不定积分例题及问题详解

例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242)1(1111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(212121111112222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x 122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dx x x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx xx x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx xx x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx x x x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos )(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx+-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 1222x xx d xx x dxxx x xxdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dx tx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11 .arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt tttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c xx x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。

K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。

J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。

4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。

■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。

解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。

不定积分的习题及答案不定积分的习题及答案数学作为一门精确的科学，无论在理论还是实践中都扮演着重要的角色。

而在数学中，不定积分是一个重要的概念，它与求导密切相关，被广泛应用于微积分、物理学等领域。

本文将围绕不定积分展开，介绍一些相关的习题及答案。

1. 求解以下不定积分：a. ∫(3x^2 + 2x - 1) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成三个部分：∫(3x^2) dx + ∫(2x) dx - ∫(1) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(3x^2) dx = x^3 + C1∫(2x) dx = x^2 + C2∫(1) dx = x + C3因此，原积分的解为：x^3 + C1 + x^2 + C2 - x + C3，其中C1、C2、C3为常数。

b. ∫(e^x + 1/x) dx解答：对于第一部分∫(e^x) dx，我们可以利用指数函数的不定积分公式进行求解，即e^x + C1。

对于第二部分∫(1/x) dx，我们可以利用对数函数的不定积分公式进行求解，即ln|x| + C2。

因此，原积分的解为：e^x + ln|x| + C1 + C2，其中C1、C2为常数。

2. 求解以下不定积分：a. ∫(2sinx + 3cosx) dx解答：对于第一部分∫(2sinx) dx，我们可以利用正弦函数的不定积分公式进行求解，即-2cosx + C1。

对于第二部分∫(3cosx) dx，我们可以利用余弦函数的不定积分公式进行求解，即3sinx + C2。

因此，原积分的解为：-2cosx + 3sinx + C1 + C2，其中C1、C2为常数。

b. ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成四个部分：∫(x^3) dx + ∫(2x^2) dx + ∫(3x) dx + ∫(4) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1∫(2x^2) dx = (2/3)x^3 + C2∫(3x) dx = (3/2)x^2 + C3∫(4) dx = 4x + C4因此，原积分的解为：(1/4)x^4 + (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x + C1 + C2 + C3 + C4，其中C1、C2、C3、C4为常数。

不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。

对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。

对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。

对于常数项1，则积分结果是x。

将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。

2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。

对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。

3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。

对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。

4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。

因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。

5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。

对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。

6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。

不定积分的应用题解析解析一：在数学中，不定积分被广泛应用于求解各种函数的原函数。

不定积分的概念可以追溯到牛顿和莱布尼茨等著名数学家的工作。

它为解决实际问题提供了有效的工具，尤其在面积、体积、物理学等领域的计算中具有重要的应用。

本文将通过几个应用题来解析不定积分的使用方法。

解析二：题目一：求函数的原函数假设有一个函数f(x)，我们需要求解它的原函数F(x)。

首先，我们可以通过不定积分的定义来解决这个问题。

根据不定积分的定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意的x值，有F'(x) = f(x)。

我们可以利用这个等式来求解F(x)。

举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 2x的原函数F(x)，我们可以计算F(x)的导数F'(x)，即F'(x) = 2x。

