2021版高考数学第三章导数及其应用第2讲导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值教学案理北师大版

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案(1)C (2)D解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)答案 (1)－7 (2)C解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案 (1)C (2)－3解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∵由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2，x ∈(0，e]．令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，72)解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x2x ，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．3．利用导数求函数的最值典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[15分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，f (1)＝12－ln 1＝12.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5答案 C解析 由已知可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0， 且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c3a ＝－6，∴b ＝－3a2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，解得a ＝2，故选C.6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[1e，1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x. ∵a ＝1，b ＝－1，∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值， 即x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－4x x. 令g ′(x )＝0，得x ＝14. 当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 故ln a <－2b .。

当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：

当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1] 上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
x (－∞，0) 0
f′(x)
－
0
0，23 ＋
2 3
23，
1
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0)＝0，函数 f(x)的极大值点为 x＝23.
(2)①当－1≤x<1 时，由(1)知，函数 f(x)在[－1,0)和(23， 1)上单调递减，在0，23 上单调递增．
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．
运用导数求函数的最值问题
[析考情] 函数的最值是高考的热点内容，考查函数最值的同时必然涉及函数的单调 性，还会涉及方程、不等式，既有小题，也有大题，有一定难度．
[提能力] 命题点1：求函数的最值 【典例1】 (2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0 处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0 处的瞬时变化率Δx→0 Δyli m ＝Δx Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)❶li m 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)ΔxΔx→0 Δy ＝li mΔx Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)＝li m .Δx函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0 处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P 为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)为f(x)的导函数．li mΔx(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0 处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝x n(n∈Q*) f′(x)＝n·x n－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x(a＞0，且a≠1) f′(x)＝a x ln af(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f′(x)＝1x ln af(x)＝ln x1 f′(x)＝x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；aaaa a a ca a a(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f(x)(3)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g(x)′＝[g(x)]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b f(x)d x 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b kf(x)d x＝k∫b f(x)d x(k 为常数)；a a(2)∫b[f (x)±f (x)]d x＝∫b f (x)d x±∫b f (x)d x；a 1 2 a 1 a 2(3)∫b f(x)d x＝∫c f(x)d x＋∫b f(x)d x(其中a＜c＜b)．a a c求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b f(x)d x＝F(b) －F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b，即∫b f(x)d x＝F(x)|b＝F(b)－F(a)．a a a8．定积分的几何意义定积分∫b f(x)d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.①S＝∫b f(x)d x；②S＝－∫b f(x)d x；③S＝∫c f(x)d x－∫b f(x)d x；④S＝∫b f(x)d x－∫b g(x)d x＝∫b[f(x)－g(x)]d x.(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论× 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．1 1 2．