数值分析公式、定理等

数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。

数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。

设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。

以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。

计算数学(数值分析)的基本概念计算数学是数学的一个分支. 在工程实际工作和科学研究中，寻求问题的解非常重要，这些问题经常转化为数学问题，建立数学模型，然后求解。

尽管许多问题的数学模型具有非常明确、简单明了的解，比如半径为r 的圆的面积s ，长方形的面积等等，但是更多的问题，求得解析解并非易事，而且实践中也不必要。

为此，一般利用计算机、采用一定的计算方法（算法）、求得满足一定精度的数值解（近似解），就足够了。

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包).1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法，分直接方法和间接方法.2.插值和数值逼近。

3.数值微分和数值积分。

4.常微分方程和偏微分方程数值解法。

算法中常用的技术有：迭代技术、离散化技术、连续化技术等。

评价算法的最明显的标准是：速度和精度。

1. 计算速度——涉及计算量，表现出来是计算时间。

例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行20107.9⨯次运算，如用每秒3千亿次乘法运算的计算机要100年.而目前IBM 生产的“蓝色基因”是世界上运算最快的计算机，每秒运算速度达136.8万亿次。

2.精度——涉及计算结果的准确性，表现为误差。

3.存储量.大型问题必须考虑的.4.数值稳定性.在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关. 例: 一元二次方程x 2-(109+1)x+109=0其精确解为X 1=109，X 2=1.如用求根公式:aacb b x ，24221-±-=和字长为8位的计算器求解，有 91891821010104104=≈⨯-=-ac b ，又9910110≈+，从而999110210)10(=+--≈x ，0210)10(992=---≈x .我们看到2x 与其精确解有着巨大差异.为了防止这种情况的发生，我们采用恒等变形求解可得：()110101024224999222=+--⨯≈-+-=---=acb bc a ac b b x 计算2x 的两个式子从数学上是完全一样的，但拿到计算机上去计算时，由于计算机采用的浮点运算及位数的限制，导致第二根结果差异较大，这充分说明，算法的选择是非常重要的。

数值分析重点公式下面是一些数值分析中的重点公式：1.最大值和最小值：- 最大值：记作 max(a, b) 表示 a 和 b 中较大的值。

- 最小值：记作 min(a, b) 表示 a 和 b 中较小的值。

2.线性插值：-线性插值：对于给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，如果希望在这两个点之间的x值为x的位置计算对应的y值，可以使用线性插值：y=y1+(y2-y1)*((x-x1)/(x2-x1))。

3.数值微分：-前向差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数，其中h是一个小的正数。

-后向差商：用f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。

-中心差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。

4.数值积分：-矩形法则：使用函数在每个小矩形中的平均值作为矩形高度来计算定积分的近似值。

-梯形法则：使用底边为区间长度的梯形面积的一半来计算定积分的近似值。

-辛普森法则：使用函数在每个小区间上的平均值和两个端点值的加权平均来计算定积分的近似值。

5.数值解线性方程组：-高斯消元法：将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解各个未知数。

-LU分解：将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再通过回代求解各个未知数。

-追赶法（托马斯算法）：适用于解三对角系数矩阵的线性方程组，通过追赶的方式求解。

6.数值解非线性方程：-二分法：通过计算函数在区间端点的值的符号来确定函数在区间内的根的存在，并迭代缩小区间直至满足精度要求。

-牛顿法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用切线来逼近根的位置。

-弦截法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用割线来逼近根的位置。

7.数值解常微分方程：-欧拉方法：使用函数在当前点的导数值来估计下一个点的函数值。

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。

在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。

下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。

-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。

2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。

-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。

-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。

3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。

4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。

-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。

5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。

-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。

6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。

-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。

-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。

8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2)迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3)单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x ϕ满足:①[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛,且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三:设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法:1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理:设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②:[]'()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：12P +=7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r,1'()()i i i i f x x x rf x +=-(平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=,α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概 括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算 与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推 与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面: (一) 误差计算1截断误差的计算绝对误差、相对误 差和误差限的计算直接利用公式即可 基本的计算公式是:① e(x)= x * — x A x = dx② e r (x)超竝他x xx③ e( f (x)) f (x)dx f (x)e(x) ④ e r (f (x)) d(lnf (x))e( f *, X 2)) f x 1 (为,X 2)dx 1 f x 2(X 1, X 2)dx 2 f x 1 (为,x ?)e(xj f x 2 区,x ? )e(x 2)⑥(f(x 1,X 2))(f(x1,x2))f (X 1,X 2)截断误差根据泰勒余项进行计算。

E)/ \(x) n 1 基本的冋题是(n 1)!例1. 1 :计算e 的近似值，使其误差不超过10解：令 f(x)=e (0 1)，已知&求n 。

e x 1 xx 2 x"2 当x=1时, ,而 f (k)(x)=e x ,f n x n! 1(n故 R n (1)L 2! n!3。

(n 1)! (k) (0)=e 0=1。

xen 1x (0 1)! 1 e-6。

由麦克劳林公式，可知1) (0 1)(n 1)!当n = 9时，R(1)v10 -6,符合要求。

此时, e ~ 2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据 误差的关系 而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定 义式e r (x)葩或—，xx这样计算简单。