当前位置：文档之家 › 数值分析重点公式

数值分析重点公式

  • 格式：docx
  • 大小：325.90 KB
  • 文档页数：10

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12kbax 2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有 则对任意初值0,xab迭代收敛，且： 定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性； 定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjPL

（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛 5）Newton迭代法收敛定理： 设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb； ②：'()0,,fxxab； ③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx； 则Newton迭代法收敛于根。 6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx 收敛阶：152P 7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改 ①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。 8）迭代加速收敛方法： 2211211212()()iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxx









当不动点迭代函数()x在的某个邻域内具有二阶导数，'()1,0L平

方收敛 9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根 10）拟Newton法

其中11112222'1212()iiiniiiininnniiinfffxxxfffxxxAFxfffxxxLLMMML 11）秩1拟Newton法： Broyden秩1方法 第二章 线性代数方程组数值解法 1）向量范数：

①：非负性：0x，且0x的充要条件是0x；

②：齐次性：xx ③：三角不等式：xyxy

1范数：11niixx 2范数：12221()niixx 范数：1maxiinxx

p范数：11()nppipixx 2）矩阵范数： ①：非负性：0A，且0A的充要条件是0A；

②：齐次性：AA ③：三角不等式：ABAB ④：乘法不等式：ABAB

F范数：12211nnijFijAa 1范数：111maxnijjniAa，列和最大 范数：111maxnijinjAa，行和最大

2范数：2()HAAA，其中1()maxHiinAA，i为HAA的特征值，()AA 3）Gauss消元法（上三角阵）：313Mn； Gauss-Jordan消元法（对角阵）：312Mn； 列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置； 4）三角分解法： ①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵 ②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵

③：Cholesky分解法：A对称正定，TALL，L为单位下三角阵

④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，TALDL，L为单位下三角阵，D为对角阵 ⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程 5）矩阵的条件数1()1condAAA，谱条件数：1222()condAAA 6）如果1B，则IB为非奇异阵，且11()1IBB 7）迭代法基本原理： ①：迭代法：1iixBxK ②：()1B(lim0iiB，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B 8）Jacobi迭代：ALDU 9）Gauss-Seidel迭代：111()()iixLDUxLDb

10）超松弛迭代法11iiixxr 11）二次函数的一维搜索：2111xxP 12）最速下降法： 选择方向0000()ZgradfxrbAx

进行一维搜索：1000xxr，其中00000(,)(,)rrArr 13）共轭梯度法： 第一步：最速下降法，00Pr，11rbAx，01(,)0rr

第二步：过1x选择0P的共轭方向110PrP，其中1000(,)(,)rAPPAP，过1x以1P为方向的共轭

直线为11xxtP，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)xxPrPAPP 14）一般的共轭梯度法： 第三章 插值法与数值逼近

1）Lagrange插值：0()()()nnjjjLxlxfx，

余项：(1)1()()()(1)!nnfExPxn 2）Newton插值：差商表 00100101010()()[ ]()[ ]()()[ ]()()nnnnfxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxLLLLL余

项(1)0101()()[ ]()()()(1)!nnnnfExfxxxxxxxxPxnLL

3）反插值 4）Hermite插值（待定系数法）'210()[()()()()]nnjjjjjHxxfxxfx

其中2'''1,1()()(),2(),12(),()njjjjjjjjjkkjjkxaxblxalxbxlxlxxx 余项：(22)21()()()(22)!nnfExPxn 5）分段线性插值：1111()()()jjjjjjjjjxxxxLxfxfxxxxx

插值基函数：0110101011110,,(),(),0,nnnnnnnnxxxxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxx 余项：分段余项2(2)22,max()8MhMfx 6）有理逼近：反差商表