熟记以下结论：(1)；(2)(ln|x |)′＝ ； x 2 x) ′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b c d x ＝cx |b ；(2)∫b x n d x ＝x n ＋1|b (n ≠－1)； aaaan ＋1(3)∫b sin x d x ＝－cos x |b ；(4)∫b cos x d x ＝sin x |b ；aaaa(5)∫b 1d x ＝ln|x ||b ；(6)∫be x d x ＝e x |b .a a a a x考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若 f ′(x 0)＝2 019，则 x 0 等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选 B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1＝2 019＋ln x ，故由 f ′(x 0)＝2 019，得 2 019＋x ln x 0＝2 019，则 ln x 0＝0，解得 x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知 f ′(x )是函数 f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则 f ′(2)＝()A. 2－8ln 21－2ln 2C.4 1－2ln 2B.21－2ln 2D ．－2解析：选 C 因为 f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以 f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得 f ′(1) ＝ 2 ，所以 f ′(x )＝ 2 ·2x ln 2＋2x ，所以 f ′(2)＝ 2 22ln 2＋2×2＝ 4 . 1－2ln 2 1－2ln 2 1－2ln 2 1－2ln 23．若函数 f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足 f ′(1)＝2，则 f ′(－1)＝ .解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且 f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－2 4．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2) y ＝ln x ＋1；x(3) y ＝cos x； e x(4) y ＝xxx解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sinx )′＝2x sin x ＋x 2cos x .x 1 1 (2)y ′＝(ln x )′＝ － . x x 2x (3)y ′ ＝ x ′ ＝x(cos x )′e x －cos x (e x)′ (e x )2 ＝ － sin x ＋cos xe x .(4) ∵ y ＝＝1x sin(4x ＋π) 2＝－1x sin 4x ， 21 sin 4x 2－1x ·4cos 4x2＝－1sin 4x －2x cos 4x .2考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例 1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若 f (x )为奇函数，则曲线 y ＝f (x ) 在点(0,0)处的切线方程为()A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为 y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴y ′＝－∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即 f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为 y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例 2] 已知函数 f (x )＝x ln x 在点 P (x 0，f (x 0))处的切线与直线 x ＋y ＝0 垂直，则切点 P (x 0， f (x 0))的坐标为．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得 f ′(x 0)·(－1)＝－1，即 f ′(x 0)＝1， ∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即 P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例 3] (1)(2018·商丘二模)设曲线 f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l 1，总存在曲线 g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线 l 2，使得 l 1⊥l 2，则实数 a 的取值范围 是 ( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) －2，－1，C. 3 D. 3 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a ＝ .[解析] (1)由 f (x )＝－e x －x ，得 f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1∈(0,1)．由 g (x )＝3ax ＋2cos x ，得 g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x e x＋1∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线 f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线－2＋3a ≤0，l 1，总存在过曲线 g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线 l 2，使得 l 1⊥l 2解得－1≤a ≤2.＋3a ≥1，3 3(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当 x ＝0 时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得 a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例 4] 已知曲线 f (x )＝x 3＋ax ＋1在 x ＝0 处的切线与曲线 g (x )＝－ln x 相切，则 a 的值4 为．4 [解析] 由 f (x )＝x 3＋ax ＋1，得 f ′(x )＝3x 2＋a .4 ∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14∴曲线 y ＝f (x )在 x ＝0 处的切线方程为 y1＝ax .4设直线 y －1＝ax 与曲线 g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1，4 xln x 0－1＝ax 0， ①4＝－ 1， ②x 0将②代入①得 ln x 0＝3，4 ∴x ＝e 3，∴a 1 e －3.＝－ 3＝－ e4[答案] －e －34[题组训练]1．曲线 y x －1 ＝ 在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) x ＋1 A.1 8B.1 4C.1 2 D ．1解析：选 B 因为 y ′＝ 2，所以 y ′x (x ＋1)2＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为 y ＋1＝2x ，即 y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)轴围成的三角形的面积 S ＝1×|－1|×1＝1.2 2 42．已知直线 2x －y ＋1＝0 与曲线 y ＝a e x ＋x 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值为．解析：由题意知 y ′＝a e x ＋1＝2，则 a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得 y ＝1－ln a ，所以切线方程为 y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即 y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒ a ＝1.