拓扑学简介
拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标
系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题，扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这
个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到2006 年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？所谓“分类”，就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩“两朵乌云”的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。开尔文认为，不同的化学元素其实是“以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据：（1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的“扭法”。（2）元素很多样，这可以用扭结的多
样性来解释，不同的“打结方式”实在太多了。（3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用“以太扭结”的各种“振动方式”来解释。有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是“弦论”的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法，都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书《An introduction to knot theory》，作者Lickorish, 属于系列GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再贴几个扭结：然后是一个问题：下面三个扭结中，哪两个本质上是同一种结？庞卡莱是19
世纪末20 世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。庞卡莱意识到，
描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没
有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。
在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，…)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。剖分的基本组成成份叫做“单形”，“点”是0 维单形，“边”是 1 维单形，“三边形”（包括内部）是 2 维单形，等等（试想一下 3 维单形是什么）。拿之前已经剖分的球面做例子，顶点A, B, C, D 是0 维单形，边AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形，三边形ABC, ABD, ACD, BCD 是2 维单形（如果ABC, ACD 是东半球的区域，那ABD, BCD 就包括了西半球）。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如(3 AB – 2 BC) + (AC
–5 BC) = 3 AB –7 BC + AC. 单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。在1维的时候就是边的方向，比如，AB 是从A 到B 的边，-AB 就是从B 到A 的边，也就是BA，所以BA = - AB. 三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，ACB = - ABC. 由于每一个n 维单形的边界由若干n-1 维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在“链”上，得到另一个“链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然AB 的边界是两个点 A 和B, 但为了体现定向性质，规定AB 的边界是( B – A ). 这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。如果用d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0; d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) =
CD-BD+BC, ……在“链”上的作用，d (3 AB –2 BC) = 3 d (AB) –2 d (BC) = 3 (B-A) –2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C. 边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零， d [ d (BCD) ] = d [ CD –BD + BC ] = d(CD) –d(BD) + d(BC) = (D-C) –(D-B)
+ (C-B) = 0 现在把剖分后的几何体的所有这样的“链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的“链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC ) 说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做“闭链”。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，A-B = d (BA) 按照庞卡莱的语言，A-B 是边缘链，将被等同于0, 也就是说，在同调群中A-B = 0, 或者说 A = B. 这样，本质上只有一个0 维对象，A = B = C = D,它可以被整数乘，这样我们得到球面的0 维同调群{ …, -3A,
-2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …} 这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的0 维同调群“同构于”整数集。1 维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没
有边界的 1 维链总是由三边形的边界( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的1 维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于0，所以1 维同调群是0. 2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件 d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0. 有兴趣的朋友可
以动手算一算上面这个方程，比如第一项 d ( x ABC ) = x ( BC –AC + AB ) = x BC –x AC + x AB, 然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到 6 个关于x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成w ( BCD –ACD + ABD –ABC ), 也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做s, 那么球面的二维同调群就是{ …, -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, …}，同构于整数集。综上所述，球面的0 维同调群和2 维同调群都同构于整数集，1 维同调群为0. 再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩……, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上2 维单形个数再减去 3 维单形个数……，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其
实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是V – E + F, 而且总是等于 2. 实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1 –0 + 1 = 2.显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面……，再加加减减就行了。同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是“中空”的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。）庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必须首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不满足结合律，运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点，只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路，这些道路当然互相首尾相连；然后他规定，如果一条
道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路（见下图），这两条道路就被看作在同一个“道路类”中，这样规定后，“道路类”之间的乘法就满足结合律了。这些“道路类”也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的“基本群”，或者“1 维同伦群”。来点感性认识。线段的基本群只有一个元素，就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变
形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。再看圆周，它的基本群是所有整数组成的。绕圆周n 圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周m 圈