有理逼近函数式：000111122()()()()()nnnxxfxvxxxvxxxvxvxL

7）正交多项式的计算： 定理：在[,]ab上带权函数()x的正交多项式序列0()nx，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定 其中(,)()bijijaxdx 定理 8）连续函数的最佳平方逼近：在2{1,,,,}nSpanxxxL上，法方程为nHad， 其中1121(1)12131(2)1(1)1(2)1(21)nnnHnnnLLMMML，10(,)()kkkdffxdx 均方误差：22**21(,)(,)niiiffPffad 最大误差：*01maxxfP 9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：

法方程0(,)(,)njkjkjaf

其中00(,)()()(,)()()mjkijikiimkiikiixxffxx 第四章 数值积分 1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。 2）Lagrange插值代入

Lagrange插值基函数011011()()()()()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxxLLLL

0()()nbjjajfxdxHfx

，其中()bjjaHlxdx

误差：(1)1()()()(1)!nbnafEfPxdxn 定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes公式

将拉格朗日差值积分公式中的差值节点ixaih即可，其中bahn；

00,(1)()!()!njnnjiijhHtidtjnj





，令jjHCba（Cotes系数）则：

N-C公式的数值稳定性：当jC同号时是稳定的，否则不稳定，0()njjbaC（其中0maxjjn） N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次； 余项：

合集下载

数分公式总结

数分公式总结

数分公式总结数分（即数学分析）是一门研究数学对象之间关系的学科，其中包含了很多重要的公式。

本文将总结数分中的一些常用公式，帮助读者更好地理解和应用数学分析的概念和方法。

1. 极限和连续1.1 极限的定义定义 1：设函数f(x)在无穷接近点a的某一区间上有定义。

如果对于任意给定的正数 $\\varepsilon$，总存在正数 $\\delta$，使得当 $0 < | x-a | < \\delta$ 时，就有 $| f(x) - L | < \\varepsilon$ 成立，就称当x趋于无穷接近点a时，函数f(x)的极限为L。

记作$$\\lim \\limits _{x \\to a} f(x) = L$$1.2 常用极限1.$\\lim \\limits _{x \\to a} c = c$ （常数的极限）2.$\\lim \\limits _{x \\to a} x = a$ （自变量的极限）3.$\\lim \\limits _{x \\to a} (kf(x)) = k \\cdot L$ （常数倍的极限）4.$\\lim \\limits _{x \\to a} (f(x) + g(x)) = \\lim \\limits _{x \\to a} f(x)+ \\lim \\limits _{x \\to a} g(x)$ （和的极限）5.$\\lim \\limits _{x \\to a} (f(x) \\cdot g(x)) = \\lim \\limits _{x \\to a}f(x) \\cdot \\lim \\limits _{x \\to a} g(x)$ （乘积的极限）6.$\\lim \\limits _{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\frac{\\lim \\limits_{x \\to a} f(x)}{\\lim \\limits _{x \\to a} g(x)}$ （商的极限，除数不为零）1.3 连续的定义和性质定义 2：设函数f(x)在点a的某一去心邻域内有定义。

数据分析推算公式大全

数据分析推算公式大全

数据分析推算公式大全数据分析和推算是现代社会中非常重要和常用的技术和方法。

它们帮助人们从大量的数据中提取有用的信息，并根据这些信息做出决策和预测。

下面是一些常见的数据分析和推算公式的介绍。

1.平均值：平均值是一组数据的总和除以数据的个数。

它可以表示数据的中心趋势。

平均值=总和/数据个数2.中位数：中位数是一组数据按大小排序后位于中间位置的值。

它可以表示数据的中心位置。

若数据个数为奇数，中位数=（n+1）/2项的值若数据个数为偶数，中位数=第n/2项和第n/2+1项的平均值3.众数：众数是一组数据中出现次数最多的值。

它可以表示数据的最常见取值。

众数=出现次数最多的值4.方差：方差是一组数据与其平均值的差的平方的平均值。

它可以表示数据的离散程度。

方差=数据与平均值的差的平方的总和/数据个数5.标准差：标准差是方差的平方根。

它可以表示数据的离散程度，数值越大表示数据越分散。

标准差=方差的平方根6.协方差：协方差是两组数据之间的关系程度的度量。

正值表示正相关，负值表示负相关。

协方差=（（x1-平均值x）*（y1-平均值y）+（x2-平均值x）*（y2-平均值y）+…）/数据个数7.相关系数：相关系数是协方差的标准化表达。

它可以表示两组数据之间的线性相关程度，取值范围为-1到1相关系数=协方差/（x的标准差*y的标准差）8.线性回归：线性回归是一种用来建立两组数据之间线性关系的模型。

