数值分析期末复习(整理版)

期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。

数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。

1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。

通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。

其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。

多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。

牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。

插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。

3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。

通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。

最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。

第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。

数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。

1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。

通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。

常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。

迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。

2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。

常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。

常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。

3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。

第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

2、数值分析特点：①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。

④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。

3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。

4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。

）要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。

注意：近似值后面的零不能随便省去！2≤⨯1102≤⨯10.00000734102≤⨯（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！ 6、一元函数的误差估计问题：设y =f (x )，x 的近似值为x *，则y 的近似值 y *的误差如何计算？(*)(*)(*)(*)e y dy f x dx f x e x ''≈=≈ (*)(*)(*)e y f x e x '≈ *(*)(*)(*)(*)r r x e y f x e x f x '≈故相应的误差限计算如下(*)(*)(*)y f x x εε'≈ *(*)(*)(*)(*)r r x y f x x f x εε'≈ 7、二元函数的误差估计问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y 的误差如何计算？**121212(*)*(,)(,)(*,*)e y y y f x x f x x df x x =-=-≈12121212(*,*)(*,*)(*)(*)f x x f x x e x e x x x ∂∂=+∂∂(*)(*)*(*)(*)(*)(*)(*)r r dy f x e x x e y f x e x y f x f x ''≈≈=1212121212121212(,)(,)(*,*)(*,*)(*)()()(*)(*)f x x f x x f x x f x x e y e x e x e x e x x x x x ∂∂∂∂=+≤⋅+⋅∂∂∂∂故绝对误差限为12121212(*,*)(*,*)(*)(*)(*)f x x f x x y x x x x εεε∂∂=+∂∂8、多元函数的误差估计121211121(*,*,,*)(*,*,,*)(*)*(*)(*)(*,*,,*)(*)n n n nnn i i i f x x x f x x x e y y y e x e x x x f x x x e x x =∂∂=-=++∂∂∂=∂∑9、加减乘除运算的误差估计（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。

Chapter 1 误差误差限计算、有效数字分析•绝对课差址t洵准确俏”*为工的-个近似偵「称T —工対近似偵.T '的絶村谋差，简厳供邛*可简记为E.|g(T)|=| T —*|兰£(/)数值貞门称为T的11绐对误差限或误差限*l『*、F(x ) x —x E© ) = —=——为近似值/的担zt溟誉可简｛己址•有效数字若才作加的近tilt其鲍对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单恆，而该位数字到F的第—位非零数字共有斤位關称用F近恤时具有血有效做字'简称丫有畀位有效数字.Chapter 2插值法差值条件(唯一性)1、拉格朗日差值a) 插值基函数b) 差值余项2.2拉格朗曰抽值2.2.1基函数考虑最简单、晟舉本的骼值问起+ 求押次插值家项式『低)…肋，便加滿足播值条伸可知，除斗点外.其余都星”.巧的零点■械可诛< (A) ^.4(X 一％[…(-V址 d 為"* <A -A；)X)=A(X - J- (A- - \_, )(.Y -J)其中M为常數.由&工戶1町得』=-------------------- -----------------(閔円)心7冷K%-咖卜-a -斗)和対讼>：T^V为准确血"为玄的一个近似伉称relativeerror称之为拉厳朗LI垒曲绘都是M次帝项武.. 2.1.2拉榕朗n插佢雾项式利用拉辭朗H皋啦数/态人构造次数不趙过"的雾项式£(巧二必机朗+^( v) + •…I J；/,(.v) = £昭(曰可知其搆足7韩为拉格阴Id插说饕砂式.再由插菽牟嘶的唯亠杵“ 鲁 D I特别地*造时又叫钱件擂僮其几何童又为过两点的直级-当*匸2时又叫拋物<线)掩值•具几何鳶义为过三点的拋物线.滾丘阖淘若取人1).伸伏=札1*…飒由插痕参项式的唯一性有£址工)# =x\ k= 0」厂』特别当k-OfiL就得到£佃-1□则铉格朗U的丄抚抽值雾项式为V)= j^(j(X> + I'Jj (x> + j/2(.v) * MQO=(2)弓…仗扣讪—协-町H^)xll(A + l)(r-JX^ 4}+3x —(x H)(x-LXx-3) 8 15■裁1M T-3X V-4)+^X HX A-1M A4)+ l(.v+lX.v-lXr-3)+ 3)a 1已知$ =五，耳=4眄=S.用皴件插值f即一次插惟藝坝如历的近似值.解片=2・曲=3•菇函数付别为：t-9 1 x-4 I4(J)=——=—(x-9j, Zjx)=——= -{x -4)砂14-9 5尸门9-4 5播債孝项式为V)-片fj.i) +」'占(巧-2x^(.v 夕”：(* 4)---(.V 4 J -4)(- (X + fr))所以乔金厶⑺二空R点5使2求过啟-1,-毎川』人(乱-创*(4」)的抛物线播值(即三次插値务项式).蔦-U 斗=-t t A|二L x2=3»A3- 4以为苗点加墓函.数分别为：厶何」匸迪住1±J (.r +lXA -3}(x-4)1(1 ► 1)(1-3)(1- 4J 12心)」：十汽-1年¥二Uw心一ncz (34-1X3-1X3-4) K=⑴】心-叭7= *十叫讣7】(4 + IX4-1X4-3) 152.23極値肇项M tt'r滾^Ji n(x)=f(x)兀糾也称为"次1川甘"叱插伯赛境式的余坝。

数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。

它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。

在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。

本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。

二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。

插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。

常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。

2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。

微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。

数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。

3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。

原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。

数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。

4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。

在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。

数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。

三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。

这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。

因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。

《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。

《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。

特点：可正可负，带量纲。

（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。

注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。

2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。

数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。

P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。

（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。

迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。

主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。

(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。

数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。

2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。

3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。

4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。

5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。

6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。

7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。

8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。

9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。

10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。

11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。

12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。

13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。

⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。

4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。

一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。

2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。

3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。

4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。

5.设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。

6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。

7.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。

8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。

9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=⎰的代数精度为 。

10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈⎰的代数精度为 。

11.在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==3)2(1)1(P P 的一次多项式P(x)= 。

12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。

13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。

二、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43231211121x x的最小二乘解。

4.给定下列函数值表：求3次自然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。

第一章（有效数字位数）1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。

2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。

4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。

7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。

8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。

第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。

2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。

则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。

2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法x k+1=ø（x k）均收敛x*3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。