的道路，而把它们首尾相接的结果就是绕圆周n+m 圈的道路，这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子，球面，它的基本群是平凡的，因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形（滑缩）为静止在基点的道路（见左图）。具有平凡基本群的几何体称为“单连通的”。基本群的计算涉及到更深入的细节，比如拓扑的具体定义，拓扑空间之间的映射，等等，无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅《基础拓扑学》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孙以丰译。发明了基本群以后，庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面
从其它三维几何体中区分出来，但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想：单连通的三维封闭几何体一定是三
维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展，最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在2006 年获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖。
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
第23卷第5期2009年9月甘肃联合大学学报(自然科学版) Journal of G ansu Lianhe University (Natural Sciences )Vol.23No.5Sept.2009 收稿日期:2009204215. 基金项目:甘肃省教育厅科研项目(0709B 204). 作者简介:罗明奇(19852),男,甘肃天水人,西北民族大学研究生,主要从事应用数学的研究. 文章编号:16722691X (2009)0520026203 关于连通在图论与拓扑学中的关系研究 罗明奇,马少仙,万淑慧,郭旭卫 (西北民族大学计算机科学与信息工程学院,甘肃兰州730030) 摘 要:本文主要通过在简单无向连通图中建立距离概念,构造出一个拓扑空间,在此拓扑空间上证明了图论中的连通可以推导出拓扑学中的连通;反之,证明了拓扑学中的连通也可以推导出图论中的连通;从而说明图论中的连通与拓扑学中的连通可以相互转化.关键词:连通;开集;邻域 中图分类号:O157.5 文献标识码:A 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.现实世界中,许多事物之间的关系可以抽象成点及其它们之间的连线,可以说图论是训练离散数学证明技巧的乐园,对培养学生的离散性思维具有很好的促进作用,再者,离散数学属于现代数学的范畴,可以说学好图论可以间接的使学生了解到现代数学知识.拓扑学是近代数学重要的基础分支学科,它是以研究图形在拓扑变换(一对一的,双方连续的映射)下的不变性质为特征.拓扑学的一些基本概念、方法、理论已经在其他数学分支如泛函分析,微分方程,微分几何等中广泛应用,甚至成为许多数学分支的一种通用语言.所以,无论对离散数学、拓扑学还是图论而言,它们都属于最基本的理论基础,对我们更进一步的学习都具有很好的铺垫.伴随着计算机科学技术的迅猛发展,作为支撑学科的离散数学和图论正变得越来越重要.图论的一个最新发展分支就是代数拓扑图论,所以建立连通在图论与拓扑学中的转化关系,对我们以后的更深层次的学习具有很大的帮助,同时对我们的离散数学教学也具有指导意义.连通是图论中的一个基础概念,图论研究的对象基本都是基于连通图;同时它也是拓扑学中的一个基石.本文主要通过在简单无向连通图中建立距离概念,构造出一个拓扑空间,在此拓扑空间上证明了图论中的连通可以推导出拓扑学中的连通;反之,证明了拓扑学中的连通也可以推导出图论中的连通;从而说明图论中的连通与拓扑学中的连通可以相互转化.从而,无论对图论还是拓扑学来说,都拓宽了各自的研究方法. 基本理论观点 本文考虑的是简单无向连通图.定义1[1] 设G =(V ,E )是一个无向图,u ,v ∈V ,若结点u 和v 之间存在一条路,则称结点u 和v 是连通的. 定义2[1] 设G =(V ,E )是简单无向图,如果结点u 和v 是连通的,则min {w |w =连接u 与v 的路的长度}为结点u 与v 的距离,记为d (u ,v ),如果结点u 和v 是不连通的,则规定它们之间的距离d (u ,v )=∞. 由此定义知无向图G 中的结点的距离具有以下性质: 1)对任意u ,v ∈V ,d (u ,v )Ε0,d (u ,v )=0当且仅当当且仅当u =v (非负性); 2)对任意u ,v ∈V ,d (u ,v )=d (v ,u )(对称性) 3)对任意u ,v ,w ∈V ,d (u ,w )Φd (u ,v )+d (v ,w )(三角不等性). 定义3[2] 任意一点A ∈R 2,任意一点集E 一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B = ； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ） 东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级 拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}， 拓扑学的性质及在建筑形态中的应用摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 abstract：this article focuses on the nature of the topology, in particular, is described mobius strip and klein due to bottle the two surfaces in architectural design. look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶 中图分类号：o189.3文献标识码：a文章编号： keywords： topologyarchitectural formmobius ringklein bottle 正文： 在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态 习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈ 拓扑学在建筑中的应用 数学与系统科学学院 蒋玉莹 09304011 空间组织的清晰性 “对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004） “通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005） 妹岛和西泽是我接触建筑拓扑学首先出现在我眼前的两位建筑师。因为是首次接触到建筑拓扑学，所以评论家的观点对我有着非常重要的影响。评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，在我看来还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。 这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。” 妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。 在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。 群集与分区的非层级性特征 “在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。 “在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。 “我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。 不量尺寸的几何──拓扑学 拓扑学的由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论──不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应 具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是 错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想 拓扑学发展史及其应用 【摘要】 【关键字】拓扑学、 【正文】 一、什么是拓扑学 拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起 源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology 原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入， 当时主要研究的是出于数学分析的需要而产 生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研 究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变 量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分 支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在 连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形， 形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许 割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。 