答案：13．若一直线与曲线 y ＝ln x 和曲线 x 2＝ay (a >0)相切于同一点 P ，则 a 的值为 ．解析：设切点 P (x 0，y 0)，则由 y ＝ln x ，得 y ′＝1，x，－ 4x 1＝2x 0， 由 x 2＝ay ，得 y2x a 解得 a ＝2e.′＝ ln x ，a 0＝ay ，答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. 错误!(sin x －cos x )d x ＝.解析：错误! (sin x －cos x )d x＝错误!sin x d x －错误!cos x d x ＝－cos x |π－sin x|π＝2.答案：2 2. 错误!1＋错误! 4－x 2d x ＝ .x解析：错误!1d x ＝ln x |e＝1－0＝1，因为 错误! 4－x 2d x 表示的是圆 x 2＋y 2＝4 在 x 轴及其上方的面积，故 错误! 4－x 2d x ＝1π×22＝2π，故答案为 2π＋1.2答案：2π＋13．由曲线 y＝ x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 解析：法一：画出草图，如图所示．所围成图形的面积为．＋y ＝2，＋y ＝2， ＝－1x＝－1x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，33所以所求图形的面积＝ x ，＝ x ， d xx|31 2 1 －1 1 S ＝错误!x － x d x ＋错误! (2－x )－ － x d x＝错误 x ＋1x 3 d x ＋错误!2－2 3 d x1 3 22x ＋1x 2|1 2x － x2 |＝ 3 6 ＋ 31＝5＋6－1×9－2＋1＝13 6 3 3 6法二：如图所求阴影的面积就是三角形 OAB 的面积减去由 y 轴，y ＝ x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝1×2×3－错误! (2－x － x )d x 2322x － x 2－ x|＝3－ 2 32－1－2 13 ＝3－ 213 3 ＝ 6.答案： 64．一物体在力 F (x ) ＝5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x ＝4(单位：m)处，则力 F (x )做的功为J.解析：由题意知，力 F (x )所做的功为 W ＝错误!F (x )d x ＝错误!5d x ＋错误!(3x ＋4)d x ＝5×23x 2＋4x 43 3×22＋4×2 ×42＋4×4－ 2＋ 2 ＝10＋ 2 2答案：361．正确选用求定积分的 4 个常用方法定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的 2 个应用＝36(J)． x . 3 3(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时 刻 t ＝a 到 t ＝b 所经过的路程 s ＝错误!v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力 F (x )的作用下，沿着与 F (x )相同的方向从 x ＝a 移动到 x ＝b 时，力 F (x )所做的功是 W ＝错误!F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线 y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选 C 由于 y ′＝e －1，所以 y ′|x x ＝1＝e －1，故曲线 y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为 y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线 f (x )＝x 3－x ＋3 在点 P 处的切线平行于直线 y ＝2x －1，则 P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选 C f ′(x )＝3x 2－1，令 f ′(x )＝2，则 3x 2－1＝2，解得 x ＝1 或 x ＝－1，∴P (1,3) 或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线 y ＝2x －1 上，故选 C.3．已知函数 f (x )的导函数为 f ′(x )，且满足关系式 f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则 f ′(2) 的值等于()A ．－2B ．2C ．－94D.94 解析：选 C 因为 f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以 f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋ 1，所以 xf ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋ 1，解得 2 f ′(2)＝－944.(2019·四川名校联考)已知函数 f (x )的图象如图所示，f ′(x )是 f (x ) 的导函数，则下列数值排序正确的是()A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2).3 1 ，∴当 ( x －x )d x ＝ 3 3＝ B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选 C 设 f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线 n ，m ，l 的斜率，数形结合知 0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选 C.5.(2019·玉林模拟)由曲线 y ＝x 2 和曲线y ＝ x 围成的一个叶形图如 图所示，则图中阴影部分的面积为()A.1 3 C.1 4B.310 D.1 5解析：选 A 由 y ＝x 2，y ＝ x ， x ＝0， y ＝0 x ＝1， y ＝1， 所以阴影部分的面积为错误!32 22x 1 － x |16．(2018·安庆模拟)设曲线 y ＝e ax －ln(x ＋1)在 x ＝0 处的切线方程为 2x －y ＋1＝0，则 a ＝() A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax － 1 x ＝0 时，y ′＝a －1.∵曲线x ＋1 y ＝e ax －ln(x ＋1)在 x ＝0 处的切线方程为 2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即 a ＝3.7．(2018·延边期中)设点 P 是曲线 y ＝x 3－ 3x ＋2上的任意一点，则曲线在点 P 处切线3的倾斜角α的取值范围为()0，π A. 2 ∪ 0，π 5π，π 62π，π 2π，πB. 3 π，5πC. 2 ∪ 3D. 2 6解析：选 C 因为 y ′＝3x 2－ 3≥－ 3，故切线的斜率 k ≥－ 3，所以切线的倾斜角α的取值范围为 0，π 2 ∪ 2π，π3. 8．若曲线 f (x )＝x sin x ＋1 在 x ＝π处的切线与直线 ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数 a ＝2.3 0 3 0 .则 a ＋．x 3＝ 3 0解析：因为 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以 f ＝sin π2 ＋πcos 2 π＝1.又直线 ax ＋2y ＋1＝0 2a 的斜率为－ 2答案：2，所以 1 －a 2 ＝－1，解得 a ＝2.9．(2019·重庆质检)若曲线 y ＝ln(x ＋a )的一条切线为 y ＝e x ＋b ，其中 a ，b 为正实数， e 的取值范围为 b ＋21＝e ，解析：由 y ＝ln(x ＋a )，得 y ′＝ 1 .设切点为(x 0，y 0) x ＋a ⇒ b＝a e －2.