y2﹣x+1＝0．【点评】本题考查轨迹方程的计算，注意轨迹方程的求法步骤即可，属于基础题．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．【分析】（1）由题意直接写出直线l的方程，及准线方程，联立方程组即可求出交点坐标；（2）设直线方程，联立抛物线方程得出纵坐标的和与积，利用弦长公式可得关于参数平方的二次函数，进而解出弦长的最小值即此时的参数的值，写出直线方程即可．【解答】解：（1）由抛物线方程可得，准线方程为：x＝﹣1；直线l的倾斜角为30时，直线l的方程为：y＝（x﹣2），与准线联立得：x＝﹣1，y＝﹣，所以l与抛物线C的准线的交点坐标为：（﹣1，﹣）；（2），设A（x，y），B（x'，y'），显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为：x＝my+2，代入抛物线方程得：y2﹣4my﹣8＝0，y+y'＝4m，yy'＝﹣8，所以弦长|AB|＝•|y﹣y'|＝•＝•＝4，∵m2≥0，所以当m2＝0时，弦长|AB|最小值为4，这时直线l的方程为：x＝2．【点评】考查直线与抛物线相交的弦长公式，属于基础题．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，运用两直线的夹角公式，以及同角的基本关系式可得所求值；（2）设D（x0，y0），由题意可得N为BD的中点，由坐标转移法和中点坐标公式，可得所求轨迹方程；（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），联立双曲线的方程，由判别式大于0和韦达定理，中点坐标公式以及直线的斜率公式，不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y＝﹣x和y＝x，即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；（2）设D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，点N（x，y）满足，可得N为BD的中点，由点B的坐标为，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，则2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的轨迹方程为2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），代入双曲线方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k ≠±，由△＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，即有PQ的中点M（，），可得直线AM的斜率为k AM＝＝，由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得k AM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用判别式大于0，以及韦达定理，中点坐标公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线P A垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接由题意写出倒椭圆的对称轴和对称中心，由倒椭圆的方程得出动点的横坐标的取值范围；（2）设P点坐标，由题意得A，B的坐标，进而写出直线AB的方程，联立椭圆C1，从判别式等于零得结论；（3）分别讨论直线l与椭圆和倒椭圆有公共点时点的坐标的关系，进而得没有公共点时坐标的关系，从而得出不存在这样的直线．【解答】解：（1）由题意得倒椭圆C2的x轴或y轴，对称中心（0，0），∵＝1﹣∈（0，1），∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；（2）设P（x0，y0），代入倒椭圆中：＝1，∴4y02+x02＝x02y02且x0y0≠0，则A（x0，0），B（0，y0），所以直线AB的方程为：，代入椭圆C1得：（x02+4y02）x2﹣8x0y02x+4x02（y02﹣1）＝0，则△＝64x02y04﹣16（x02+4y02）x02（y02﹣1）＝﹣16x02（x02y02﹣x02﹣4y02）＝0，所以直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）设直线l上任意一点Q（m，n），若Q是l与椭圆的C1的公共点，则1＝≥2，∴|mn|≤1，也即Q不是l与椭圆C1的公共点时，则必有|mn|＞1，同理，若Q是与倒椭圆C2的公共点时则1＝≥2∴|mn|≥4，所以Q若不是直线l与倒椭圆的公共点时，|mn|＜4，从而得Q不是直线l与C1，C2的公共点时则必有1＜|mn|＜4，对于直线l上任意一点Q（m，n），mn＝0或mn∈R，不存在符合题意的直线l．【点评】考查椭圆知识的创新，及直线与椭圆和倒椭圆的应用，属于中难题．。

参考答案一、选择题，每小题5分，共60分.1-12、CDACD ACBBA BD二、填空题，每小题5分，共20分.13. 2 14. 85 15. 18 16. ②③ 三、解答题，共70分.17. 解：（Ⅰ）由题意知)5,8(),21,1(A D - ∴ k AD =2118215=+-………………………………3′ ∴ 直线AD 的方程为)8(215-=-x y ………………………5′ 即 x-2y+2=0 ………………………………6′（Ⅱ）由已知得 k BC =21)6(432-=---- ……………………………7′ ∴ k AE =2 ………………………………9′∴ 直线AE 的方程为y-5=2(x-8) ……………………………11′即 2x-y-11=0 ……………………………12′18. 解：（Ⅰ）6)108642(51=++++=x 10)5.475.91316(51=++++=y ………2′ 45.165)1006436164(3004556575232ˆ2-=⨯-++++-++++=b ………………………4′ 7.186)45.1(10ˆ=⨯--=a………………………5′ ∴ y 关于x 的回归直线方程为7.1845.1ˆ+-=x y……………………6′ （Ⅱ）由题意知 )2.1775.105.0(7.1845.12+--+-=x x x z=5.13.005.02++-x x ……………………9′∴ 3)05.0(23.0=-⨯-=x 时，z 最大. ∴ x=3时，销售利润取最大值. ……………………12′19. 解：（Ⅰ）如图 ………1′已知AO m m A PA O PO ⊥⊂⊥,,,ααα于交平面于 ……………………3′ 求证：PA m ⊥ ……………………………4′证明：PAO m AO m m PO m PO 平面又平面∵⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα PA m ⊥∴ ……………………………8′（Ⅱ）逆命题：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. ………………………10′逆命题是真命题 ……………………………12′20. 