当前位置：文档之家 › 不定积分例题及答案

不定积分例题及答案

  • 格式：doc
  • 大小：2.92 MB
  • 文档页数：66

第4章 不定积分 容概要 名称 主要容

不 定 积 分

不 定 积 分 的 概 念

设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx 或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。 ()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC 注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性 质 性质1：()()dfxdxfxdx



或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC； 性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法）

设()fu的 原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式： (())()(())()(())fxxdxfxdxFxC

第二类 换元积 分法

设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数

()Ft，则

1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC





分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)2

dx

xx

思路: 被积函数 5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。 解：5322223dxxdxxCxx ★(2)31()xdxx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x

★(3)22xxdx（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（） ★(4)(3)xxdx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx

★★(5)4223311xxdxx



思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx

★★(6)221xdxx

 思路:注意到222221111111xxxxx，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)xdxxxx34134（-+-）

2

思路:分项积分。

解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2

223134ln||.423xxxxC

★(8)22

32()11dxxx



思路:分项积分。 解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx

★★(9)xxxdx 思路:xxx？看到11172488xxxxx，直接积分。 解：715888.15xxxdxxdxxC

★★(10)22

1

(1)dxxx

思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx

★(11)211xxedxe



解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee ★★(12)3xxedx 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33xxxee（）。 解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（） ★★(13)2cotxdx

思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。 解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC

★★(14)23523xxxdx

思路:被积函数 235222533xxxx（），积分没困难。 解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（）） ★★(15)2cos2xdx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：21cos11cossin.2222xxddxxxC

★★(16)11cos2dxx

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx

★(17)cos2cossinxdx

xx

思路:不难，关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”。 解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx ★(18)22

cos2cossinxdx

xx

思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。 解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx 22cscseccottan.xdxxdxxxC ★★(19)11()11xxdxxx



思路:注意到被积函数 2221111211111xxxxxxxxx，应用公式(5)即可。 解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx ★★(20)21cos1cos2xdxx



思路:注意到被积函数 22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx，则积分易得。 解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx ★2、设()arccosxfxdxxC，求()fx。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可。 解：等式两边对x求导数得：

2211(),()11xfxfxxxx



★3、设()fx的导函数为sinx，求()fx的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，1()sincosfxxdxxC

所以()fx的原函数全体为：112cossinxCdxxCxC（）。

★4、证明函数21,2xxeeshx

和xechx都是sxechxhx-的原函数

知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。

解：2xxeechxshxQ，而22[][][]xxxxdddeeshxechxedxdxdx1()2

★5、一曲线通过点2(,3)e

，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此

合集下载

高数不定积分62道经典例题

高数不定积分62道经典例题

高数不定积分62道经典例题有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。

不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。

为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。

首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。

积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。

它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。

不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。

其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题：（1）计算cosx dx（2）计算sinx dx（3）计算2x^2+3x+1dx（4）计算∫ex^2dx（5）计算∫tanxdx（6）计算∫secx dx（7）计算sin(2x)dx（8）计算∫cos2x dx（9）计算∫(x+1)^2dx（10）计算∫e^x dx（11）计算∫cos(2x+1) dx（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx（15）计算∫sin2x dx（16）计算∫cotxdx（17）计算∫tan2x dx（18）计算∫3x+2 dx（19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx（22）计算∫2x+3 dx（23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx（26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx（32）计算∫tan(2x+1) dx （33）计算∫sec(2x+1) dx（35）计算∫sinx+cosx dx （36）计算∫(x+1)^4dx （37）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （38）计算∫cos^3x dx （39）计算∫sin^2(2x)dx （40）计算∫sec^3 xdx （41）计算∫cot^3x dx （42）计算∫tan(3x+1)dx （43）计算∫4x+3 dx（44）计算∫(x+2)^4 dx （45）计算∫x^4+1dx（46）计算∫e^(3x+1)dx （47）计算∫sin3x dx（48）计算∫cos^2(2x)dx （49）计算∫sec^2(2x) dx （50）计算∫cot^2(2x) dx （51）计算∫tan^3x dx （52）计算∫e^x(x+2) dx （53）计算∫cos(2x+1)dx （54）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （55）计算∫sin^3(2x) dx（57）计算∫x^5+x+2 dx（58）计算∫(x+1)^5dx（59）计算∫e^(2x+3)dx（60）计算∫sin^4x dx（61）计算∫cos^4x dx（62）计算∫e^(3x+1)dx最后，学习不定积分是需要时间和练习的，大家不要灰心。

不定积分习题及答案

不定积分习题及答案

不定积分习题及答案第四章 不定积分(A 层次)1．⎰x x dxcos sin ； 2．⎰--dx xx 2112； 3．()()⎰-+21x x dx ； 4．⎰xdx x 7sin 5sin ； 5．()⎰+dx x x x arctg 1； 6．⎰-+21xx dx ；7．⎰arctgxdx x 2； 8．()⎰dx x ln cos ； 9．⎰--+dx xx x x 3458； 10．()⎰+dx x x 2831； 11．⎰xdx x 2cos ； 12．⎰dx e x 3；13．⎰x x x dx ln ln ln ； 14．()⎰+21xe dx； 15．()⎰+dx exe xx21；16．dx x ⎰3sin ； 17．⎰-dx xx1arcsin ； 18．()⎰+dx x x 321ln ； 19．⎰+-dx x x xx sin 2cos 5sin 3cos 7； 20．()⎰++dx x x x 21ln ； 21．⎰xdx x 35cos sin ； 22．⎰dx x x tgx sin cos ln ； 23．dx x x⎰-2arccos 2110； 24．⎰arctgxdx x 2；25．⎰-+dx x xx 1122； 26．dx x a x ⎰+222； 27．()dx tgx e x221⎰+； 28．()()()⎰+++321x x x xdx ； 29．()⎰+x x dx sin cos 2； 30．dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 。

(B 层次)1．设()x f 的一个原函数为xxsin ，求()⎰'dx x f x 2。

2．()⎰++dx xe x x x 11； 3．()⎰++dx x x x2ln ln 1； 4．()⎰-dx x x 1ln ； 5．⎰dx x x 32ln ； 6．⎰dx x x 2sin sin ln ； 7．⎰-dx e xe x x2；8．()⎰+dx x x2321ln ； 9．⎰-xdx x arcsin 12； 10．⎰-dx xx x 231arccos ；11．⎰+-323x x dx ； 12．⎰+-+dx x xarctg x 11112； 13．⎰dx x xtg x 32cos ； 14．⎰+dx x x 1ln ； 15．⎰+dx x x 1arcsin； 16．()⎰+dx x x arctgx 221； 17．()⎰--dx x x 2111；18．⎰+2xb x a dx 222sin cos ；19．⎰xdx xtgx 4sec ； 20．⎰++dx xx xcos sin 1sin ；(C 层次)1．设()x F 为()x f 的一个原函数，()10=F ，()0>x F ，且当0≥x 时，有()()()212x xe x F x f x +=，求()x f 。

高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)---精品管理资料

高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)---精品管理资料

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4—11。

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法.思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1）思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解.解：532223x dx x C --==-+⎰★（2）dx⎰思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★（3）22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★（4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解:3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰★★（6)221x dx x +⎰思路：注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5）(6）两题的解题思路是一致的.一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分.★（7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路：分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★（8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

（整理）4不定积分习题与答案.

（整理）4不定积分习题与答案.

（整理）4不定积分习题与答案.学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dx(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12) cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx 3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分),dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。

132、已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。

U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) ? c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。

asin x4、设f (x)的一个原函数为，求xf (x)dx 。