∵b >0，∴ 2，x ＋a ln (x 0＋a )＝e x 0＋ba > e∴a ＋ e ＝a ＋1≥2，当且仅当 a ＝1 时等号成立．b ＋2a 答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数 F (x )＝ln xa ＋ (0<x ≤3)的图象上任意一点 P (x 0，y 0)处切线的x斜率 k ≤1恒成立，则实数 a 的取值范围为 ．2解析：由 F (x )＝ln x ＋a(0<x ≤3)，得 F ′(x )＝x －a (0<x ≤3 )，则有 k ＝F ′(x 0)＝x 0－a ≤1x x 2 2 －1x 2＋x 在(0,3]上恒成立，所以 a 2 0 0 .当 x ＝1 时，－1x 2＋x 在(0,3]上取得最大值1，所1 以 a ≥ . 21，＋∞max 0 0 02 2答案： 2B 级1．若 f (x )＝x 2＋2错误!f (x )d x ，则 错误!f (x )d x ＝()A ．－1B ．－13C.1 3D ．11x 3＋2x 错误!f (x )d x |1 1π 2 解析： 选 B ∵ f (x ) ＝ x 2＋ 2 错误! f (x )d x ， ∴ 错误! f (x )d x ＋ 2x 0 0 解析：选 A 错误!f (x )d x ＝错误! 1－x 2d x ＋错误! (x 2－1)d x ＝ π×12 3 ＝ ＋ 2 12 3 2错误!f (x )d x ，∴错误!f (x )d x ＝－1.32．设 f (x )A.π＋4 1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈ 1，2]，则 错误!f (x )d x 的值为( )B.π＋3 2 3 2C.π＋4D.π＋3 4 341 1x 3－x |2 π 43．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数 f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则 f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C 因为 f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以 f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0 －a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以 a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以 f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ＝x 3 和 y ＝ax 2＋15－9 都相切，则a 等于( )A ．－1 或－25 64 C ．－7或－25B ．－1 或21 44D ．－7或 74 644解析：选 A 因为 y ＝x 3，所以 y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与 y ＝x 3 相切于点(x 0，x 3)，则在该点处的切线斜率为 k ＝3x 2，所以切线方程为 y －x 3＝3x 2(x －x )，即 y ＝3x 2x －2x 3.又点(1,0)在切线上，所以 x 0＝0 或 x 0＝3.2当 x 0＝0 时，切线方程为 y ＝0.由 y ＝0 与 y ＝ax 2＋15x －9 相切可得 a ＝－25；4 64当 x 0＝3时，切线方程为 y ＝27x －27，由 y ＝27x －27与 y ＝ax 2＋15x －9 相切，可得 a ＝2 －1.4 4 4 4 4 .＝ 综上，a 的值为－1 或－25645．已知 f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是 f n (x )的导函数，即 f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…， f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则 f 2 019(x )＝()A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选 A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以 4 为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线 y ＝ln(2x －1)上的点到直线 2x －y ＋8＝0 的最短距离是( )A ．2 5B ．2C ．2 3解析：选 A 设 M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点 M 处的切线与直线 2x －y ＋8＝0 平行时，点 M 到直线的距离即为曲线 y ＝ln(2x －1)上的点到直线 2x －y ＋8＝0 的最短距离．∵y ′＝ 2 ，∴ 2＝2，解得 x 0＝1，∴M (1,0)．记点 M 到直线 2x －y ＋8＝0 的距2x －1 2x 0－1 离为 d ，则 d ＝ |2＋8|＝2 5.4＋17．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线 l ：y ＝kx ＋2 是曲线 y ＝f (x )在 x ＝3 处的切线， 令 g (x ) ＝xf (x )， 则曲线 g (x )在 x ＝3 处的切线方程为．解析：由题图可知曲线 y ＝f (x )在 x ＝3 处的切线斜率等于－1，即 3 f ′(3)＝－1.又 g (x )＝3xf (x )，所以 g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知 f (3)＝1，所以 g (3)＝ －13f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3× 3 ＝0，则曲线 g (x )在 x ＝3 处的切线方程为 y －3＝0.答案：y －3＝08．设函数 f (x )＝ax －b，曲线 y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 7x －4y －12＝0.x (1)求 f (x )的解析式；(2)曲线 y ＝f (x )上任一点处的切线与直线 x ＝0 和直线 y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程 7x －4y －12＝0 可化为 y ＝7x －3，4 当 x ＝2 时，y 1.2D. 3.a－b＝1，b2 2＝1，又f′(x)＝a＋x2＋b＝7，＝3.4 4故f(x)＝x－3x(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，3由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y)处的切线方程为y－y0x2－x0)，即y－x0)．6令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0x0令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积S＝1|－6 |2x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0 和直线y＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.＋1.9．已知函数f(x)＝ln x－a(x＋1)，曲线y＝f(x)x－1(1)求函数f(x)的单调区间；y＝10x(2)设直线l 为函数g(x)＝ln x 图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x0，使得直线l 与曲线h(x)＝e x也相切？若存在，满足条件的x0 有几个？解：(1)∵函数f(x)＝ln x a(x＋1) ＞0 且x≠1)，－∴f′(x)＝1＋2a，(xx－1x (x－1)2∵曲线y＝f(x)y＝10x＋1，x2＋1∴f2＋8a＝10，∴a＝1，∴f′(x)＝.x(x－1)2∵x＞0 且x≠1，∴f′(x)＞0，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间．.