由此可得F(x) = x^2 + C，其中C为常数。

所以，函数F(x) = x^2 + C是函数f(x) = 2x的一个原函数。

题目二：计算曲线下的面积不定积分还可以用来计算曲线下的面积。

假设我们需要计算曲线y = f(x)与x轴之间某一区间[a, b]内的面积。

我们可以使用不定积分来求解。

具体方法是将曲线y = f(x)与x轴围成的区域进行划分，然后将每个小区间的面积相加。

假设我们将区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

那么，每个小区间的面积可以近似表示为Δx乘以f(x)。

通过求和，我们可以得到近似的曲线下面积，即Σ[1, n]Δx * f(x)。

当n趋向于无穷大时，这个近似的面积将趋向于确切的面积。

因此，我们可以利用不定积分来计算曲线下的确切面积。

题目三：求物体的体积不定积分还可以应用于求解物体的体积。

假设我们需要计算一个旋转体的体积，该旋转体是由曲线y = f(x)绕x轴旋转一周所得。

为了求解这个问题，我们可以使用“圆盘法”或者“柱体法”。

以“圆盘法”为例，我们将曲线y = f(x)绕x轴旋转一周得到的旋转体分解为无数个圆盘，每个圆盘的厚度为Δx，半径为f(x)，面积为π * [f(x)]^2。

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。

高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。

无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。

高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。

以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。

（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。

（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。

高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。

也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。

在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。

只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。

三、典型例题解析例1 求下列不定积分． （1）⎰． （2）1)dx +-⎰．分析 利用幂函数的积分公式111n n x dx xCn +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式． 解 （1）532251252121()3xdx xC xC --+-==+=-++-⎰．（2）35312222231221)(1)353dx x x x dx x x x x C=+--=+--+⎰⎰．例2求2(x dx+⎰．分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和． 解12221((2)x dx x x dx x+=++⎰⎰12212x d x x d xd xx=++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C=+++．例3 求下列不定积分． （1）2523xxx e dx ⋅-⋅⎰． （2）4223311x x dx x +++⎰．分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解 （1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x x xxx x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰．（2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰．例4 求下列不定积分． （1）24221(1)x xdxx x +++⎰． （2）421xdx x+⎰． （3）221(1)dxx x +⎰．分析 根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解 （1）242222111(1)(1)1x xdx dxx x xx++=+-++⎰⎰22111dx dx dxxx=+-+⎰⎰⎰1a r c t a n x x C x=--+．（2）4422(1)111xx dx dx xx-+=++⎰⎰222(1)(1)11x x dx x-++=+⎰221(1)1x dx dxx=-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313．（3）22222211(1)(1)x xdx dxx x x x +-=++⎰⎰22111dx dx xx=-+⎰⎰1a r c t a n x Cx=--+．例5 求下列不定积分． （1）11cos 2dxx+⎰． （2）cos 2cos sin x dx x x -⎰．（3）2cot xdx ⎰． （4）22cos 2sin cos x dxx x⎰．分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解 （1）2111tan 1cos 22cos2dx dx x Cxx==++⎰⎰．（2）22cos 2cos sin cos sin cos sin x x x dx dx x xx x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰． （4）222222cos 2cos sin sin cos sin cos x x x dx dx x xx x -=⎰⎰2211sincosdx dxxx=-⎰⎰22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C=--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰． （2）12()n x ax b dx +⎰．（0a ≠）（3）232(cos )xdxx ⎰． （4）．（5）1sin(ln )x dx x⎰． （6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdx x x -+⎰． （8）．（9）sin x⎰． （10）2．（11）322(arctan )1x x dx x++⎰．分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C-=--=-+⎰⎰．（2）112221()()()2x ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n nax b Ca n +=+++．（3）232(cos )xdx x ⎰333211tan 3(cos )3dxx Cx==+⎰．（4）22arctanC ==⎰．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cosdx xx⎰111cos()sin d C x x x=-=-+⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdx x x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x Cx -==+-+⎰． （8）⎰(tan )arcsin(tan )x x C==+⎰．（9）sin x⎰12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰322cot (cot )3x x C=--+．（10）2⎰231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x++⎰3222(arctan )11xx dx dx xx=+++⎰⎰32221(1)(a r c t a n )(a r c t a n)21d x xd x x+=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C=+++．注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n nf ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰；（2）1()()ln x x xxf a a dx f a daa=⎰⎰；（3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）． （4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）． （5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）． （6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）． （7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d xx =⎰⎰；（8）(arcsin (arcsin )(arcsin )f x f x d x =⎰⎰； （9）(arccos (arccos )(arccos )f x f x d x =-⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x=+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰； （12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰；例７ 求下列函数的不定积分：（1）3cos xdx ⎰． （2）4sin xdx ⎰． （3）sin 7cos(3)4x x dx π-⎰．（4）6csc xdx ⎰．（5）34sin cos x xdx ⎰． （6）35sec tan x xdx ⎰．