解：（Ⅰ）由题意知，直线AB 的方程为y-2=k(x-0) 即y=kx+2 ……………………1′代入圆方程，整理得： 036)124()1(22=+-++x k x k ………………3′∵ A 、B 是不同两点， ∴ △=036)1(4)124(22>⋅+--k k ……………4′解得 043<<-k ∴ k 的取值范围为)0,43(- ……………………6′ （Ⅱ）∵ P （0,2）， Q （6,0） ∴ )2,6(-=PQ ……………………7′设 A(x 1，y 1) B(x 2，y 2), 由（Ⅰ）知2211412kk x x +-=+ ∴ 221212114124)(22k k x x k kx kx y y ++=++=+++=+ ∴ )14121412(22k k k k OB oA +++-=+， ……………………9′ 要OB OA +与PQ 共线，则221412214126k k k k +-⋅-=++⋅解得 43-=k ……………………11′ 由（Ⅰ）知)0,43(-∈k ∴ 不存在常数k ，使OB OA +与PQ 共线. ……………………12′21. 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接EO∵ 正方形ABCD ，∴⇒⎭⎬⎫中点是中点是PC E AC O （Ⅱ）z y,x ,DP DC,DA,D 分别为为原点，射线以轴的正半轴建立直角坐标系设PD =DC=1,易知：D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），P（0，0，1）∴ )1,1,1(),21,21,0(),21,21,0(--==PB DE E EFD PB EF PB DE PB PB DE 平面∵又⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥∴=⋅,0 ……………………7′ （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：)0,0,1(),0,1,0(),1,1,1(-==--=BC AB PB设平面PAB 的法向量为m=（x,y,z ）,则⎩⎨⎧==+--00x y z y ∴x=z,y=0，取m =(1,0,1) ……………………9′ 同理可得平面PCB 的法向量n =(0,1,1)21221,cos =⋅>=<n m ∴ ︒60的夹角为与n m ……………………11′EDB PA EDB PA EDB EO PA EO 平面∥平面平面∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ ……………3′结合图形可知，二面角A —PB —C 为120° ……………………12′22. 解：（Ⅰ）区域D 如图……………………2′)1(01---=+=x y x y z 即连线的斜率与定点为动点)0,1(),(z -P y x ……………………4′∴ 2)1(002z =---=PB k 的最大值为 ……………………5′ （Ⅱ）由（Ⅰ）知A （2,0），B （0,2），C （4,4）设 △ABC 的外接圆方程为022=++++F Ey Dx y x 代入各点得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++04432024024F E D F E F D ……………………7′ 解得： 314-==E D 316=F ∴ △ABC 的外接圆方程为0316********=+--+y x y x ………………10′。

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 直线x +2y +2=0与直线2x -y +1=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ ，若a ⃗ ⋅b ⃗ =1且a⃗ 与c ⃗ 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A. b ⃗ ⋅a ⃗ =1 B. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =a ⃗ (b ⃗ ⋅c ⃗ )C. a ⃗ (b ⃗ +c ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗D. (λa ⃗ )b ⃗ =a ⃗ ⋅(λb ⃗ ) 3. 如图已知A （4，0）、B （0，4）、O （0，0），若光线L 从点P （2，0）射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ） A. y =x −2 B. y =2x −4C. y =13x −23 D. y =3x −64. 若数列{a n }满足a 1=12且a n+1=n √3)1−(2−√3)a ，则a 2018为（ ）A. 5√3−63B. 1+3√25C. 0D. 1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 写出直线2x +y +1=0的一个法向量n⃗ =______． 6. 二元一次方程{2x +y =0x+y=1的增广矩阵为______． 7. 若a ⃗ =(1，−1)，b ⃗ =(2，−1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______． 8. 行列式∣∣∣∣123456789∣∣∣∣中，6的代数余子式的值是______．9. 若向量a ⃗ =(x ，1)，b ⃗ =(−2x ，x +1)，x ∈R ，且a ⃗ ∥b⃗ ，则x =______． 10. 若直线l 的一个方向向量d⃗ =(1，√3)，则l 与直线x -y +1=0的夹角为______． 11. 已知数列{a n }是以1首项的等比数列，其各项和S =2，则{a n }的公比q =______．12.已知P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），若P 在P 1P 2的长线上，且|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点P 的坐标为______．13. 已知向量|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，且(a ⃗ −2b ⃗ )(a ⃗ +b ⃗ )=5，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 投影为______．14. 若直线l 经过点M （-2，1），且以A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．15. 如图，在△OAB 中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点M 分AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为2：1，若点N 分OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为3：1，OM 和BN 交于点P ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可用a ⃗ 、b ⃗ 表示为______．16. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 满足|e ⃗ |=1，a ⃗ ⋅e ⃗ =1，b ⃗ ⋅e ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 设常数m ∈R ，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：{mx +y =22x+(m+1)y=m18. 已知a ⃗ =(3，−4)，b ⃗ 是与a⃗ 方向相同的单位向量，c ⃗ 是与a ⃗ 垂直的单位向量． （1）求b⃗ ； （2）求a ⃗ 与(b ⃗ −c ⃗ )的夹角大小．