＜ ❶❸＝ ＞ (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的 x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1，x∴切线 l 的方程为 y －ln x 0＝ 1(x －x 0)，x 0即 y ＝ 1x ＋ln x 0－1.①x 0设直线 l 与曲线 h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝ 1，∴x 1＝－ln x 0，x 0∴直线 l 的方程也可以写成 y － 1 ＝ 1(x ＋ln x 0)，即 y ＝ 1 x ＋ln x 0＋ 1 .②x 0 x 0 x 0 x 0 x 0由①②得 ln x －1＝ln x 0＋ 1，∴ln x ＝ x 0＋1.0 x 0 x 0 0x 0－1 下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的 x 0.由(1)可知，f (x )＝ln xx ＋1 － 在区间(1，＋∞)上单调递增， x －1 又∵f (e)＝－ 2 0，f (e 2) e 2－3 0， e －1 e 2－1∴结合零点存在性定理，知方程 f (x )＝0 在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的 x 0.第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a ，b )内可导函数 f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于 0.f ′(x )≥0⇔ f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔ f (x )在(a ，b )上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数 y ＝f (x )在点 x ＝a 的函数值 f (a )比它在点 x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(❷a )＝0；而且在点 x ＝a 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，则点a 叫做函数 y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数 y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b 的函数值f(b)比它在点x＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b) ＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0 是x0 为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0 不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1 处取得极大值，则x1 为极大值点，极大值为f(x1)；在x2 处取得极小值，则x2 为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)( )A．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减CD解析：选 D 因为函数f (x )＝xln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以 f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，当 f ′(x )＞0 时，解得 x ＞1，e即函数 f (x ) 当 f ′(x )＜0 时，解得 0＜x ＜1，e即函数 f (x ) D.2．若幂函数 f (x ) g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为 ．解析：设幂函数 f (x )＝x a1 所以 ＝2 ，a ＝2，所以 f (x )＝x 2，故 g (x )＝e x x 2， 则 g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令 g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数 g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f (x )＝x sin x ＋cos x ，则 f (x )的单调递增区间是．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令 f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))，解得－π＜x ＜－π或 0＜x ＜π，2 2π即函数 f (x )π考点二 判断含参函数的单调性＝(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．x[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1－1＋a＝－x2－ax＋1.x2 x x2①当a≤2 时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1 时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＞2 时，令f′(x)＝0，得x＝2或xa＋a2－4.2当xf′(x)＜0；当xf′(x)＞0.所以f(x) 在，上单调递减，在综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在[题组训练]已知函数g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．解：(1)g′(x)＝1＋2ax＋b(x＞0)．x由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x 轴，得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，所以b＝－2a－1.(2)由(1)得g′(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋1x(2ax－1)(x－1)＝.x因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，a－a2－4＞ 所以当 a ＝0 时，g ′(x )＝－x －1. x由 g ′(x )＞0，得 0＜x ＜1，由 g ′(x )＜0，得 x ＞1， 即函数 g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当 a ＞0 时，令 g ′(x )＝0，得 x ＝1 或 x ＝ 1，2a若 1 ＜1，即 a 1，由 g ′(x )＞0，得 x ＞1 或 0＜x ＜ 1 ，由 g ′(x )＜0，得 1 ＜x ＜1， 2a 2，2a 2a，即函数 g (x )(1，＋∞)若 1 ＞1，即 0＜a ＜1，由 g ′(x )＞0，得 x ＞ 1或 0＜x ＜1， 2a 2 2a由 g ′(x )＜0，得 1＜x ＜ 1， 2a，＋即函数 g (x )在(0,1)， 若 1 ＝1，即 a ＝1，在(0，＋∞)上恒有 g ′(x )≥0， 2a 2 即函数 g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当 a ＝0 时，函数 g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；1，＋，当 0＜a ＜ 时，函数 g (x )在(0,1)21 当 a ＝ 21时，函数 g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当 a ＞ 2 时，函数 g (x )(1，＋∞)上单调递增，，考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －1sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是． 