分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解 （1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与d x 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322cos cos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C=-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos 2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos 2sin ()2xxdx dx-=⎰⎰311(cos 2cos 4)828x x dx =-+⎰ 311sin 2sin 48432x x x C=-++．（3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin 7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dxπππ-=++-⎰⎰11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰11cos(4)cos(10)84204x x Cππ=-+--+．（4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc(csc)csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C=---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C=-++．（6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C=-++．注 利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos 3cos 2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８ 求下列不定积分： （1）xxdx e e-+⎰． （2）xxdx e e--⎰． （3）11xdxe+⎰．分析 可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解 （1）xxdx e e-+⎰221arctan ()1()1xx xx xe dxde e C ee===+++⎰⎰．（2）解法1 xxdxee--⎰221()1()1x xxxedx deee==--⎰⎰,然后用公式2211ln2x a dx Cx aax a-=+-+⎰，则xxdxee--⎰11ln21xxe C e -=++．解法2 xxdx e e--⎰21111()()1211xxxxxde deee e ==---+⎰⎰1(1)(1)()211xx xxd e d e e e -+=--+⎰⎰11ln21xxe C e -=++．（3）解法111xdx e+⎰1(1)11xxx xxe e edx dx ee+-==-++⎰⎰1(1)1xxdx d e e=-++⎰⎰ln(1)xx e C =-++．解法2 11xdx e+⎰(1)ln(1)11xxxxxed e dx eC ee-----+==-=-++++⎰⎰．解法３ 令x u e =，x du e dx =，则有11xdx e+⎰1111()ln()111u du du Cuuuuu=⋅=-=++++⎰⎰ln()ln(1)1xxxeC eC e-=+=-+++．注 在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9 求下列不定积分：（1）ln tan sin cos x dxx x⎰． （2）．分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．解 （1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dxx xx x=⎰⎰ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan x d x xd x x==⎰⎰21ln (tan )2x C=+．（2）2=⎰⎰22a r c (a a n )r c t a n )C ==+⎰．例10 求21arctan1x dxx+⎰．分析 若将积分变形为1arctan(arctan )d x x⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan111()x x x ⋅+，再将21x与d x 结合凑成1()d x-，则问题即可解决．解2222111arctanarctanarctan11()1111()1()x x x dx dx d xx xx x=⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan(arctan )d xx=-⎰211(arctan )2Cx=-+．例11 求21ln (ln )x dxx x +⎰．分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解 221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x Cx x x x x x+==-+⎰⎰．例12（04研） 已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =． 分析 先求()f x '，再求()f x ． 解 令x e t =，即ln x t =，从而ln ()t f t t'=．故2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x Cx ===+⎰⎰，由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x=．例13求sin 22sin dx x x+⎰．分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１ sin 22sin dx x x+⎰3122sin (cos 1)4sin cos22x d dxx x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰22tan 1tan1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tanln tan8242x x C=++．解法2 令cos t x =，则sin 22sin dxx x+⎰2sin 2sin (cos 1)2sin(1cos )dxxdxx x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt tt=--+⎰21112811(1)dt t tt ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰ 12(ln |1|ln |1|)81t t Ct=--++++111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x Cx =--++++．解法３ 令tan2x t =，则22sin 1t x t=+，221cos 1t x t-=+，221dx dtt=+，则sin 22sin dxx x+⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰211tanln |tan|8242x x C=++．例14求⎰分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一．解t =，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)11tdt dttt==-++⎰⎰⎰22ln 1t t C =-++2ln(1C=++例15求⎰分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数． 解t =，34dx t dt =-，则2414(1)11tdt t dtt t-==--+++⎰⎰⎰214(l n1)2t t t C=--+++ln(1C=-++．例16解t=，即3211xt=--，2326(1)tdx dtt=-，则⎰233232164(1)(1)tdtt ttt==⋅-⋅-⎰132313131()2221xdt C Ct t x+==-⋅+=-+-⎰．例17求x⎰．分析，可用三角代换2sinx t=消去根式．解2cos(0)2t tπ<<，2cosdx tdt=，则224sin2cos2cos4sin2x t t tdt t dt=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin42t dt t t C=-=-+⎰222sin cos(12sin)t t t t C=--+212arcsin)22xx C=--+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18求221(1)dxx+⎰．分析 虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解设tanx t=，2secdx tdt=，()2241secx t+=，则222241seccos(1)sectdx dt tdtx t==+⎰⎰⎰111(1c o s 2)s i n 2224t d t t t C =+=++⎰ 21a r c t a n 22(1)x x Cx=+++．例19求x．分析，但不能用凑微分法， 故作代换sec x a t =， 将被积函数化成三角有理式．解 令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则x22tan sec tan tan(sec 1)sec a ta t tdt a tdt a t dta t =⋅⋅==-⎰⎰⎰(tan )a t t C =-+arccos)a a C ax=-+．例20求．解 由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，2(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec t tdt t tdt tdt t -⋅==-⎰⎰⎰12s e c 2l n s e ct a n t t t C =-++2ln(2x C=-+++．()12ln 2C C =+注由00a a >=<可作适当的三角代换， 使其有理化．例21求．解32[3(1)]dxx =+-⎰，令1x t -=，则322321sec 11cos sin 3sec33[3(1)]dx tdt tdt t C tx ===++-⎰⎰⎰C=．