19. 已知直线l 上两个点A （0，3）、C （3，0），其中O 为坐标原点．（1）若OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系； （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =1．20. 已知a n b n+1+b n a n+1=(−2)n +1，b n =3+(−1)n−12，n ∈N ∗且a 1=2．（1）求a 2：a 3；（2）求{a n }的通项公式；（3）设{a n }的前n 项和为S n ，求{S n +1-S n }的前n 项和．21.如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=1，AB⊥BO，点P(12，14)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成△AMN，设直线MN的斜率为k，问：（1）求直线MN的方程；（2）若△OMP的面积为S△OMP，求f（k）=S△OMP的表达式；（3）若S为△AMN的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式S2≥m（1-2S）有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】(111)210【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】12【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n}的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（7，4）2【解析】解：由于P在P1P2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P1=（-1，1）、P2=（2，3），则：设P（x，y），则：x=，y=，故：P（）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】√5【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA=，k MB=，∵直线l与A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，∴直线l的斜率k满足-2≤k≤3．∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】310a⃗+35b⃗【解析】解：根据题意得，O，P，M三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】54【解析】解：设=（x 1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y 1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y 1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D=∣∣∣2m+1m1∣∣∣=2×1-m（m+1）=（m+2）（1-m），D x=∣∣∣m m+121∣∣∣=-m-2，D y=∣∣∣2mm2∣∣∣=（2+m）（2-m），（1）当m ≠-2，m ≠1时，D ≠0，原方程组有唯一组解，即{x =1m−1y =m−2m−1， （2）当m =1时，D =0，D x =-3≠0，原方程组无解；（3）当m =-2时，D =0，D x =0，D y =0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知a ⃗ =(3，−4)，则：|a⃗ |=5， b ⃗ 是与a⃗ 方向相同的单位向量， 则：b ⃗ =a ⃗ |a ⃗ |=（35，−45）， （2）c⃗ 是与a ⃗ 垂直的单位向量． 故：c ⃗ =(45，35)或(−45，−35)， 所以：当c ⃗ =(45，35)时，cosθ=a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )|a ⃗ ||b ⃗ −c ⃗ |=√22， 解得：θ=π4当c⃗ =(−45，−35)时，cosθ=a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )|a ⃗ ||b ⃗ −c ⃗ |=√22， 解得：θ=π4，故：θ=π4．【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13（0，3）+43（3，0）=（0，1）+（4，0）=（4，1）∴点D 的坐标为（4，1）又∵13+43≠1∴点D 不在直线l 上；（2）∵点B 是直线l 上的一点AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）OA ⃗⃗⃗⃗⃗∴由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得m =1-λ；n =λ∴m +n =1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果． 本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于b n =3+(−1)n−12， 可得b n ={2(n 为奇数)1(n 为偶数)， 由于a n b n+1+b n a n+1=(−2)n +1，所以当n =1时，a 1+2a 2=-1，由于a 1=2，解得a 2=−32，当n =2时，2a 2+a 3=5，解得a 3=8；（2）当n 为奇数时，a n +2a n+1=−2n +1，当n 为偶数时，2a n +a n+1=2n +1，可得n 为奇数时，a n +1+2n +1-a n +2=1-2n ，即有a n +2-a n =3•2n ，由a 3-a 1=3•2，a 5-a 3=3•23，…，a n -a n -2=3•2n -2，累加可得a n -a 1=3（2+23+…+2n -2）=3•2(1−4n−12)1−4=2n -2，即有a n =2n （n 为奇数），当n 为偶数时，a n =12（1+2n ）-2n =12-2n -1，综上可得a n ={2n ，n 为奇数12−2n−1，n 为偶数； （3）{a n }的前n 项和为S n ，当n 为偶数时S n =（2+23+…+2n -1）+12•n 2-（2+23++…+2n -1）=n 4，当n 为奇数时，S n =S n -1+a n =n−14+2n ，当n 为偶数时，S n +1-S n =a n +1=2n +1，{S n +1-S n }的前n 项和=a 2+a 3+…+a n +1=n 4-（2+23++…+2n -1）+（23+25+…+2n +1）=n 4-2+2n +1；当n 为奇数时，{S n +1-S n }的前n 项和=n−14-2+2n +2n =n−14-2+2n +1． 综上可得，当n 为奇数时，所求和为n−14-2+2n +1，当n 为偶数时，所求和为n 4-2+2n +1．【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN 的方程为：y -14=k(x −12)（2）∵AB ⊥OB ，AB =OB =1∴直线OA 方程为：y =x∴直线AB 方程为：x =1由{y −14=k(x −12}y =x得M （2k−14k−4，2k−14k−4） ∵2k−14k−4≥0∴k ≤12或k ＞1又由{y −14=k(x −12)x =1得N （1，2k+14） ∵2k+14≥0∴k ≥−12即-12≤k ≤12由弦长公式可得OM =√1+k 22k−14k−4点P 到直线OM 的距离为d =14√1+k 2 ∴S △OPM =12OM ⋅d =2k−132(k−1) （-12≤k ≤12）（3）易得S △AMN =132[4(1−k)+11−k +4]设t =4（1-k ）+11−k （-12≤k ≤12）由“对勾”函数性质可得4≤t ≤203 ∴14≤S △AMN ≤13又S 2≥m （1-2S ）且13≤1−2S ≤12m ∴≤S 21−2S =1(1S −1)2−1，S ∈[14，13] ∵1(1s −1)2−1的最小值为18 ∴m ≤18【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M 点坐标，再用S △OPM =，（3）有解问题最值法，先分离变量m ，S ，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。