3 (2)若函数 h (x )＝ln x －1ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则 a 的取值范围为．2[解析] (1)函数 f (x )＝x －1sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于 f ′(x )＝1－32cos 2x ＋a cos x ＝－4 2 ＋a cos x ＋5≥0 在(－∞，＋∞)恒成立．设 cos x ＝t ，则 g (t )＝－4t 2cos x3 3 3 3(1)＝－4＋a ＋5≥0，53 3 1 1＋at ＋3≥0 在[－1,1]恒成立，(－1)＝－4－a ＋5≥0，解得－3≤a ≤3.3 3(2)因为 h (x )在[1,4]上单调递减，所以当 x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1－ax －2≤0 恒成立，x即 a ≥ 1 －2恒成立．x 2 x由(1)知 G (x )＝ 1 －2，x 2 x所以 a ≥G (x )max ，而 G (x )－1，11 因为 x ∈[1,4]，所以 x ， 所以 G (x )max ＝－ 7(此时 x ＝4)，16 所以 a ≥－ 7，又因为 a ≠0，16所以 a 的取值范围是 － 7，16 (0，＋∞)．－1，－ 7 ，答案：(1) 3 (2) 16 (0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h (x )在[1,4]上单调递增”，则 a 的取值范围为．解析：因为 h (x )在[1,4]上单调递增，所以当 x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0 恒成立，即 a ≤ 1 －2恒成立，x 2 x又因为当 x ∈[1,4]＝－1(此时 x ＝1)， 所以 a ≤－1，即 a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则 a 的取值范围为．解析：因为 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以 h ′(x )＜0 在[1,4]上有解，， 所以当 x ∈[1,4]时，a ＞ 1 －2有解，x 2 x而当 x ∈[1,4]＝－1(此时 x ＝1)， 所以 a ＞－1，又因为 a ≠0，所以 a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h (x )在[1,4]上不单调”，则 a 的取值范围为．解析：因为 h (x )在[1,4]上不单调，所以 h ′(x )＝0 在(1,4)上有解，即 a ＝1 －2 x 2 x＝－1 在(1,4)上有解， 令 m (x )＝ 1 －2 x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－ 7.x 2 x 161，－所以实数 a 1，－[题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数 f (x )＝ax 3＋bx 2 的图象经过点 M (1,4)，曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x ＋9y ＝0 垂直．若函数 f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则 m 的取值范围是．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2 的图象经过点 M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则 f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得 f ′1，即 3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得 a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令 f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得 x ≥0 或 x ≤－2. ∵函数 f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆ (－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0 或 m ＋1≤－2，即 m ≥0 或 m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数 f (x )＝3x－2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数 f (x )在[1,2]上为单调函数，则 a 的取值范a－ 围是 ．解析：f ′(x )＝3－4x ＋1，a x若函数 f (x )在[1,2]上为单调函数， 即 f ′(x )＝3－4x ＋1≥0 或 f ′(x )＝3－4x ＋1≤0 在[1,2]上恒成立，a x a x即3≥4x －1或3≤4x －1在[1,2]上恒成立． a x a x 令 h (x )＝4x 1，x则 h (x )在[1,2]上单调递增，所以3≥h (2)或3≤h (1)，a a 即3≥15或3≤3，又 a ＞0， a 2 a所以 0＜a ≤2或 a ≥1.5[1，＋∞)[课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln xk π－π，k π解析：选 B 对于 A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是 4 k ∈Z)；对于 B ，f ′(x ) ＝e x (x ＋1)，当 x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数 f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C ， ∞f ′(x )＝3x 2－1，令 f ′(x )＞0，得 x 3 x f (x )＝x 3－x 3D ，f ′(x )＝－1＋ 1＝－ x x －1x ，令 f ′(x )＞0，得 0＜x ＜1，∴ 函数 f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选 B.2．已知函数 f (x )＝x 2＋2cos x ，若 f ′(x )是 f (x )的导函数，则函数 f ′(x )的大致图象是()解析：选 A 设 g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则 g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数 f ′(x )在 R 上单调递增，结合选项知选 A.43．若函数 f (x )＝(x 2－cx ＋5)e xc 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]4解析：选 B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x，∵函数 f (x )上单调递增，∴x 24 4＋(2－c )x －c ＋5≥0 对任意 x 恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5 对任意 x 恒成立，∴c ≤ x 2＋2x ＋5 4 对任意x 4 x ，∴x 2＋2x ＋5 ＝x ＋1＋ 4 ≥4， x ＋1 当且仅当 x ＝1 时等号成立，∴c ≤4.x ＋1 x ＋1 4．