故⎰C=+．例22 求421(1)dx x x +⎰．分析 当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解 令1x t =，21dx dtt=-，于是421(1)dx xx +⎰44221111tt dt dt tt --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dtt=---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+ 3111arctan3Cx xx=--+．注 有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例． 例23求x． 解 设1x t=，2dt dx t=-，则4xt=1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，12222221(1)(1)2at d a t xa=---⎰32222(1)3a t C a-=-+322223()3a x C a x-=-+．当0x <时，有相同的结果．故x322223()3a x C a x-=-+．注1 第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： （1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零． （2）换元后的被积函数的原函数存在． （3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型：（1）(,f x dx t =⎰令（2）(,f x dx t =⎰令．（3）(f x dx ⎰，可令sin a x t b =或cos a x t b =．（4）(f x dx ⎰，可令tan a x tb =或a x shtb =．（5）(f x dx ⎰，可令sec a x tb =或a x cht b=．（62(40)q pr -<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24 求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰． （2）2sin 4x xdx ⎰． （3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰． （5）arctan x xdx ⎰． （6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠． 分析 上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解 （1）3x xe dx -⎰33333111()33339xxxxxx x xd eeedx eeC-----=-=-+=--+⎰⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos 4)cos 4cos 4442xx d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos 4(sin 4)cos 4sin 4sin 448488x xx xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos 4sin 4cos 44832xx x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339xxxxd xx xdx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰arcsin arcsin x x x x C=-=+．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C==-=++⎰⎰⎰arcsin x x C =+（5）解法1a r c t a n x x d x ⎰222211arctan arctan 2221xxxdx x dx x==-+⎰⎰2211arctan (1)221x x dx x=--+⎰21arctan arctan 222xx x x C =-++．解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰22111arctan arctan 2222x x x x dx x C ++=-=-+⎰． （6）解法1sin axebxdx ⎰11sin ()sin cos axaxaxbbxd e ebx e bxdxa a a==-⎰⎰21s i n c o s ()a xa xb eb x b x d e a a=-⎰2221sin cos sin axaxaxb b ebx exbx ebxdx aaa=--⎰从而21221(1)sin sin cos axaxaxb b e bxdx ebx ebx C aaa+=-+⎰，则221sin (sin cos )axaxebxdx e a bx b bx Ca b=-++⎰．解法21sin cos axaxebxdx ed bxb=-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成．注 在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和d v 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出．例25 求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析 被积函数为三角函数与对数函数的乘积， 可采用分部积分法． 解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dxx=⋅-⋅⋅-⎰sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26 求ln(x dx +⎰．分析 被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解1ln(ln((12x dx x x x dx+=+-+⎰⎰ln(x x =+-⎰12221ln((1)(1)2x x x d x -=+-++⎰ln(x x C=+-．例27 求x⎰．分析 可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法1x⎰2xxd ==⎰⎰2⎡⎤=⎣⎦⎰，令t =2ln(1)x t =+，221tdt dx t=+，则21222(arctan )1t dt t t C t==-++⎰，故x(22arctanC z=-+24arctanC =．解法2tz =，则x⎰22222ln(1)2ln(1)41tt dt t t dt t=+=+-+⎰⎰22ln(1)44arctan t t t t C =+-++24arctanC =．注 求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果． 例28（01研） 求2arctan xxe dx e⎰．分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法． 解法1 2arctan xxe dx e⎰222211arctan ()arctan 22(1)xx xx xx x dee d ee e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰21arctan arctan 2x x x x e e e e C--⎡⎤=-+++⎣⎦．解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc(csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C=---+⎰．注 用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果． 例30 求下列不定积分： （1）22221(1)xx x edxx ---⎰． （2）2ln 1(ln )x dx x -⎰．解 （1）2222222112(1)1(1)x xxx x xdx edx edx ex x x --=----⎰⎰⎰221()11xxedx e d x x =+--⎰⎰22221111xxxxeeeedx dx C xx xx =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dxx xx -=-⎰⎰⎰221ln (ln )(ln )x xdx dx xx x x =+-⎰⎰ln x Cx=+．注 将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dxx=-⋅⎰⎰s i n (l n )c o s (l n x x xd x =-⎰s i n (l n )c o s (l n)s i n x x xx x d x=--⎰， 所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C=-+⎰．解法２ 令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin tt t t t tetdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C=-+=-+⎰．例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型．解 11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln nn n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环；（3）建立递推公式．例33 求积分24411(21)(23)(25)x x dxx x x +--+-⎰．分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分． 解 用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x AB C x x x x x x +-=++-+--+-，用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩， 这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是24411(21)(23)(25)x x dxx x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰113ln 21ln 23ln 25488x x x C=--++-+231(21)(25)ln823x x C x --=++．