2018-2019学年上海杨浦实验学校高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知与之间的一组数据：X0 1 2 3则与的线性回归方程必过（）A．点 B．点 C．点 D．点参考答案：略2. 直线的倾斜角为（）A． B． C．D．参考答案：C略3. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．4. 设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的标准方程．【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B5. 若直线a和直线b是异面直线，直线b和c异面直线，则直线a和c（）A 平行B 异面C 相交 D以上都有可能参考答案：D6. 2019年6月21日，令人期待、激人奋进、引人遐想…，相邻那将会属于你的“福数”，此时，映入你眼帘的是：“i，一个虚数单位，复数，那么（）”.A. B. 3 C. 1 D.参考答案：C【分析】利用复数计算公式得到复数，然后求模长.【详解】复数故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.7. 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C8. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）．．．．参考答案：C9. 在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∵A＞30°，∴30°＜A＜180°，∴0＜sin A＜1，∴可判断它是sinA＞的必要而不充分条件．故选：B．10. 在四棱锥S﹣ABCD中，为了推出AB⊥BC，需从下列条件：①SB⊥面ABCD；②SC⊥CD；③CD∥面SAB；④BC⊥CD中选出部分条件，这些条件可能是( )A．②③ B．①④ C．②④ D．③④参考答案：D考点：棱锥的结构特征．专题：数形结合；分析法；空间位置关系与距离．分析：逐项分析条件，得出每一个条件推出的结论，然后分析选项，得出答案．解答：解：若三棱锥满足条件①∵SB⊥面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴SB⊥AB，SB⊥BC，SB⊥CD，SB⊥AD；若三棱锥满足条件②侧面SCD是直角三角形；若三棱锥满足条件③∵CD∥面SAB，CD?平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB=AB，∴CD∥AB，∴底面ABCD是梯形；若三棱锥满足条件④则底面ABCD内，∠BCD=90°，综上，当满足条件③④时，底面ABCD为直角梯形，直腰为BC，∴AB⊥BC．故选D．点评：本题考查了空间线面的位置关系，正确分析每一个条件是重点二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将全体正整数排成三角形数阵：根据以上的排列规律，第（≥3）行从左向右第3个数是．参考答案：12. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 ___ 种.参考答案：7213. 已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，则（xy）2016= ．参考答案：1【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：∵|2x﹣1|+（y+2）2=0，∴x=，y=﹣2，∴xy=﹣1，∴（xy）2016=1，故答案为：114. 已知直线,互相垂直，则实数的值是参考答案：0或115. 已知点在同一个球面上,若，,则过两点及球心的球的截面图形中两点间劣弧长是参考答案：16. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为参考答案：－1略17. 已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.参考答案：【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

杨浦区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．42． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．23． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 4． 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．125． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）6． 如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}7． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8． 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．π9． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=10．已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．11．已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） A ．8πcm 2B ．12πcm 2C ．16πcm 2D ．20πcm 2二、填空题13．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．14．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 ．15．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是．18．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．三、解答题19．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．20．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）21．