(2019·咸宁联考)设函数 f (x )＝1x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数 a2的取值范围是()A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选 A ∵f (x )＝1x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9(x ＞0)，由 x －9≤0，得 0＜x ≤3，∴f (x )2 x x 在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆ (0,3]，∴a －1＞0 且 a ＋1≤3，解得 1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数 f (x ＋1)是偶函数，当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )＝sinx －x ， 设 a ＝b ＝f (3)，c ＝f (0)，则 a ，b ，c 的大小关系为()A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选 A ∵函数 f (x ＋1)是偶函数，∴函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称，∴a ＝f＝b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )＝sin x －x ，∴当 x ∈(1， ＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即 f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6 ． 已 知 函 数 y ＝ f (x )(x ∈ R) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式 xf ′(x )≥0 的 解 集 为．解析：由 f (x )∞[2，＋∞)上 f ′(x )≥0, 在 f ′(x ) ≥0，＜0，所以 xf ′(x )≥0′(x )≥0 ≤0，(x )≤0⇔ 0≤x ≤1或 x ≥2，所以 xf ′(x )≥0 的解20集为 [2，＋∞)．0答案： [2，＋∞)7．(2019·岳阳模拟)若函数 f (x )＝x 2－e x －ax 在 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是．解析：∵函数 f (x )＝x 2－e x －ax 在 R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即 a ＜2x －e x 有解． 设 g (x )＝2x －e x ，则 g ′(x )＝2－e x ， 令 g ′(x )＝0，得 x ＝ln 2，则当 x ＜ln 2 时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当 x ＞ln 2 时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当 x ＝ln 2 时，g (x )取得最大值，且 g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设 f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中 a ∈R ，曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．(1)确定 a 的值；(2)求函数 f (x )的单调区间． 解：(1)因为 f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以 f ′(x )＝2a (x －5)＋6.x令 x ＝1，得 f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得 6－16a ＝8a －6，解得 a ＝1.2(2)由(1)知，f (x )＝1(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，2 f ′(x )＝x －5＋6 x(x －2)(x －3).x ＝x 令 f ′(x )＝0，解得 x ＝2 或 x ＝3. 当 0＜x ＜2 或 x ＞3 时，f ′(x )＞0； 当 2＜x ＜3 时，f ′(x )＜0，故函数 f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知 e 是自然对数的底数，实数 a 是常数，函数 f (x )＝e x －ax －1 的定义域为(0，＋∞)．(1)设 a ＝e ，求函数 f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数 f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当 a ＝e 时，函数 f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为 y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知 f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当 a ≤1 时，f ′(x )＞0，故 f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当 a ＞1 时，由 f ′(x )＝e x －a ＝0，得 x ＝ln a ，∴当 0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当 x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当 a ≤1 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当 a ＞1 时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级－π，1．(2019·南昌模拟)已知函数 f (x )＝x sin x ，x 1，x 2 2 f (x 1)＜f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 2－x 2＞0D ．x 2－x 2＜01212解析：选 D 由 f (x )＝x sin x ，得 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当 xf ′(x )＞0，即 f (x )f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函 数，∴当 f (x 1)＜f (x 2)时，有 f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 2－x 2＜0，故选 D.122．函数 f (x )＝1 2－ln x 的单调递减区间为．2解析：由题意知，函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)，由 f (x )＝x －1＜0，得 0＜x ＜1，所以x 函数 f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数 f (x )＝－1x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数2t 的取值范围是．解析：由题意知 f ′(x )＝－x ＋4－3＝－(x －1)(x －3)，由 f ′(x )＝0 得函数 f (x )的两个极x x 值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数 f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或 3∈(t ，t ＋1)⇔答案：(0,1)∪(2,3)t 1， t 1＞1t 3，t 1＞3⇔ 0＜t ＜1 或 2＜t ＜3.4.已知函数 y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中 f ′(x )是函数 f (x )的导函数) 下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是()解析：选 C 当 0＜x ＜1 时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故 y ＝f (x )在(0,1)上为减函数； 当 x ＞1 时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故 y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除 A 、B 、 D ，故选 C.5．