学科方向 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑 拓扑学 已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图 形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 拓扑学由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十 试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46） 编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？ 这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。 首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。 数学上有几个数学分支是完全不用数字的。以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。 游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？ 拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。 虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。 如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。所以要想和别人玩这个游戏，一定得快拉。 游戏三十八一个古老的游戏。 这个游戏，几百年来迷惑了不少人，今天你要是玩这个游戏，可能还会有人与你打赌的。游戏看起来很简单，而它的原理却运用了拓扑学。 找一条内外两面颜色相同的腰带，把腰带内面向里对折。拿住对折处把它盘起来，盘起来的腰带当中呈一个S 形，内面形成一个S形，外面形成另一个S 形。在腰带内面的S 形当中插上一支铅笔，用一手抓住腰带的两端一拉，盘起来的腰带松开了，而铅笔仍然套在当中，现在你可以用魔术师的口气对观众说： “谁能象我刚才那样，使腰带套住铅笔吗？” 尽管你已经给大家作了示范表演，别人无论把铅笔插在哪里，盘起来的腰带拉直后，是无法套住铅笔的，铅笔总是跑到外面去了。下面就是这个游戏的窍门： 1、假如别人把铅笔插到腰带外面的S 中间，那你尽管抓好腰带的末端，腰带一松开，铅笔就出来了。 2、假如别人把铅笔插到腰带内面的S 中间，你就得把腰带的一端朝腰带原来卷紧的相反方向绕一圈，再抓住两头一拉，铅笔就自然地脱离圈套了。因为当腰带一端向相反方向转一圈时，原来朝里的一面，就变为朝外了，套住的铅笔自然就会脱出来了。 注意：碰到第二种情况时，就装着把腰带绕紧，否则人家会看出破绽。腰带用两面颜色一样的，就是这个原因（为了区分正反面，可把图画成两种不同颜色）。 游戏三十九你能把一张纸剪成两张吗？ 找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5 厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5 厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗？ 剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这是什么原因呢？原来，这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正反面。这是千真万确的，不信你自己做一个这样的纸 《点集拓扑学》教案(40学时) 第一章 序言与分析学初步 §1-1 拓扑学的几何与分析两大背景 拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。后来，集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。 一、以几何学研究作为发展背景 被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736年，欧拉在彼得堡担任教授时，解决了一个 “七桥问题”，并认为是拓扑学产生的萌芽。 当时普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？” 图1 七桥问题 欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。 “七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关，仅与连接方式有关。 几何学的其他例子 ① 欧拉的多面体公式与曲面的分类 欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体），其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有 2=+-f e v 的关系。由此可证明正多面体只有五种。 对于非凸多面体（如图2呈框形，则不管框的形状如何），总有 0=+-f e v 这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。 D 习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈ 扑 学 奇 趣 课题：拓扑学（下） 【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。 而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 莫比乌斯环（只有一个面）性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。 而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史 萌芽 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。 1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。 组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓 《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y 的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、拓扑学习题
答案-拓扑学基础a
拓扑学测试题
拓扑学性质及在建筑形态中应用论文
基础拓扑学讲义11的习题答案
拓扑学在建筑中的应用
不量尺寸的几何──拓扑学
拓扑学发展史
数学游戏拓扑学
拓扑学教案1
基础拓扑学讲义1.1的习题答案
拓 扑 学 奇 趣
拓 扑 学 奇 趣
一、 什么是拓扑学 拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支， 其中拓扑 变换在许多领域均有其用途。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为 数学理论的三大支柱。 拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说，关于图形的几何性质探讨， 不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是 其内容却与几何学的范畴不尽相同， 多数的讨论都是围绕在那些与大小、 位置、 形状无关的性质上。 例如，曲线(绳子、电线、分子链?)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的， 则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。立体及它 们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形 不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们 把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的 形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。 A. 拓扑同胚与等价性质 拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。 一个几何图形的性质， 经由一拓扑变换作用后维持 不变，该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。 任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。然而， 在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。 如果我们把一个橡皮制的物体 X 任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形 状的物体 Y，我们称这两个物体 X 和 Y 在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说， 在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物 体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。 例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延 伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。 拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。 网络、 欧拉定理、 曲面、 向量场、 四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。 B. 不可思议的拓扑变换 法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854～1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出 图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个， 您认为可能吗？
庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被 允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
庞加莱的奇怪想14拓扑学(下)详解
基础拓扑学第4章答案
学习拓扑学的心得体会
相关主题
文本预览