计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．23．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．24．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．杨浦区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2． 【答案】A 【解析】试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A ．考点：几何体的结构特征． 3． 【答案】C 【解析】考点：等差数列的通项公式． 4． 【答案】D 【解析】试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,21,81q 253=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 5． 【答案】C【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0， ∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．6．【答案】C【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，∴∁M={x|x≤2}，∴∁M∩N={0，1，2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．7．【答案】C【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log43＜1，∴|log43|＜1；2＞|ln|=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜a＜b．故选C8．【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．9．【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 10．【答案】A 【解析】11．【答案】B【解析】解：∵△ABC 是锐角三角形，∴A+B ＞，∴A ＞﹣B ，∴sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，∴sinA ﹣cosB ＞0， 同理可得sinA ﹣cosC ＞0， ∴点P 在第二象限． 故选：B12．【答案】B【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，R=，S=4πR 2=12π故选B二、填空题13．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．14．【答案】2i．【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i，故答案为2i．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°），是解题的关键．15．【答案】201616．【答案】7【解析】17．【答案】（﹣3，21）．【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系数法可得，解得x=3，y=6．∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．∴S9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．18．【答案】．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.21．【答案】【解析】解：（1）=…==5…（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…=．…22．【答案】【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．由|2|21x m ≤+，得1122m x m --≤≤+，……………………2分所以，由122m +=，解得32m =．……………………4分 （2）不等式()2|23|2y y a f x x ≤+++等价于|21||23|22yy a x x --+≤+，由题意知max (|21||23|)22yy a x x --+≤+．……………………6分23．【答案】【解析】【分析】（I ）设圆心C （a ，a ），半径为r ，利用|AC|=|BC|=r ，建立方程，从而可求圆C 的方程；（II ）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l ：kx ﹣y+1=0的距离，即可求得实数k 的值；方法二：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x 1•x 2+y 1•y 2=，即可求得k 的值；（III ）方法一：设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，，再利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值；方法二：当直线l 的斜率k=0时，则l 1的斜率不存在，可求面积S ；当直线l 的斜率k ≠0时，设，则，代入消元得（1+k 2）x 2+2kx ﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．【解答】解：（I ）设圆心C （a ，a ），半径为r ．因为圆经过点A （﹣2，0），B （0，2），所以|AC|=|BC|=r ， 所以 解得a=0，r=2，…（2分）所以圆C 的方程是x 2+y 2=4．…（4分） （II ）方法一：因为，…（6分）所以，∠POQ=120°，…（7分）所以圆心到直线l ：kx ﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）又，所以k=0．…（9分）方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）由题意得：…（7分）因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，又，所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，所以k2=0，即k=0．…（9分）（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）方法二：设四边形PMQN的面积为S．当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0所以同理得到．…（11分）=…（12分）因为，所以，…（13分）当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）24．【答案】【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．。