已知函数 f (x )＝x 3－2x ＋e x－ 1，其中 e xe 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数 a 的取值范围是 ．解析：由 f (x )＝x 3－2x ＋e x － 1，e x得 f (－x )＝－x 3＋2x ＋ 1－e x ＝－f (x )，e x 所以f (x )是 R 上的奇函数． 又 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋ 1≥3x 2－2＋2e x · 1 ＝3x 2≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号， e x e x所以 f (x )在其定义域内单调递增．因为 f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以 f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以 a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤1，2 －1故实数 a 的取值范围是 －1答案： 6．已知 f (x )＝ax －1，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．x (1)求函数 y ＝g (x )的图象在点 P (1，g (1))处的切线方程； (2)设 F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数 F (x )的单调性． 解：(1)因为 g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以 g (1)＝0，g ′(x )＝1，g ′(1)＝1，x故函数 g (x )的图象在 P (1，g (1))处的切线方程是 y ＝x －1. (2)因为 F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1－ln x (x ＞0)，x 1 11所以 F ′(x )＝a ＋ － ＝a .x 2 x 4①当 a ≥ 1时， 4F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当 a ＝0 时，F ′(x ) 1－x＝ ，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；x 2③当 0＜a ＜1时，由 F ′(x )＝0，得4x 10，x 20， 且 x 2＞x 1，2a 1 ， 故 F (x ) 在 2a ，上 单 调 递 增 ， 在1，④当 a ＜0 时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a ＞0，x 2＝1＋ 1－4a ＜0，F (x )2a ，12a7．已知函数 f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中 a ∈R. (1)当 a ＝2 时，求函数 f (x )的极值；－ ＋ －－ － l (2)若存在区间 D ⊆ (0，＋∞)，使得 f (x )与 g (x )在区间 D 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围．解：(1)当 a ＝2 时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则 f ′(x )＝2－1，x0，1 1，＋∞故当 x ∈ 2 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当 x ∈ 2 递增．1时，f ′(x )＞0，f (x )单调 所以 f (x )在 x ＝ 处取得极小值，且 f 2＝1＋ln 2，无极大值．(2)由题意知，f ′(x )＝a 1 x，g ′(x )＝a e ax ＋2，1，＋∞①当 a ＞0 时，g ′(x )＞0，即 g (x )在 R 上单调递增，而 f (x )在 a 必存在区间 D ⊆ (0，＋∞)，使得 f (x )与 g (x )在区间 D 上单调递增；上单调递增，故 ②当 a ＝0 时，f ′(x )＝ 1 x＜0，故 f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而 g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间 D ；1 －2 ③当 a ＜0 时，f ′(x )＝a －1＜0，即 f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而 g (x )在 －∞， ln ax a1 －2 上单调递减，在 a ln a ，＋∞上单调递增，若存在区间 D ⊆ (0，＋∞)，使得 f (x )与 g (x ) 在区间 D 上有相同的单调性，则有 1 n a－2 a ＞0，解得 a ＜－2.综上可知，实数 a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．1 2＋第二课时 导数与函数的极值、最值考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例 1] 已知函数 f (x )＝x －1＋ a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数 f (x )的极值．e x[解] 由 f (x )＝x －1＋ a ，得 f ′(x )＝1－ a.e x e x ①当 a ≤0 时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f (x )无极值． ②当 a ＞0 时，令 f ′(x )＝0， 得 e x ＝a ，即 x ＝ln a ，当 x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当 x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数 f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数 f (x )在 x ＝ ln a 处取得极小值且极小值为 f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当 a ≤0 时，函数 f (x )无极值；当 a ＞0 时，函数 f (x )在 x ＝ln a 处取得极小值 ln a ，无极大值．[例 2] 设函数 f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中 a ∈R.讨论函数 f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1(x ＞－1)．x ＋1x ＋1令 g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当 a ＝0 时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数 f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0 时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．当 0＜a ≤8时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，9 函数 f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当 a ＞8时，Δ＞0，9设方程 2ax 2＋ax －a ＋1＝0 的两根为 x 1，x 2(x 1＜x 2)，因为 x 1＋x 2＝－1，2 所以 x 1＜－1，x 2＞－1.4 4由 g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－1.4。