它可以预测新的数据点。

y=β0+β1*xβ1 = （nΣxy - ΣxΣy）/（nΣx^2 - （Σx）^2）β0=平均值y-β1*平均值x9.时间序列分析：时间序列分析是一种用来预测未来时间点的模型。

它可以根据历史数据来进行预测分析。

趋势分析、季节性分析、周期性分析等是时间序列分析的常用方法。

10.核密度估计：核密度估计是一种非参数估计密度函数的方法。

它可以通过数据的分布情况来估计概率密度函数。

以上是一些常见的数据分析和推算公式的介绍。

数值分析笔记

数值分析笔记


2
βk +1 ( x=)
(x
−
)
xk +1
Hale Waihona Puke x − xk xk +1 − xk
2
插值多项式： H3 (x) = ykαk (x) + yk+1αk+1(x) + mk βk (x) + mk+1βk+1(x)
3、三次样条
三、数值积分
∫ 1、梯形公式： I ( f ) = b f (x)dx ≈ b − a [ f (a) + f (b)] 代数精确度为 1
xi−1)(x − xi+1)(x − xn ) xi−1)(xi − xi+1)(xi − xn )
ωn+1(x) =(x − x0 )(x − x1)(x − xn )
li
(x)
=
(x
ωn +1 ( x) − xi )ωn′+1(x)
4）插值余项与误差估计
插值余项： Rn (x=)
f (x) − Ln (x=)
b
− ε
a
−1
计算器：
log2
x
=
ln ln
x 2
方程 f (x) = 0 改为等价形式 x = g(x) ，若 x* = g(x*) ，称 x* 为 g(x) 的一个不动点，
此时 x* 也是 f (x) = 0 的一个根。 ⇒ xk+1 = g(xk ) ， g(x) 为迭代函数。
全局收敛：从任何初始值出发都收敛
k
=0,1,
2,
（k
表示迭代次数）
2、判断迭代法收敛：
①迭代阵
高等工程数学数值分析重点方法_doc

高等工程数学数值分析重点方法_doc

高等工程数学数值分析重点方法_doc迭代法 1、证明矩阵 A=111aaa aa a 对于-1/2<a<a<="" 2是收敛的。

="" 2是正定的，而雅可比迭代只对-1="" p="" 证明：当-1="">11det aa =1-a 2>0，det(A)=(1-a)2(1+2a)>0 故A 是正定的。

又雅可比法迭代矩阵B J =------000aaa aa a det(λI-B J )=λλλaaa aaa =λ3-3λa 2+2a 2=(λ-a)2(λ+2a)故)(J B ρ=a 2，故当-1/2<a<="" p="">2、求证lim k k A A →∞=的充要条件是对任何向量x ，都有lim k k A x Ax →∞=。

证明：必要条件由lim k k A A →∞=，知()lim k ij ij k a a →∞=，从而有k A A -→0（k →∞）。

故对任意的x ，有0k k A x Ax A A x -≤-→（k →∞）则k A x Ax →，lim k k A x Ax →∞=。

充分条件对任意的nx R ∈，有k A x Ax →（k →∞），取(0,,0,1,0,,0)T i x = (1,2,,)i n =()()()12(,,,)k k k Tk i i i ni i A x a a a Ax =→ （k →∞） 12(,,,,)Ti i i ni Ax a a a =故()k ji ji a a →(1,2,,;1,2,,)j n i n == 即k A A →，lim k k A A →∞=。

3、设求解方程组Ax=b 的雅可比迭代格式为(1)()k k x Bxf +=+，(0,1,2,)k = 。