上海市杨浦区2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(3)0.031P x >=，则(13)P x -<<=( ) A ．0.031B ．0.969C ．0.062D ．0.9382．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A.0 B.1 C.2D.33．已知，则A ．B ．C ．D ．4．已知命题p ：0x R ∃∈， 40x 0≥，则p ⌝是( ) A ．x R ∀∈， 40x < B ．0x R ∃∈， 40x 0>C ．x R ∀∈， 4x 0≤D ．0x R ∃∈， 400x <5．函数()()2111()213114xx x f x x x 或-⎧+-≤≤⎪=⎨+-<<-<<⎪⎩，则函数值()f x 在53,42⎛⎫⎪⎝⎭的概率（ ）A.17B.37C.27D.476．设复数z 满足()31i z i -=-，则z =（ ）A.5B.57．下列不等式一定成立的是（ ） A.若a b >，则1ab> B.若a b >，则11a b< C.若a b >，则22ac bc > D.若22ac bc >，则a b >8．已知圆的圆心在直线上，则与的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数()y f x =的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式为（ ）A ．4sin(2)15y x π=++ B ．sin(2)15y x π=-+ C ．42sin(2)15y x π=+- D ．2sin(2)15y x π=--10．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．0,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．2⎣ 11．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A.()k 1S 2k 1++B.()k 11S 2k 12k 1++++ C.()k 11S 2k 12k 1+-++ D.()k 11S 2k 12k 1+-++12．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<二、填空题13．三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =，1AB =，BC =O 的表面积为___．14．若(12)()nx n N *-+∈的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。

杨浦区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 3． 已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[,86 C ．31[,)162 D ．3[,3)84． P是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c5． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定6． 已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C ．2 D．7． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ． 8． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）A ．y=1B ．y=C ．x=1D ．x=9． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 10．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）11．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定12．设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．函数y=lgx 的定义域为 ．14．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）15．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．16．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.17．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．20．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.（1）若PE 交圆O 于点F ，165EF =，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.22．已知函数()()xf x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．23．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．杨浦区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B ．2． 【答案】【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →，∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y 即x ＝2，y ＝53，∴CD →＝（2，53）－（2，0）＝（0，53），∴|CD →|＝02＋（53）2＝53，故选C.3． 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则314t <<，由1324x +=，可得14x =，由213x =，可得x =（负舍），即有12111,422x x ≤<≤≤221143x ≤≤，则()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭.故本题答案选C.考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.4．【答案】A【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．5．【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C 相交， 故选：C ．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6． 【答案】D【解析】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则l 的方程为x=﹣c ，双曲线的渐近线方程为y=±x ，所以A （﹣c ， c ）B （﹣c ，﹣ c ） ∵AB 为直径的圆恰过点F 2 ∴F 1是这个圆的圆心 ∴AF 1=F 1F 2=2c ∴c=2c ，解得b=2a∴离心率为==故选D ．【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．7． 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 8． 【答案】D【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，可得准线方程为x=．故选：D ．9． 【答案】C 【解析】考点：等差数列的通项公式．10．【答案】D【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．