例34 求321452dxx x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++ 设221(1)(2)21(1)A B C x x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx xx x x x x -=++++++++⎰⎰211121(1)dx dx dxx x x =-++++⎰⎰⎰1ln 2ln 11x x Cx =+-+-++．例35 求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解 因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dxx x dxxx x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x xx +++=-+++++++⎰⎰⎰2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰2211ln213x C x x +=-+++．例36 求2425454x x dx x x ++++⎰．解 设24222545414x x Ax B C x D x x x x ++++=+++++，则有23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而24222541535543134x x x xdx dx dx xx x x +++=-++++⎰⎰⎰ 2222255151lnarctan 3134164xxx dx dx dx x C xxxx +=-+=++++++⎰⎰⎰．例37 求322456x xdx x x +++⎰．分析 322456x xx x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解 由于32224615656x xx x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则322498(1)5632x xdx x dx xx x x +=--+++++⎰⎰219ln 38ln 22x x x x C=--++++．例38 求5632x dx x x --⎰．解 令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dxx d x uduxx xx uu ==------⎰⎰⎰1112()3(1)(2)912udu du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C=++-+=+-+．例39 求2100(1)xdx x -⎰．分析 被积函数2100(1)xx -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)xt t t dx dt dtx tt--+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰ 9798991112979899tttC ---=-⋅++979899111(1)(1)(1)974999x x x C---=---+-+．解法2 22100100(1)1(1)(1)xx dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dxx x +=-+--⎰⎰99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰98991001112(1)(1)(1)dx dx dxx x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C---=---+-+．解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99xdx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)xxdxx x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998xxd x x -=---⎰299989821[]99(1)9998(1)98(1)xxdxx x x =-----⎰299989712199(1)9949(1)999897(1)xxCx x x =-⋅-⋅+--⋅-．注 形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40求．分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一． 解21)=⎰⎰112211(32)(21)44x dx x dx=+--⎰⎰332211(32)(21)1212x x C=+--+．例41求⎰．解法1a ==+⎰⎰⎰1222221()()2a a x d a x -=---⎰⎰arcsinx a Ca=-+．解法2 令t =余下的请读者自行完成．例42 求154sin 2dxx+⎰．分析 被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解 令tan t x =，211dx dtt =+，则21154sin 2585dx dt xtt =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++．注 虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43 求1sin cos dxx x++⎰．解法1 令tan 2x u =，则2222211211sin cos 1111dxu du du u u x x u u u+==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan2x C=++．解法21s i n c o sdx x x ++⎰22122sincos2coscos(1tan)22222dxdxx x x x x ==++⎰⎰2()(tan)22cos (1tan )1tan222xxd d xx x ==++⎰⎰ln 1tan2x C=++．注 可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类： 第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan 2x u =将其化为u 的有理函数的积分．第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法． 例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析 被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解 由于221,()m ax{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩， 设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩， 其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133m ax{,1},112,133x Cx x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰． 注 对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理． 例45 求x e dx -⎰．解 当0x ≥时，1xx xedx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xxxedx edx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim ()lim ()xxx x eC e C +--→→-+=+，即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x edx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰． 错误解答 当0x ≥时，1xxxedx edx eC ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xxxedx edx e C -==+⎰⎰．故12,0,0xxx e C x edx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰．错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使xe-的不定积分中只含有一个任意常数．注 分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系． 例46 求下列不定积分： （1）sin 1cos x x dxx ++⎰． （2）3sin 2cos sin cos xx x xedx x -⎰．（3）cot 1sin x dx x+⎰． （4）3sin cos dxx x⎰．解 （1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan)1cos 2cos2xx dx dx d x==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x =-++⎰⎰t a n t a n l n (1co s )22xxx dx x =--+⎰ 1tan2ln cosln(1cos )22x x x x C =+-++21t a n 2l n c o sl n (2c o s )222xxx x C =+-+1tan(ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xxxx x xedx ex xdx ex xdx x-=-⎰⎰⎰sin sin ()(sec )xxxd eed x =-⎰⎰sin sin sin sin sec xxxxxeedx ex edx =--+⎰⎰sin (sec )xex x C =-+．。