11．【答案】C【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．【答案】D【解析】解：∵f（x）=，f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故选：D．二、填空题13．【答案】{x|x＞0}．【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．14．【答案】 ②③④【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；②函数y=[sinx]的周期与y=sinx 的周期相同，故是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 故答案为：②③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．15．【答案】 30° ．【解析】解：取AD 的中点G ，连接EG ，GF 则EG DC=2，GFAB=1，故∠GEF 即为EF 与CD 所成的角． 又∵FE ⊥AB ∴FE ⊥GF ∴在Rt △EFG 中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．故答案为：30°【点评】此题的关键是作出AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．16．【答案】2a ≥ 【解析】试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10af x x=-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 17．【答案】 【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及1,,,,n na a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而1,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.18．【答案】[，﹣1]．【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；∵AF⊥BF，∴=0，即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，cos2α==2﹣，故cosα=，而|AF|=，|AB|==2c，而sinθ===，∵θ∈[，]，∴sin θ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e ≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．三、解答题19．【答案】【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞令()0f x '=，得112x =2分 当4m =时，()0f x '≤单调递减； …………3分当24m <<时，由()0f x '>，得所以函数()f x 当4m >时，由()0f x '>，得所以函数()f x综上所述，4m =时，()f x；当4m >时，函数()f x 2m -2请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 20．【答案】【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（，0）．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a ﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A （﹣2，4），B （4，0）， ∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）．又∵|AB|=，∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=13．21．【答案】（1）4CE =；（2）13CD =.【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，090CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,设CE x =，EP =ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，所以2x =，解得4x =.考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.22．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.【解析】（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值； 当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．（3）()(221)xg x x k e =-+，∴'()(223)xg x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-， 当32x k <-时，'()0g x <； 当32x k >-时，'()0g x >，∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x e λ-=-≥最小值；又32()2k g x e λ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k ek --≥，故2e λ≤-．1考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.23．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02πθ<<.（2）6πθ=时，max S =【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，交代定义域02πθ<<．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6πθ=，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，其中02πθ<<．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 24．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点， 所以AG ⊥EF ．又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ， AG ⊂平面ADEF ， 所以AG ⊥平面ABCD ．…（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AG 、AD 、AB 两两垂直． 以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，得，令z=1，得=（t，﹣t，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，…即=，解得t2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。